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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Di 14.06.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe | Für die Funktionen
(a) f(z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] und
(b) f(z) = [mm] Z^{2}
[/mm]
bestimme man die Höhenlinien von R(f(z)), Im(f(z)) und |f(z)|. (R=Realteil, Im = Imaginärteil)
("Bestimmen" heißt: in eine implizite oder explizite oder parametrische Form umwandeln, von der man die geometrische Form ablesen kann, und letzteres auch tun.) Skizzieren Sie diese!
Bestimmen Sie weiterhin die Bilder der Geraden R(z) = a und Im(z) = b unter f und skizzieren Sie diese! |
Hey,
weiß mit der Aufgabe irgendwie nix anzufangen. Kann mir jemand erklären was ich machen muss und den Ansatz skezieren?
Danke im Voraus
Lg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Beispiel: $f(z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] $
Es ist $Re(f(z))= [mm] \bruch{x}{x^2+y^2}$ [/mm] $(x,y [mm] \in \IR$)
[/mm]
Für c [mm] \in \IR [/mm] ist die Höhenlinie von Re(f) gegeben durch
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: (x,y) \ne (0,0), \bruch{x}{x^2+y^2}=c\}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Do 16.06.2011 | | Autor: | Dr.Weber |
Danke für deine Antwort. [mm] \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}=c [/mm] hatten wir auch schon ruas. Demzufolge müssten die Höhenlinien Kreise bilden die durch [mm] \bruch{x}{c}=x^{2}+y^{2} [/mm] beschrieben werden. Nun haben wir aber folgendes Problem: Als Radius bekommt man doch demnach r= [mm] \wurzel{\bruch{x}{c}}. [/mm] Nun wissen wir nicht wie die Kreise eindeutig bestimmt werden, da der Radius noch immer von x abhängt.
Kannst du uns da aucch noch weiterhelfen?
Lg
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Hallo,
> Danke für deine Antwort. [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}=c[/mm] hatten
> wir auch schon ruas. Demzufolge müssten die Höhenlinien
> Kreise bilden die durch [mm]\bruch{x}{c}=x^{2}+y^{2}[/mm]
> beschrieben werden.
[mm] cx^2-x+cy^2=0
[/mm]
Jetzt quadratische Ergänzung:
[mm] \wurzel{c}^2x^2-2*\wurzel{c}*\bruch{1}{2\wurzel{c}}x+\left(\bruch{1}{2\wurzel{c}}\right)^2-\left(\bruch{1}{2\wurzel{c}}\right)^2+cy^2=0
[/mm]
[mm] \left(\wurzel{c}x-\bruch{1}{2\wurzel{c}}\right)^2+cy^2=\left(\bruch{1}{2\wurzel{c}}\right)^2
[/mm]
oder besser:
[mm] \left(x-\bruch{1}{2c}\right)^2+y^2=\left(\bruch{1}{2c}\right)^2
[/mm]
Das sind keine Kreise!
Na, doch. Jetzt sieht mans...
> Nun haben wir aber folgendes Problem:
> Als Radius bekommt man doch demnach r=
> [mm]\wurzel{\bruch{x}{c}}.[/mm] Nun wissen wir nicht wie die Kreise
> eindeutig bestimmt werden, da der Radius noch immer von x
> abhängt.
> Kannst du uns da aucch noch weiterhelfen?
> Lg
Grüße
reverend
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