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Funktionentheorie: Involutionen, Liouville
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mo 21.11.2005
Autor: kunzm

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich hoffe jemand kann mir helfen. Ich habe zwei Aufgaben mit denen ich gar nicht zu recht komme! Ich habe die Aufgaben mal hier abgetippt.
Meine Fragen zur ersten Aufgabe sind im Wesentlichen, was das kaligraphische O hier eigentlich bedeutet, und generell wo der Ansatz ist. Das ist mit der zweiten Aufgabe komme ich auch nicht zurecht. Wie setze ich da an? Mir fehlt völlig die Vorstellung. Verzeihung wegen des Verstosses bezüglich der Lösungsversuche, die möchte ich hier nicht abtippen.

Danke, Martin


Im Folgenden: R= körper reeller Zahlen, C= körper komplexer zahlen,
O() kaligraphisch.


1. Involutionen auf O(A)


Es sei A ein unter der komplexen Konjugation invariantes Gebiet.

a) Zeigen Sie, dass für eine holomorphe Funktion "f: A nach C" auch die
         Funktion "f*: A nach C, f*(z)=konj(f(konj(z))"  holomorph ist.

b) Es sei "f: A nach C"  holomorph. Beweisen sie, dass die Gleichung
f*=f  erfüllt ist, falls f auf ( A geschnitten R) reell ist. Gilt auch die Umkehrung?


2. Satz von Liouville

Beweisen sie , dass das Bild einer ganzen nicht konstanten Funktion dicht ist in C.


        
Bezug
Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:09 Di 22.11.2005
Autor: Leopold_Gast

[mm]\mathcal{O}(A)[/mm] sind die holomorphen Funktionen auf [mm]A[/mm]. Bei 1. könntest du die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nachweisen unter der Voraussetzung, daß sie für [mm]f[/mm] erfüllt sind. Das ist halt ein bißchen ein Vorzeichengewurstel (Kettenregel).

Bezug
                
Bezug
Funktionentheorie: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Di 22.11.2005
Autor: kunzm

Unte der Bedingung dass f holomorph ist und die C-R-DGLn gelten, habe ich folgendes gemacht:

z=x+iy;
f=Re(f)+Im(f);
f(z)=u(x,y)+i v(x,y);

-> [mm] f*(z)=\overline{Re(f(\overline{z}))+Im(f(\overline{z}))} [/mm]
             [mm] =Re(f(\overline{z}))-Im(f(\overline{z})) [/mm]
             [mm] =Re(f(z))-Im(f(\overline{z})) [/mm]

und an dieser Stelle würde ich sagen da [mm] \overline{z}\in\overline{A}=A [/mm] aus Angabe folgt:

f*(z)=Re(f(z))-Im(f(z))

und wie beweise ich mit den CR-DGLn dass das holomorph ist vorausgesetzt das stimmt bis hier?



Bezug
                        
Bezug
Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 22.11.2005
Autor: Leopold_Gast

Beachte zunächst, daß per definitionem Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl als reell festgelegt sind. Es muß also

[mm]f(z) = \Re{ \left( f(z) \right) } + \operatorname{i} \, \Im{ \left(f(z) \right) } = u(x,y) + \operatorname{i} \, v(x,y)[/mm]

heißen (entsprechend auch bei den anderen). Nun ist gemäß Definition

[mm]f^{\star}(z) = \overline{f( \overline{z} )} = \overline{ u(x,-y) + \operatorname{i} \, v(x,-y)} = u(x,-y) - \operatorname{i} \, v(x,-y)[/mm]

Weil [mm]f[/mm] holomorph ist, gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

(*)   [mm]u_x (x,y) = v_y (x,y) \, , \ \ u_y (x,y) = - v_x (x,y)[/mm]

Wenn du dir die obige Beschreibung ansiehst, erkennst du

[mm]u^{\star}(x,y) = u(x,-y) \, , \ \ v^{\star}(x,y) = - v(x,-y)[/mm]

als Real- und Imaginärteil von [mm]f^{\star}[/mm]. Und jetzt mußt du

[mm]u^{\star}_x (x,y) = v^{\star}_y (x,y) \, , \ \ u^{\star}_y (x,y) = - v^{\star}_x (x,y)[/mm]

nachweisen. Natürlich darfst du dabei (*) verwenden.

Du brauchst natürlich nicht den Weg über das Reelle zu gehen. Alternativ kannst du auch einen rein komplexen Beweis führen. Holomorphie bedeutet doch nichts anderes als komplexe Differenzierbarkeit in einer Umgebung der betrachteten Stelle. Da [mm]A[/mm] ein bezüglich der reellen Achse symmetrisches Gebiet, also insbesondere offen ist, genügt der Nachweis der komplexen Differenzierbarkeit für beliebiges [mm]z \in A[/mm]. Dann ist auch [mm]\overline{z} \in A[/mm], und für dem Betrage nach genügend kleines komplexes [mm]h \neq 0[/mm] folgt:

[mm]\frac{f^{\star}( z + h ) - f^{\star}(z)}{h} = \frac{ \overline{ f \left( \overline{ z + h } \right) } - \overline{ f \left( \overline{z} \right) } }{h} = \overline{ \left( \frac{ f \left( \overline{z} + \overline{h} \right) - f \left( \overline{z} \right) }{\overline{h}} \right) }[/mm]

Und hieran kann man alles ablesen. Beachte, daß [mm]h \to 0[/mm] auch [mm]\overline{h} \to 0[/mm] nach sich zieht und die komplexe Konjugation stetig ist.

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