Funktionenreihe Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Do 22.12.2011 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist. |
Guten Abend,
es geht um die obige Aufgabe. Leider fehlt mir hier jeglicher Ansatz. Habe bereits gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Bringt mir das irgendwas? Habe es mit dem Epsilon Delta Kriterium versucht. Ohne Erfolg. Würde mich über einen Tipp freuen.
Schönen Gruß,
Diab91
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Hallo diab91,
> Zeigen Sie, dass f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
hier ist ein Standardansatz, die unendliche Summe in einen endlichen "gutartigen" Teil und ein unendliches Reststück zu zerlegen. Dieses wird dann grob gesprochen betragsmäßig klein, wenn x und [mm] x_0 [/mm] nah beieinander liegen, denn die Reihe konvergiert absolut.
Details: (Du musst auch noch einiges zeigen)
Setze für [mm] k\in\IN, x\in\IR
[/mm]
[mm] a_k(x)=\frac{1+kx}{2^k+x^2}.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Wir untersuchen Stetigkeit in [mm] x_0\in\IR.
[/mm]
a)
Es existiert ein [mm] n\in\IN, [/mm] sodass für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] |x-x_0|<1 [/mm] gilt
(*) [mm] \sum_{k=n}^\infty|a_k(x)-a_k(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}.
[/mm]
Zeige dies, indem Du [mm] |a_k(x)-a_k(x_0)| [/mm] unabhängig von x abschätzt, also eine Abschätzung der Form
[mm] |a_k(x)-a_k(x_0)|\leq b_k(x_0),
[/mm]
wobei die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty b_k$ [/mm] absolut konvergieren soll. Damit folgt dann natürlich wegen
[mm] \sum_{k=n}^\infty|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq\sum_{k=n}^\infty |b_k(x_0)|
[/mm]
die Existenz von n mit der gewünschten Eigenschaft.
b)
Finde ein C>0, sodass
(**) [mm] |a_k(x)-a_k(x_0)|\leq C|x-x_0|
[/mm]
für alle [mm] k\in\IN [/mm] gilt.
c)
Mit der Wahl [mm] \delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{2nC}\} [/mm] folgt dann
[mm] \left|\sum_{k=0}^\infty a_k(x)-\sum_{k=0}^\infty a_k(x_0)\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|
[/mm]
[mm] \leq\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} |a_k(x)-a_k(x_0)|}_{\le nC|x-x_0|\leq\varepsilon/2}+\underbrace{\sum_{k=n}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|}_{\le \varepsilon/2 \mbox{ wegen (\*)}}\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
[/mm]
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Fr 23.12.2011 | | Autor: | diab91 |
Hallo kamaleonti,
erst mal vielen Dank für deine Hilfe. Ich hätte da noch einige Fragen.
>
> hier ist ein Standardansatz, die unendliche Summe in einen
> endlichen "gutartigen" Teil und ein unendliches Reststück
> zu zerlegen. Dieses wird dann grob gesprochen
> betragsmäßig klein, wenn x und [mm]x_0[/mm] nah beieinander
> liegen, denn die Reihe konvergiert absolut.
> Details: (Du musst auch noch einiges zeigen)
>
> Setze für [mm]k\in\IN, x\in\IR[/mm]
>
> [mm]a_k(x)=\frac{1+kx}{2^k+x^2}.[/mm]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm] Wir untersuchen Stetigkeit in
> [mm]x_0\in\IR.[/mm]
>
> a)
>
> Es existiert ein [mm]n\in\IN,[/mm] sodass für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit
> [mm]|x-x_0|<1[/mm] gilt
Das darf man weil die Reihe absolut konvergiert, oder? Ab einem bestimmten n liegen alle Folgenglieder beliebig nahe beieinander. Verstehe ich das richtig?
> (*)
> [mm]\sum_{k=n}^\infty|a_k(x)-a_k(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}.[/mm]
>
> Zeige dies, indem Du [mm]|a_k(x)-a_k(x_0)|[/mm] unabhängig von x
> abschätzt, also eine Abschätzung der Form
>
> [mm]|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq b_k(x_0),[/mm]
>
> wobei die Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty b_k[/mm] absolut konvergieren
> soll.
Ok. Das habe ich versucht. Komme aber nicht wirklich weit... Also:
[mm] |\bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1+k*x_{0}}{2^{k}+x_{0}^{2}} [/mm] | = | [mm] \bruch{(2^{k}+x_{0}^{2})(1+k*x)-(2^{k}+x^{2})(1+k*x_{0})}{(2^{k}+x^{2})(2^{k}+x_{0}^{2})} [/mm] | =
| [mm] \bruch{2^{k}+2^{k}*k*x +
x_{0}^{2}+k*x*x_{0}^{2} - (2^{k}+2^{k}*k*x_{0}+x^{2}+k*x_{0}*x^{2})}{(2^{k}+x^{2})(2^{k}+x_{0}^{2})}| [/mm] =
| [mm] \bruch{2^{k}*k(x-x_{0}) + (x+x_{0})*(x-x_{0}) + k*x*x_{0}*(x_{0}-x)}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}}| \le [/mm]
[mm] \bruch{|2^{k}|*|k(x-x_{0})| + |(x+x_{0})|*|(x-x_{0}) |+ |k*x*x_{0}|*|(x_{0}-x)|}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}} \le \bruch{|2^{k}*k| + |(x-x_{0} + 2*x_{0})| + |k*x*x_{0}|}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}} \le \bruch{|2^{k}*k| + 2*| x_{0}| + |k*x*x_{0}|}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}} \le \bruch{|2^{k}*k| + 2*| x_{0}| + |k*(x*x_{0}-x_{0}^{2}+*x_{0}^{2})|}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}} \le \bruch{|2^{k}*k| + 2*| x_{0}| + |k|*|x_{0}|+|k|*x_{0}^{2})}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}} \le \bruch{|k|*(2^{k}+|x_{0}|+x_{0}^{2})}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}} [/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht wirklich weiter. Man könnte im Nenner noch radikal was weg streichen. Aber irgendwie schaffe ich es nicht so das es was sinnvolles gibt.
>Damit folgt dann natürlich wegen
>
> [mm]\sum_{k=n}^\infty|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq\sum_{k=n}^\infty |b_k(x_0)|[/mm]
>
> die Existenz von n mit der gewünschten Eigenschaft.
>
> b)
>
> Finde ein C>0, sodass
>
> (**) [mm]|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq C|x-x_0|[/mm]
>
> für alle [mm]k\in\IN[/mm] gilt.
Hm hier bräuchte ich vermutlich die richtige Abschätzung bei a).
> c)
>
> Mit der Wahl [mm]\delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{2nC}\}[/mm] folgt
> dann
>
> [mm]\left|\sum_{k=0}^\infty a_k(x)-\sum_{k=0}^\infty a_k(x_0)\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|[/mm]
>
> [mm]\leq\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} |a_k(x)-a_k(x_0)|}_{\le nC|x-x_0|\leq\varepsilon/2}+\underbrace{\sum_{k=n}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|}_{\le \varepsilon/2 \mbox{ wegen (\*)}}\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.[/mm]
Wieso gilt diese Abschätzung [mm] nC|x-x_0|\leq\varepsilon/2 [/mm] ? Was wäre denn wenn [mm] \delta [/mm] = 1 das Minimum ist? Das habe ich leider noch nicht ganz geblickt. Liegt das daran, weil epsilon beliebig klein werden kann und somit irgendwann garantiert kleiner als 1 ist?
Schönen Gruß,
Diab91
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Hallo diab91,
> >
> > a)
> >
> > Es existiert ein [mm]n\in\IN,[/mm] sodass für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit
> > [mm]|x-x_0|<1[/mm] gilt
> Das darf man weil die Reihe absolut konvergiert, oder?
Was soll man an dieser Stelle dürfen? Dort steht eine Existenzaussage, die es zu zeigen gilt.
> Ab einem bestimmten n liegen alle Folgenglieder beliebig nahe
> beieinander. Verstehe ich das richtig?
> > (*)
> > [mm]\sum_{k=n}^\infty|a_k(x)-a_k(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}.[/mm]
> >
> > Zeige dies, indem Du [mm]|a_k(x)-a_k(x_0)|[/mm] unabhängig von x
> > abschätzt, also eine Abschätzung der Form
> >
> > [mm]|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq b_k(x_0),[/mm]
> >
> > wobei die Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty b_k[/mm] absolut konvergieren
> > soll.
> Ok. Das habe ich versucht. Komme aber nicht wirklich weit... Also:
> [mm]|\bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1+k*x_{0}}{2^{k}+x_{0}^{2}}[/mm] | = | [mm]\bruch{(2^{k}+x_{0}^{2})(1+k*x)-(2^{k}+x^{2})(1+k*x_{0})}{(2^{k}+x^{2})(2^{k}+x_{0}^{2})}[/mm] | =
> | [mm]\bruch{2^{k}+2^{k}*k*x +
x_{0}^{2}+k*x*x_{0}^{2} - (2^{k}+2^{k}*k*x_{0}+x^{2}+k*x_{0}*x^{2})}{(2^{k}+x^{2})(2^{k}+x_{0}^{2})}|[/mm]
> = | [mm]\bruch{2^{k}*k(x-x_{0}) + (x+x_{0})*(x-x_{0}) + k*x*x_{0}*(x_{0}-x)}{4^{k}+2^{k}*x_{0}^{2}+2^{k}*x^{2}+x^{2}*x_{0}^{2}}|[/mm]
Das ist vielleicht ein ganz guter Punkt um ein C>0 gemäß b) zu finden.
Im Zähler kann man [mm] |x-x_0| [/mm] ausklammern, es bleibt also nur der Rest durch eine Konstante abzuschätzen.
z.z. [mm] \left|\bruch{2^{k}*k+ (x+x_{0}) + k*x*x_{0}}{4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})+x^{2}*x_{0}^{2}}\right|\leq [/mm] C.
Das ist nicht sehr schwer, es geht zum Beispiel C=3.
zur Abschätzung in a). Das Abschätzen ist hier etwas anstrengend, aber schaffbar. Es gilt
[mm] |a_k(x)-a_k(x_0)|\leq|a_k(x)|+|a_k(x_0)|\leq\frac{1+k|x|}{2^k+x^2}+\frac{1+k|x_0|}{2^k+x_0^2}.
[/mm]
Ich hatte vorausgesetzt [mm] |x-x_0|<1 [/mm] (entsprechend wird unten dann das [mm] \delta [/mm] gewählt). Dann gilt auch
[mm] |x|=|x-x_0+x_0|\leq1+|x_0| [/mm] und [mm] |x_0|=|x_0+x-x|\leq1+|x|.
[/mm]
Es folgt für [mm] |x_0|<1
[/mm]
[mm] \frac{1+k|x|}{2^k+x^2}+\frac{1+k|x_0|}{2^k+x_0^2}\leq\frac{1+k(|x_0|+1)}{2^k}+\frac{1+k|x_0|}{2^k}\leq\frac{1+3k}{2^k}=b_k(x_0)=b_k
[/mm]
die Reihe über die [mm] b_k [/mm] (die in diesem Fall unabhängig von [mm] x_0 [/mm] ist) konvergiert nach Quotientenkriterium absolut.
Für [mm] |x_0|\ge1 [/mm] gilt
[mm] \frac{1+k|x|}{2^k+x^2}+\frac{1+k|x_0|}{2^k+x_0^2}\leq\frac{1+k(|x_0|+1)}{2^k+(|x_0|-1)^2}+\frac{1+k|x_0|}{2^k+(|x_0|-1)^2}=\frac{2+k(2|x_0|+1)}{2^k+(|x_0|-1)^2}=:b_k(x_0)
[/mm]
auch hier gilt, dass die Reihe über die [mm] b_k(x_0) [/mm] absolut konvergiert, wegen des Quotientenkriteriums.
Für absolut konvergente Reihen werden die Reststücke beliebig klein (Cauchykriterium!),
also existiert jeweils das gesuchte [mm] n\in\IN [/mm] mit
[mm] \sum_{k=n}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|\leq\sum_{k=n}^\infty b_k(x_0)<\frac{\varepsilon}{2}.
[/mm]
> Ab hier weiß ich leider nicht wirklich weiter. Man könnte
> im Nenner noch radikal was weg streichen. Aber irgendwie
> schaffe ich es nicht so das es was sinnvolles gibt.
> >Damit folgt dann natürlich wegen
> >
> > [mm]\sum_{k=n}^\infty|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq\sum_{k=n}^\infty |b_k(x_0)|[/mm]
>
> >
> > die Existenz von n mit der gewünschten Eigenschaft.
> >
> > b)
> >
> > Finde ein C>0, sodass
> >
> > (**) [mm]|a_k(x)-a_k(x_0)|\leq C|x-x_0|[/mm]
> >
> > für alle [mm]k\in\IN[/mm] gilt.
> Hm hier bräuchte ich vermutlich die richtige Abschätzung bei a).
Siehe oben.
> > c)
> >
> > Mit der Wahl [mm]\delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{2nC}\}[/mm] folgt
> > dann
> >
> > [mm]\left|\sum_{k=0}^\infty a_k(x)-\sum_{k=0}^\infty a_k(x_0)\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|[/mm]
>
> >
> > [mm]\leq\underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} |a_k(x)-a_k(x_0)|}_{\le nC|x-x_0|\leq\varepsilon/2}+\underbrace{\sum_{k=n}^\infty |a_k(x)-a_k(x_0)|}_{\le \varepsilon/2 \mbox{ wegen (\*)}}\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.[/mm]
>
> Wieso gilt diese Abschätzung [mm]nC|x-x_0|\leq\varepsilon/2[/mm] ?
Das folgt unmittelbar aus der Wahl von [mm] \delta, [/mm] denn es ist [mm] \delta\leq\frac{\varepsilon}{2Cn}, [/mm] also
[mm] nC|x-x_0|
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 24.12.2011 | | Autor: | diab91 |
>
> z.z. [mm]\left|\bruch{2^{k}*k+ (x+x_{0}) + k*x*x_{0}}{4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})+x^{2}*x_{0}^{2}}\right|\leq[/mm]
> C.
>
> Das ist nicht sehr schwer, es geht zum Beispiel C=3.
Dennoch habe ich hier Schwierigkeiten:
[mm] |2^{k}*k+ (x+x_{0}) [/mm] + [mm] k*x*x_{0}| \leq 3*|4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})+x^{2}*x_{0}^{2}|
[/mm]
Per Induktion habe ich gezeigt, dass [mm] 2^{k}*k \leq 3*4^{k} [/mm] gilt.
Wie zeige ich nun, dass [mm] x+x_{0} \leq 3*2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2}) [/mm] ist?
Für [mm] x,x_{0} \ge [/mm] 1 ist das ja klar. Aber für x, [mm] x_{0}< [/mm] 1 kriege ich es einfach nicht nicht hin.
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Hallo,
> >
> > z.z. [mm]\left|\bruch{2^{k}*k+ (x+x_{0}) + k*x*x_{0}}{4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})+x^{2}*x_{0}^{2}}\right|\leq[/mm]
> > C.
> >
> > Das ist nicht sehr schwer, es geht zum Beispiel C=3.
Im Zähler gilt
[mm] $|2^{k}*k+ (x+x_{0}) [/mm] + [mm] k*x*x_{0}|\le 2^{k}k+ |x+x_{0}| [/mm] + [mm] k|xx_{0}|$
[/mm]
und der Nenner ist positiv. Also
[mm] \left|\bruch{2^{k}*k+ (x+x_{0}) + k*x*x_{0}}{4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})+x^{2}*x_{0}^{2}}\right|\leq\frac{2^k k}{4^{k}}+\frac{|x+x_0|}{4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})}+\frac{k |x x_0|}{2^{k}*(x^{2}+x_0^2)}\le1+1+1=3.
[/mm]
LG
>
> Dennoch habe ich hier Schwierigkeiten:
> [mm]|2^{k}*k+ (x+x_{0})[/mm] + [mm]k*x*x_{0}| \leq 3*|4^{k}+2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})+x^{2}*x_{0}^{2}|[/mm]
>
> Per Induktion habe ich gezeigt, dass [mm]2^{k}*k \leq 3*4^{k}[/mm] gilt.
> Wie zeige ich nun, dass [mm]x+x_{0} \leq 3*2^{k}*(x^{2}+x_{0}^{2})[/mm] ist?
> Für [mm]x,x_{0} \ge[/mm] 1 ist das ja klar. Aber für x, [mm]x_{0}<[/mm]
> kriege ich es einfach nicht nicht hin.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Fr 23.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm]
> auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> Guten Abend,
>
> es geht um die obige Aufgabe. Leider fehlt mir hier
> jeglicher Ansatz. Habe bereits gezeigt, dass die Reihe
> konvergiert. Bringt mir das irgendwas? Habe es mit dem
> Epsilon Delta Kriterium versucht. Ohne Erfolg. Würde mich
> über einen Tipp freuen.
>
> Schönen Gruß,
> Diab91
>
>
Mach es so:
Setze [mm] f_k(x):=\bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}
[/mm]
Zeige: Ist c>0 so ist
[mm] |f_k(x)| \le \bruch{1+kc}{2^k}=:c_k [/mm] für x [mm] \in [/mm] [-c,c]
Die Reihe [mm] \sum c_k [/mm] ist konv., also konv. [mm] \sum f_k [/mm] auf [-c,c] gleichmäßig (Weierstraß).
Damit ist f stetig auf [-c,c], da alle [mm] f_k [/mm] stetig sind.
c>0 war bel. , also .... ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 24.12.2011 | | Autor: | diab91 |
> > Zeigen Sie, dass f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm]
> > auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> > Guten Abend,
> >
> > es geht um die obige Aufgabe. Leider fehlt mir hier
> > jeglicher Ansatz. Habe bereits gezeigt, dass die Reihe
> > konvergiert. Bringt mir das irgendwas? Habe es mit dem
> > Epsilon Delta Kriterium versucht. Ohne Erfolg. Würde mich
> > über einen Tipp freuen.
> >
> > Schönen Gruß,
> > Diab91
> >
> >
> Mach es so:
>
> Setze [mm]f_k(x):=\bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm]
>
> Zeige: Ist c>0 so ist
>
> [mm]|f_k(x)| \le \bruch{1+kc}{2^k}=:c_k[/mm] für x [mm]\in[/mm] [-c,c]
> Die Reihe [mm]\sum c_k[/mm] ist konv., also konv. [mm]\sum f_k[/mm] auf
> [-c,c] gleichmäßig (Weierstraß).
Zu der Konvergenz... reicht dies als Begründung:Da [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] bekanntermaßen konvergiert und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{c*k}{2^{k}} [/mm] nach dem Quotientenkriterium konvergiert gilt \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{c*k}{2^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*c}{2^{k}} [/mm] und diese Reihe konvergiert nach den Grenzwertsätzen.
> Damit ist f stetig auf [-c,c], da alle [mm]f_k[/mm] stetig sind.
Die [mm] f_{k} [/mm] sind stetig, da es sich um gebrochenrationale Funktionen handelt, oder?
> c>0 war bel. , also .... ?
Also ist f auf jedem geschlossenen Intervall in [mm] \IR [/mm] stetig und somit auch auf ganz [mm] \IR. [/mm]
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 So 25.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Zeigen Sie, dass f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm]
> > > auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist.
> > > Guten Abend,
> > >
> > > es geht um die obige Aufgabe. Leider fehlt mir hier
> > > jeglicher Ansatz. Habe bereits gezeigt, dass die Reihe
> > > konvergiert. Bringt mir das irgendwas? Habe es mit dem
> > > Epsilon Delta Kriterium versucht. Ohne Erfolg. Würde mich
> > > über einen Tipp freuen.
> > >
> > > Schönen Gruß,
> > > Diab91
> > >
> > >
> > Mach es so:
> >
> > Setze [mm]f_k(x):=\bruch{1+k*x}{2^{k}+x^{2}}[/mm]
> >
> > Zeige: Ist c>0 so ist
> >
> > [mm]|f_k(x)| \le \bruch{1+kc}{2^k}=:c_k[/mm] für x [mm]\in[/mm] [-c,c]
> > Die Reihe [mm]\sum c_k[/mm] ist konv., also konv. [mm]\sum f_k[/mm] auf
> > [-c,c] gleichmäßig (Weierstraß).
> Zu der Konvergenz... reicht dies als Begründung:Da
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}}[/mm] bekanntermaßen
> konvergiert und [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{c*k}{2^{k}}[/mm]
> nach dem Quotientenkriterium konvergiert gilt \
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{c*k}{2^{k}}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+k*c}{2^{k}}[/mm] und diese Reihe
> konvergiert nach den Grenzwertsätzen.
> > Damit ist f stetig auf [-c,c], da alle [mm]f_k[/mm] stetig sind.
> Die [mm]f_{k}[/mm] sind stetig, da es sich um gebrochenrationale
> Funktionen handelt, oder?
> > c>0 war bel. , also .... ?
> Also ist f auf jedem geschlossenen Intervall in [mm]\IR[/mm] stetig
> und somit auch auf ganz [mm]\IR.[/mm]
> > FRED
>
Dreimal Ja
FRED
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