Funktionschar/Ortskurve < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 02.03.2008 | | Autor: | Susanne |
| Aufgabe | Die Funktion f(x) gehört für k = 8 zur Funktionsschar [mm] f_{k}(x) [/mm] = (2x + k) * [mm] e^{- \bruch{1}{k} x} [/mm]
Die Ableitung [mm] f_{k} [/mm] ist gegeben durch die Gleichung [mm] f_{k}(x) [/mm] = ( 1- [mm] \bruch{2x}{k} [/mm] * [mm] e^{- \bruch{1}{k} x}
[/mm]
Zeige, dass die Ortskurve der Hochpunkte eine Gerade ist.
Zeichne außerdem ohne zusätzliche Rechnung eine weitere Funktion der Funktionenschar. |
Das ist eine Unteraufgabe, die ich einfach nicht verstehe.
In den Punkten vorher habe ich bereits die Nullstelle N(-4/0) den y-Achsenabschnitt (0/8) den Hochpunkt (4/9,7) und den Wendepunkt (12/7,14) ausgerechnet. Außerdem das Randverhalten für x [mm] \to +\infty [/mm] = +0 und für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] = - [mm] \infty [/mm] .
Die Stammfunktion von f(x) = (2x + 8) * [mm] e^{- \bruch{1}{8} x} [/mm] ist F(x) = (-16x - 192) * [mm] e^{- \bruch{1}{8} x} [/mm]
Ich weiß gar nicht, wie ich bei dieser Aufgabe ansetzen muss, weil ich nicht weiß, wie ich die Ortskurve berechne. Und wie ich dann aufzeige, dass ein Punkt, hier der Hochpunkt, eine Gerade ist weiß ich auch nicht.
Kann mir das jemand erklären?
Vielen lieben Dank! Mir wäre ziemlich geholfen, ich schreib am Donnerstag Mathe Abi und kann einfach nicht ruhig schlafen, wenn es Aufgaben gibt, die ich nicht lösen kann :P
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 So 02.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Eine Stammfunktion brauchst du hier nicht weiter.
Und die Hochpunkte sind keine Geraden, aber alle Hochpunkte von allen Zahlen von k zusammen bilden eine Gerade! Zumindst sollen sie das nach Aufgabenstellung.
Mal ein einfacheres Beispiel:
[mm] f_a(x)=(x-a)²+1
[/mm]
Man bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte.
Diese Funktion kannst du dir ja leicht vorstellen, da es eine verschobene Normalparabel ist. Um 1 entlangd er positiven y-Achse und um a in Richtung der positiven x-Achse.
Damit würde der Tiefpunkt (hier auch Scheitelpunkt) ja immer bei T(a|1) liegen. Das heißt also, dass alle Tiefpunkte auf der waagerechten Geraden y=1 liegen, da hier der y-Wert der Tiefpunkte immer 1 beträgt!
Und zu deiner Aufgabe:
Auch hier musst du erst einmal die Koordinaten des Hochpunktes ausrechnen. Wenn du die 1. Ableitung 0 setzt, solltest du auf [mm] x_E=\bruch{k}{2} [/mm] kommen.
Dann musst du gucken, ob es wirklich ein Hochpunkt ist (wovon ich aber mal stark ausgehe). Dann berechnest du den dazugehörigen y-Wert und schreibst dir den Hochpunkt erstmal auf.
[mm] H(\bruch{k}{2}|...irgendwas [/mm] mit k sicher)
Damit hast du:
I [mm] x_H=\bruch{k}{2}
[/mm]
II [mm] y_H=...irgendwas [/mm] mit k.
I kannst du nach k umstellen und in 2 einsetzen. So kannst du immer die Ortskurve bestimmen!
Erst Punkt ausrechnen, x-Koordinate nach Scharparameter umstellen und in die y-Koordinate einsetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 02.03.2008 | | Autor: | Susanne |
vielen dank für die schnelle antwort :)
ich werd mich gleich dransetzen und es durchrechnen.
|
|
|
|
