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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Hellmi |
| Aufgabe | [mm] f(x)=((x^2)-k) [/mm] / [mm] ((x^2)+k) [/mm]
1. und 2. Ableitung bilden
Stammfunktion bilden |
kann mir jemand dabei helfen?
komme bei der stammfunktion auf keinen ansatz
bei den ableitungen läuft es mit der quotientenregel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Hellmi,
ein Tipp für die Suche nach der Stammfunktion:
Forme zunächst dein Integral etwas um:
[mm] \integral{\bruch{x^2-k}{x^2+k} dx}=\integral{\bruch{x^2+k-2k}{x^2+k} dx}=\integral{\left(1-\bruch{2k}{x^2+k}\right) dx}=\integral{1 dx}-\integral{\bruch{2k}{x^2+k} dx}=\integral{1 dx}-2k*\integral{\bruch{1}{x^2+k} dx}
[/mm]
Und ab hier mit geeigneter Substitution ;)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:35 Do 08.02.2007 | | Autor: | Hellmi |
| Aufgabe | | [mm] f'(x)=(4xk)/((x^2)+k)^2 [/mm] |
ich weiß nicht genau ob die richtig ist. Falls nicht macht es ja auch keinen sinn die zweite zu bilden.
eine weiter frage ist: Es gibt einen graphen der einen sattelpunkt hat. da zu muss ich doch die beiden ableitungen gleich null setzen. Habe dann zwei gleichungen mit zwei unbekannten und muss diese gegeneinander auflösen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Do 08.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> [mm]f'(x)=(4xk)/((x^2)+k)^2[/mm]
> ich weiß nicht genau ob die richtig ist. Falls nicht macht
> es ja auch keinen sinn die zweite zu bilden.
[mm] f(x)=\bruch{x^2-k}{x^2+k}
[/mm]
musst du nach der quotientenregel ableiten:
f'= [mm] \bruch{u'*v - v'*u}{v^2} [/mm]
wobei hier: [mm] u=x^2-k [/mm] und [mm] v=x^2+k [/mm] ist.
[mm] f'(x)=\bruch{2x*(x^2+k) - 2x*(x^2-k)}{(x^2+k)^2}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{2x^3 +2xk - 2x^3+2xk}{(x^2+k)^2}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{4kx}{(x^2+k)^2}
[/mm]
deine ableitung ist also korrekt.
> eine weiter frage ist: Es gibt einen graphen der einen
> sattelpunkt hat. da zu muss ich doch die beiden ableitungen
> gleich null setzen. Habe dann zwei gleichungen mit zwei
> unbekannten und muss diese gegeneinander auflösen oder?
also einen sattelpunkt bestimmst du, indem du die 1. ableitung gleich null setzt [nicht beide!!] und die lösungen dafür ausrechnest. dann setzt du diese lösungen in die 2. ableitung und in die 3. ableitung ein.
falls die 2. ableitung an diesen stellen gleich null ist und die 3. ableitung an dieser(n) stelle(n ) ungleich null ist, befindet sich dort ein sattelpunkt.
[mm] f'(x_{s}=0 \wedge f''(x_{s}=0 \wedge f'''(x_{s} \ne [/mm] 0.
also nix gleichungssystem!
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 08.02.2007 | | Autor: | Hellmi |
ich bekomme heraus, das der graph seine sattelpunkte an den polstellen hätte.. bzw. bei k = 0 und das würde bedeuten f(x) = 1 und das ist ne paralle zur y-achse und kann keinen sattelpunkt haben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 08.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
nein, eine pralle (tschuldigung parallele) ist sicher kein sattelpunkt.
die nullstellen der ersten ableitung erhalte ich, wenn der zähler null ist.
0=4kx dies ist der fall für a) k=0 und beliebige x, b) für x=0 und beliebige k
da ich mir jetzt nicht den wolf rechnen will, könntest ja mal die zweite und dritte ableitung posten, nur soviel.
für k=0 erhalte ich die funktion [mm] f_{0}(x)=\bruch{x^2}{x^2} [/mm] = 1
für diese funktion ist [mm] f_{0}'(x)=0 [/mm] für alle x, [mm] f_{0}''(x)=0, f_{0}'''(x)=0 [/mm] => kein sattelpunkt!
zum thema polstellen. solche liegen an den punkten vor, an denen der nenner eine nullstelle hat.
[mm] x^2+k [/mm] =0
[mm] x^2 [/mm] = -k
x= [mm] \wurzel{-k} [/mm] das ist nur definiert für k <0 ! d.h. heisst, nur für funktionen mit k<0 gibt es eine polstelle.
ich glaube nicht, dass an einer [echten] polstelle ein sattelpunkt liegen kann.
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 08.02.2007 | | Autor: | Hellmi |
| Aufgabe | | f''(x) = (4k ((x²+k)²+(x³+2kx)) / [mm] (x²+k)^4 [/mm] |
ich gehe mal davon aus das die ableitung richtig ist.
aber ist es nicht so wenn x² = 0 ist dann kürzt sich k raus und man hat f(x)=1 und wenn k = 0 ist dann hat man auch f(x) =1 oder nicht
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Hallo Hellmi!
Ich habe hier ein anderes Ergebnis für die ableitung erhalten. Bei der 2. Ableitung solltest Du auch nicht sofort im Zähler ausmultiplizieren. Denn so kannst Du auch den Term [mm] $\left(x^2+k\right)$ [/mm] kürzen.
Kontrollergebnis: [mm] $f_k''(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4k*\left(k-x^2\right)}{\left(x^2-k\right)^3}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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