Funktionenschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Untersuche die Funktionenschar zu $ [mm] f_{t}(x)=xe^{-tx^2} [/mm] $ |
Hallo,
ich bin immer noch an meinen Klausurübungen und würde mich freuen, wenn ihr meine Rechnungen korrigiert.
Definitionsbereich:
[mm] \IR; [/mm] {0}
Symmetrie:
$ [mm] f_{t}(-x)=-x\cdot{}e^{-t(-x)^2} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] also nicht Achsensymmetrisch, sondern Punktsymmetrisch
Nullstellen:
$ [mm] f_{t}(x)=xe^{-tx^2} [/mm] $
$ [mm] x\cdot{}e^{-tx^2}=0 [/mm] $
$ [mm] e^{-tx^2}=0 [/mm] $ Mit ln erweiterung
$ [mm] -tx^2=0 [/mm] $
$ x=0 $
Erste Ableitung
$ [mm] f_{t}(x)=xe^{-tx^2} [/mm] $
$ [mm] f_{t}'(x)=1*e^{-tx^2}+x*e^{-tx^2}*(-2tx) [/mm] $
$ [mm] f_{t}'(x)=e^{-tx^2}*(1-2tx^2)
[/mm]
Nullstellen der ersten Ableitung:
[mm] 1-2tx^2=0
[/mm]
[mm] 2tx^2=1
[/mm]
[mm] x^2=\bruch{1}{2t}
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{1}{2t}}
[/mm]
Zweite Ableitung:
$ [mm] f_{t}''(x)=(-2tx*e^{-tx^2}*(1-2tx^2))+(e^{-tx^2}*(-4tx)) [/mm] $
$ [mm] f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*((2tx*(1-2tx^2))-4tx) [/mm] $
$ [mm] f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*((2tx-4t^2x^3))-4tx) [/mm] $
$ [mm] f_{t}''(x)=e^{-tx^2}*(-2tx-4t^2x^3) [/mm] $
Nullstellen der zweiten Ableitung:
[mm] -2tx-4t^2x^3=0
[/mm]
[mm] -tx-2t^2x^3=0
[/mm]
[mm] -tx*(1+2tx^2)=0
[/mm]
[mm] 1+2tx^2=0
[/mm]
[mm] 2tx^2=-1
[/mm]
[mm] x^2=\bruch{-1}{2t}
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{-1}{2t}}
[/mm]
Dritte Ableitung:
$ [mm] f_{t}'''(x)=-2tx\cdot{}e^{-tx^2}\cdot{}(-2tx-4t^2x^3)+e^{-tx^2}\cdot{}(-2t-12t^2x^2) [/mm] $
$ [mm] f_{t}'''(x)=e^{-tx^2}*(4t^2x^2+8t^3x^4-2t-12t^2x^2) [/mm] $
Extrema:
$ [mm] f_{t}''(\wurzel{\bruch{1}{2t}})=e^{-t\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})^2}\cdot{}(-2t\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})-4t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2t}})^3) [/mm] $
Wie beschreibe ich jetzt am besten, ob es ein Maximum oder Minimum ist?
Wendepunkt:
$ [mm] f_{t}'''(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})=e^{-t\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^2}\cdot{}(4t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^2+8t^3\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^4-2t-12t^2\cdot{}(\wurzel{\bruch{-1}{2t}})^2) [/mm] $
Hier habe ich jetz das selbe Problem wie bei den Extrema. Wie erkenne ich, ob das gleich Null ist und damit kein Wenepunkt ist?
Ich würde mich freuen, wenn ihr euch das mal durchlesen könntet und mir meine Fehler aufzeigen könnte bzw. mir Tipps geben könntet.
Vielen Dank schon jetzt!
LG TryingHard
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 So 03.12.2006 | | Autor: | TryingHard |
Dankeschön!
Habe nochmal die Fehler verbessert.
Jetzt müsste es richtig sein.
LG TryingHard
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Warum willst Du denn die arme, kleine, unschuldige $0_$ ausschließen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig. Aber schreib ruhig noch dazu: $... \ = \ [mm] -x*e^{-t*x^2} [/mm] \ = \ -f(x)$
