Funktions-Bestimmung (2) < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Funktion der Form [mm] f(x)=a*x^{2}+b*x+c [/mm] hat ihren Scheitelpunkt bei y=1.
Die Tangenten schneiden sich in P(0/-1), wobei die eine Tangente die Steigung -1.5 (minus eins komma fünf) und die andere Tangente die Steigung 5.5 hat.
Wie lautet die Funktion? |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man die Parabel parallel zur x-Achse verschiebt und die Öffnung ändert, dann würde sie nicht mehr zwischen die beiden Geraden passen bzw. nicht achsensymmetrisch sein.
Also gibt es eine eindeutige Parabel und somit auch eine eindeutige Funktion.
Zunächst gibt es die Unbekannten a, b und c.
Dann ist auch [mm] x_{s} [/mm] unbekannt (der x-Wert des Scheitelpunktes)
Ferner sind [mm] x_{t1}, y_{t1}, x_{t2} [/mm] und [mm] y_{t2} [/mm] unbekannt (die x- und y Werte der beiden Tangentenpunkte).
Boah, das sind also acht Unbekannte !!
Demnach müsste man acht Gleichungen aufstellen !!
1.) [mm] 2*a*x_{s}+b=0 [/mm] (1. Ableitung ist im Scheitel NULL)
2.) [mm] a*x_{s}^{2}+b*x_{s}+c=1 [/mm] (y-Wert des Scheitelpunktes ist EINS)
3.) [mm] y_{t1}=5.5*x_{t1}-1 [/mm] (erste Tangente)
4.) [mm] y_{t2}=-1.5*x_{t2}-1 [/mm] (zweite Tangente)
5.) [mm] y_{t1}=a*x_{t1}^{2}+b*x_{t1}+c [/mm] (erster Tangentenpunkt)
6.) [mm] y_{t2}=a*x_{t2}^{2}+b*x_{t2}+c [/mm] (zweiter Tangentenpunkt)
Jetzt fehlen immer noch zwei Gleichungen - da es ja 8 Unbekannte gibt -, und die Sache sieht jetzt schon kompliziert aus, besonders im Hinblick auf die "Quadrate" in Gleichung 5 und 6.
Gibt es da ein einfacheres Verfahren ???
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mo 05.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Mir ist gerade eingefallen, dass die Steigung in den Tangentenpunkten ja auch bekannt ist:
7.) [mm] 2*a*x_{t1}+b=5.5
[/mm]
8.) [mm] 2*a*x_{t2}+b=-1.5
[/mm]
Dennoch wird es wohl recht kompliziert sein, so ein System zu lösen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Mo 05.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Versuch doch mal, die Schteitelpunktsform f(x)=a(x-d)²+e hinzuzuziehen.
Dieses liefert mit ja des Scheitelpunkt S(d/e), hier also e=1
[mm] f(x)=ax^{2}+bx+c
[/mm]
[mm] =a\left(x²+\bruch{b}{a}x\right)+c
[/mm]
[mm] =a\left(x²+\bruch{b}{a}x+\bruch{b²}{4a²}-\bruch{b²}{4a²}\right)+c
[/mm]
[mm] =a\left(x²+2\bruch{b}{2a}x+\left(\bruch{b}{2a}\right)^{2}-\bruch{b²}{4a²}\right)+c
[/mm]
[mm] =a\left(\left(x²+\bruch{b}{2a}\right)^{2}-\bruch{b²}{4a²}\right)+c
[/mm]
[mm] =a\left(x²+\bruch{b}{2a}\right)^{2}-\bruch{ab²}{4a²}+c
[/mm]
[mm] =a\left(x²+\bruch{b}{2a}\right)^{2}-\bruch{b²}{4a}+c
[/mm]
Also hast du [mm] d=-\bruch{b}{2a} [/mm] und [mm] e=c-\bruch{b²}{4a}
[/mm]
Jetzt kannst du ausnutzen, dass e=1, also [mm] c-\bruch{b²}{4a}=1
[/mm]
Also: 4ac-b²=4a
Und bedenke, f(d)=1, also
[mm] \bruch{b²}{4a²}-\bruch{b²}{2a}+c=1
[/mm]
Damit hast du dann zwei weitere Gleichungen.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 05.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Also: 4ac-b²=4a
Das ergibt sich bereits aus den Gleichungen 1.) und 2.)
Die acht Gleichungen habe ich nun ja aufgrund des Nachtrages.
Allerdings weiß ich nicht, ob es einen Algorithmus gibt, so ein System zu lösen (wegen der Quadrate und der Multiplakationen von Unbekannen miteinander, die in mehreren Gleichungen autauchen)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo rabilein1,
Ich habe die Aufgabe mal mit dem Ansatz der Scheitelpunktsform gerechnet.
$ f(x) = [mm] a(x-x_s)^2+1 [/mm] $
$ f'(xs) = 2 [mm] (x-x_s) [/mm] $
Hier brauchst Du dann nur 4 Gleichungen:
$ [mm] a(x_{t_1}-x_s) [/mm] = -1,5 $
$ [mm] a(x_{t_2}-x_s) [/mm] = 5,5 $
$ [mm] a(x_{t_1}-x_s)^2+1 [/mm] = [mm] a(x_{t_1}-x_s) x_{t_1} [/mm] -1 $
$ [mm] a(x_{t_2}-x_s)^2+1 [/mm] = [mm] a(x_{t_2}-x_s) x_{t_2} [/mm] -1 $
Wenn Du jetzt die beiden ersten Gleichungen einmal nach $ [mm] x_{t_1}-x_s [/mm] $ bzw. $ [mm] x_{t_1}-x_s [/mm] $ löst und dann noch nach $ [mm] x_{t_1} [/mm] $ bzw. $ [mm] x_{t_1} [/mm] $ und in die beiden anderen einsetzt, vereinfacht sich die Sache schon gewaltig. Du erhälst zwei relativ einfache Gleichungen in a und [mm] x_s.
[/mm]
Mein Ergebnis ist: $ [mm] f(x)=\bruch{7}{16} [/mm] (x + [mm] \bruch{8}{7})^2 [/mm] + 1 $
Ich hab's aber nicht überprüft.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Di 06.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Vielen Dank, Sigrid, dass du dir die Mühe gemacht hast. Die Aufgabe ist also doch lösbar.
Statt der [mm] \bruch{7}{16} [/mm] - was ja ungefähr [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist - hätte ich allerdings eher eine 1 vermutet.
Die Werte für b und c dagegen müssten jeweils ungefähr 1 sein - so wie du das ja auch raus hast.
Zur Erklärung:
Ursprünglich hatte ich die Aufgabe umgekehrt konzipiert: Die Funktion war gegeben, ebenso der Schnittpunkt der beiden Tangenten.
Daraus lassen sich dann recht einfach die beiden Tangentengleichungen und die Berührpunkte berechnen.
Und dann wollte ich wissen, ob auch der umgekehrte Weg geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 06.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo rabilein,
> Vielen Dank, Sigrid, dass du dir die Mühe gemacht hast. Die
> Aufgabe ist also doch lösbar.
>
> Statt der [mm]\bruch{7}{16}[/mm] - was ja ungefähr [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist
> - hätte ich allerdings eher eine 1 vermutet.
Das hatte ich nach Deiner Zeichnung auch, aber Deine Tangenten sind in der Zeichnung etwas zu steil geraten.
Gruß
Sigrid
>
> Die Werte für b und c dagegen müssten jeweils ungefähr 1
> sein - so wie du das ja auch raus hast.
>
>
> Zur Erklärung:
> Ursprünglich hatte ich die Aufgabe umgekehrt konzipiert:
> Die Funktion war gegeben, ebenso der Schnittpunkt der
> beiden Tangenten.
> Daraus lassen sich dann recht einfach die beiden
> Tangentengleichungen und die Berührpunkte berechnen.
>
> Und dann wollte ich wissen, ob auch der umgekehrte Weg
> geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Mi 07.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Das hatte ich nach Deiner Zeichnung auch, aber Deine
> Tangenten sind in der Zeichnung etwas zu steil geraten.
Hallo Sigrid,
meiner Ansicht nach entsprechen die Tangenten der Aufgabe:
Ausgehend vom Schnittpunkt (0/-1):
Linke Tangente = eine Einheit nach links und 1.5 Einheiten nach oben (=Steigung -1.5).
Rechte Tangente = eine Einheit nach rechts und 5.5 Einheiten nach oben (=Steigung 5.5)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo rabilein1
>
> > Das hatte ich nach Deiner Zeichnung auch, aber Deine
> > Tangenten sind in der Zeichnung etwas zu steil geraten.
>
> Hallo Sigrid,
>
> meiner Ansicht nach entsprechen die Tangenten der Aufgabe:
>
> Ausgehend vom Schnittpunkt (0/-1):
>
> Linke Tangente = eine Einheit nach links und 1.5 Einheiten
> nach oben (=Steigung -1.5).
>
> Rechte Tangente = eine Einheit nach rechts und 5.5
> Einheiten nach oben (=Steigung 5.5)
Du hast völlig recht. Entschuldige, ich kann wohl nicht mehr zählen ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]") .
Dann muss ich mich doch irgendwo verrechnet haben.
Gruß
Sigrid
|
|
|
|
