Funktionenschar Aufgaben < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 24.01.2007 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | | [mm] f_{a}(x)=\bruch{1}{a}*e^{-a*x^{2}} [/mm] für a>0 |
Hallo,
das ist die Funktion zu der es nun mehrere Teilaufgaben gibt. Bei manchen würde ich mich über eine Korrektur meiner Ergebnisse freuen und bei manchen würde ich mich über einen ersten Ansatz freuen. Also ich fang dann mal an ;)
Gibt es Eigenschaften, die für alle Scharkurven gelten?
Also ich würde sagen, dass der Graph für alle Scharkurven y-achsensymmetrisch ist. Und das passiert eben aufgrund dessen, dass x immer quadriert wird, und somit immer die gleichen y-Werte für negatives und positives x entstehen.
Das kann man dann noch zeigen mit [mm] f_{a}(x)=f_{a}(-x)
[/mm]
Dann vielleicht noch als zweites, dass die Funktion für jedes a gegen 0 geht. Und das ist halt weil a sowieso größer 0 ist und je größer das a, desto kleiner der Bruch, also eine weitere Annäherung an a. Aber wieso schreib ich überhaupt grad über a? Ist das richtig? Und wenn x gegen unendlich geht, dann wird das auch immer kleiner, weil das ja immer [mm] e^{- ...} [/mm] ist und deshalb immer kleiner wird und gegen 0. Hmm naja, würd mich über Bestätigung oder Korrektur freuen. 
Gibt es noch weitere Eigenschaften die für alle Scharkurven gelten? Ich hab noch, dass der Hochpunkt immer auf der y-Achse liegt, aber darüber schreib ich mal in einer anderen Teilaufgabe.
Der Graph zu [mm] f_{a}' [/mm] ist punktsymmetrisch. Warum? (Hier mehrere Begründungsmöglichkeiten)
Also [mm] f_{a}'(x)= -2x*e^{-ax^{2}}
[/mm]
Und als einzige Möglichkeit kenne ich da nur f(-x)=-f(x)
Naja, das stimmt, aber ich weiß keine andere möglichkeit der Punktsymmetrie. Einfach ein paar Werte einsetzen wie 1 und -1? Oder habt ihr noch andere Dinge zur Auswahl?
Begründe, dass 0 die einzige Extremstelle von [mm] f_{a} [/mm] ist, und zwar OHNE Ableitung.
Hmm da hätte ich jetzt gesagt, dass [mm] e^{-a*0^{2}}=e^{0}=1 [/mm] Und das ja das größte ist. Denn wenn man andere Werte einsetzt, wie z.b. 1 hat oder so, dann ist dieser Teil der Funktion immer kleiner als 1. Wie schreibe ich das richtig auf?
Gibt es ein a, so dass [mm] f_{a} [/mm] den Wendepunkt (1 | 1) hat?
Da wusste ich nun nicht genau, was ich tun sollte. Also um einen Wendepunkt rauszufinden, hat man ja normalerweise die zweite Ableitung gleich 0. Aber ich wusste nicht so recht, ob ich das hier anwenden muss. Ich hab dann einfach mal diesen Wendepunkt da in das normale f eingesetzt. und da kam dann ein a [mm] \approx [/mm] 0,567 raus. Hmm ja, da benötige ich wohl Hilfe 
Für welche a schneiden sich die Graphen zu [mm] f_{a} [/mm] und [mm] f_{a}' [/mm] ?
Also ich hab da einfach mal diese beiden Funktionen gleichgesetzt. Da kam dann raus [mm] a=-\bruch{1}{2x} [/mm]
Ist das so richtig?
Was lässt sich über den Flächeninhalt zwischen [mm] f_{a} [/mm] und x-Achse sagen?
Hmm... da wusste ich nicht so recht was ich machen sollte. Würde es da einen Schnittpunkt geben zwischen x-Achse und Graph... aber da gibts keinen. Zumindest glaub ich das Was nun?
danke für die Hilfe schonmal
lg lene
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 24.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo lene
> [mm]f_{a}(x)=\bruch{1}{a}*e^{-a*x^{2}}[/mm] für a>0
> Hallo,
> das ist die Funktion zu der es nun mehrere Teilaufgaben
> gibt. Bei manchen würde ich mich über eine Korrektur meiner
> Ergebnisse freuen und bei manchen würde ich mich über einen
> ersten Ansatz freuen. Also ich fang dann mal an ;)
>
> Gibt es Eigenschaften, die für alle Scharkurven gelten?
>
> Also ich würde sagen, dass der Graph für alle Scharkurven
> y-achsensymmetrisch ist. Und das passiert eben aufgrund
> dessen, dass x immer quadriert wird, und somit immer die
> gleichen y-Werte für negatives und positives x entstehen.
> Das kann man dann noch zeigen mit [mm]f_{a}(x)=f_{a}(-x)[/mm]
Korrekt.
>
> Dann vielleicht noch als zweites, dass die Funktion für
> jedes a gegen 0 geht. Und das ist halt weil a sowieso
> größer 0 ist und je größer das a, desto kleiner der Bruch,
> also eine weitere Annäherung an a. Aber wieso schreib ich
> überhaupt grad über a? Ist das richtig? Und wenn x gegen
> unendlich geht, dann wird das auch immer kleiner, weil das
> ja immer [mm]e^{- ...}[/mm] ist und deshalb immer kleiner wird und
> gegen 0. Hmm naja, würd mich über Bestätigung oder
> Korrektur freuen.
Auch korrekt
>
> Gibt es noch weitere Eigenschaften die für alle Scharkurven
> gelten? Ich hab noch, dass der Hochpunkt immer auf der
> y-Achse liegt, aber darüber schreib ich mal in einer
> anderen Teilaufgabe.
>
> Der Graph zu [mm]f_{a}'[/mm] ist punktsymmetrisch. Warum? (Hier
> mehrere Begründungsmöglichkeiten)
>
> Also [mm]f_{a}'(x)= -2x*e^{-ax^{2}}[/mm]
>
> Und als einzige Möglichkeit kenne ich da nur f(-x)=-f(x)
> Naja, das stimmt, aber ich weiß keine andere möglichkeit
> der Punktsymmetrie. Einfach ein paar Werte einsetzen wie 1
> und -1? Oder habt ihr noch andere Dinge zur Auswahl?
>
Dein Weg ist super und der einfachste. Es ist aber auch so, das kann man zeigen, dass die Ableitung einer achsensymmetrischen Funktion f immer punktsymmetrisch ist und umgekehrt. Wenn du das begründet haben willst, schau hier
> Begründe, dass 0 die einzige Extremstelle von [mm]f_{a}[/mm] ist,
> und zwar OHNE Ableitung.
>
> Hmm da hätte ich jetzt gesagt, dass [mm]e^{-a*0^{2}}=e^{0}=1[/mm]
> Und das ja das größte ist. Denn wenn man andere Werte
> einsetzt, wie z.b. 1 hat oder so, dann ist dieser Teil der
> Funktion immer kleiner als 1. Wie schreibe ich das richtig
> auf?
>
Ungefähr so, wie du es gemacht hast.
> Gibt es ein a, so dass [mm]f_{a}[/mm] den Wendepunkt (1 | 1) hat?
>
> Da wusste ich nun nicht genau, was ich tun sollte. Also um
> einen Wendepunkt rauszufinden, hat man ja normalerweise die
> zweite Ableitung gleich 0. Aber ich wusste nicht so recht,
> ob ich das hier anwenden muss. Ich hab dann einfach mal
> diesen Wendepunkt da in das normale f eingesetzt. und da
> kam dann ein a [mm]\approx[/mm] 0,567 raus. Hmm ja, da benötige ich
> wohl Hilfe
Damit des eine Wendepunkt an der Stelle 1 gibt, muss ja gelten: f''(1)=0 und daraus kannst du dann dein a bestimmen.
> Für welche a schneiden sich die Graphen zu [mm]f_{a}[/mm] und [mm]f_{a}'[/mm]
> ?
>
> Also ich hab da einfach mal diese beiden Funktionen
> gleichgesetzt. Da kam dann raus [mm]a=-\bruch{1}{2x}[/mm]
> Ist das so richtig?
>
Der Ansatz ist korrekt.
> Was lässt sich über den Flächeninhalt zwischen [mm]f_{a}[/mm] und
> x-Achse sagen?
>
> Hmm... da wusste ich nicht so recht was ich machen sollte.
> Würde es da einen Schnittpunkt geben zwischen x-Achse und
> Graph... aber da gibts keinen. Zumindest glaub ich das
> Was nun?
Das ganze ist dann ei sogenanntes "uneigentliches" Integral.
Dazu berechne mal das folgende Integral:
[mm] \limes_{z\to\infty}\integral_{-z}^{z}{f_{a}(x)dx}=\limes_{z\to\infty}2*\integral_{0}^{z}{f_{a}(x)dx}
[/mm]
Das heisst, die obere Grenze lässt du nach dem Integieren gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
>
> danke für die Hilfe schonmal
>
> lg lene
Marius
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mi 24.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Wow, Danke für die schnelle Antwort :) Und ich bin ja gar nicht mal so schlecht ;) Mal sehen ob noch Fragen aufkommen.
lg lene
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 24.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Wow, Danke für die schnelle Antwort :) Und ich bin ja gar
> nicht mal so schlecht ;) Mal sehen ob noch Fragen
> aufkommen.
>
> lg lene
Nur Mut. Ich denke, dass ist alles eine Frage des Selbstvertrauens. Und das du das kannst, sieht man doch.
Also: Weiter so (auch hier im Forum) jeder von uns hat mal "klein" angefangen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 24.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Halli Hallo,
eine Frage hätte ich da noch.
Zu dem folgenden.
>
> > Gibt es ein a, so dass [mm]f_{a}[/mm] den Wendepunkt (1 | 1) hat?
> >
> > Da wusste ich nun nicht genau, was ich tun sollte. Also um
> > einen Wendepunkt rauszufinden, hat man ja normalerweise die
> > zweite Ableitung gleich 0. Aber ich wusste nicht so recht,
> > ob ich das hier anwenden muss. Ich hab dann einfach mal
> > diesen Wendepunkt da in das normale f eingesetzt. und da
> > kam dann ein a [mm]\approx[/mm] 0,567 raus. Hmm ja, da benötige ich
> > wohl Hilfe
>
> Damit des eine Wendepunkt an der Stelle 1 gibt, muss ja
> gelten: f''(1)=0 und daraus kannst du dann dein a
> bestimmen.
>
okay, das habe ich gemacht. Dann kommt für [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm] raus. Wenn ich das nun aber in f(x) einsetze und für x=1 setze, dann kriege ich für den y-Wert nicht 1 raus. sondern 1,2... Heißt das nun, dass es kein a gibt, dass so einen Wendepunkt hat?
lg lene
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
