matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenSteckbriefaufgabenFunktionschar bestimmen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Steckbriefaufgaben" - Funktionschar bestimmen
Funktionschar bestimmen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Steckbriefaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktionschar bestimmen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Do 13.09.2012
Autor: Coco96

Aufgabe
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 8.Grades mit folgenden Eigenschaften: Der Graph zu f ist symetrisch zur y-Achse und verläuft durch den Punkt P(0/8). Ferner hat der Graph in P2(2/8) einen Extrempunkt. Zudem verläuft er Graph durch die Punkte P3(xp/4) und P4(-xp/4) sowie durch den punkt P5(1/8). Bestimmen sie die Funktionsgleichung.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habe die Bedingugngen für diese Funktion schon aufgestelt:
f(0)=8
f(2)=8
f(1)=8
f´(2)=0

die funktionsgleichung wäre ja:
f(x)= [mm] ax^8+bx^6+cx^4+dx^2+e [/mm]

ich benötige aber 5 Bedingungen um diese Funktion aufzustellen, jedoch habe ich nur 4. Ich habe ja noch den Punkt P3 und P4, jedoch weiss ich nicht wie ich diese verwenden soll als parameter.

Ich habe versucht das im Taschenrechner mit der Matrix zu lösen, aber da kommen komische Zahlen raus. Ich würde mich sehr über eure hilfe freuen :)

        
Bezug
Funktionschar bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Do 13.09.2012
Autor: Richie1401

Hallo Coco,

Frage: Soll die Stelle [mm] x_p [/mm] ein weiterer Extrempunkt sein? Dann hätte man ja noch ein paar Informationen zur Verfügung und somit vermutlich auch die exakte Lösung.

Bezug
                
Bezug
Funktionschar bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Do 13.09.2012
Autor: Coco96

Hallo richi,
nein es ist kein weiterer extrempunkt, sondern nur ein "einfacher" Punkt

Bezug
        
Bezug
Funktionschar bestimmen: Symmetrie
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Do 13.09.2012
Autor: Tea

Gibt es über die Symmetrieeigenschaften die Möglichkeit, an weitere Infos zu gelangen?
Bspw.: P2 ist Extrempunkt, daraus folgt (-2/8) ist ebenfalls Extrempunkt?

Nur eine kurze Anmerkung, aber vielleicht hilft es ja weiter.

Bezug
                
Bezug
Funktionschar bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Do 13.09.2012
Autor: Coco96

Hallo Tea
Nein, ich habe nur einen Extrempunkt bei (2/8).
Ich habe die aufgabenstellung genau so abgeschrieben, wie sie auf meinen AB draufstand.

Bezug
                        
Bezug
Funktionschar bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Do 13.09.2012
Autor: Coco96

So, ich bin jetzt schon ein bisschen weiter, aber ich weiss jetzt nicht mehr weiter :(

Für:
a= -(11/80)d
b= (15/16)d
c= -(5/9)d
e= 8

Was muss ich jetzt tun?

Bezug
        
Bezug
Funktionschar bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Do 13.09.2012
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Das Symmetrie-Argument zieht leider nicht, denn wenn f(1)=8 gilt, gilt auch f(-1)=8 , und das führt zu:

$8= [mm] a*1^8+b*1^6+c*1^4+d*1^2+e [/mm] $

sowie

$8= [mm] a*(-1)^8+b*(-1)^6+c*(-1)^4+d*(-1)^2+e [/mm] $

und wegen der graden Exponenten ist das identisch mit der ersten Formel.

Es wird hier tatsächlich so sein, daß nach einer Kurvenschar gefragt ist, sodaß [mm] x_p [/mm] auch in der Lösung stehen wird.

Demnach lautet die Bedingung

$4= [mm] a*x_p^8+b*x_p^6+c*x_p^4+d*x_p^2+e [/mm] $

(Die Bedingung mit dem [mm] -x_p [/mm] bringt nix, aus dem o.g. Grund)

Dieses [mm] x_p [/mm] wird wie eine Konstante, also wie eine der gegebenen x-Werte behandelt, das mag bei der Rechnung ungewohnt sein, aber versuchs mal.

Aus der Bedingung f(0)=8 folgt sofort e=8. Versuche aus den übrigen Bedingungen ohne das [mm] x_p [/mm] drei weitere Parameter zu bestimmen, und setze diese dann in

$4= [mm] a*x_p^8+b*x_p^6+c*x_p^4+d*x_p^2+e [/mm] $

ein. Es bleibt dann nur noch ein Parameter übrig, nach dem du diese Gleichung auflösen kannst. Das ist alles.


Bezug
                
Bezug
Funktionschar bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Do 13.09.2012
Autor: Coco96

Okay, aber ich habe das nicht so ganz vestanden, was du mit "Versuche aus den übrigen Bedingungen ohne das  drei weitere Parameter zu bestimmen" meintest, könntest du das bitte für mich noch einmal erklären?

Danke :)

Bezug
                        
Bezug
Funktionschar bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Fr 14.09.2012
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Im Prinzip ist das gar nicht so knackig, wie hier behauptet wurde. Du hast die Antwort auch fast schon selbst gegeben, indem du erstmal ohne diese Bedingung gerechnet hast, und auf

a= -(11/80)d
b= (15/16)d
c= -(5/9)d
e= 8         (Nicht nachgerechnet!)

gekommen bist. Die Bedingung mit dem [mm] x_p [/mm] lautet ja nun:

$ 4= [mm] a\cdot{}x_p^8+b\cdot{}x_p^6+c\cdot{}x_p^4+d\cdot{}x_p^2+e [/mm] $

Hier kannst du die bekannten Parameter einsetzen:

$ 4= [mm] -\frac{11}{80}d\cdot{}x_p^8+\frac{15}{16}d\cdot{}x_p^6-\frac{5}{9}d\cdot{}x_p^4+d\cdot{}x_p^2+8 [/mm] $

$ 4= [mm] \left(-\frac{11}{80}\cdot{}x_p^8+\frac{15}{16}\cdot{}x_p^6-\frac{5}{9}\cdot{}x_p^4+\cdot{}x_p^2\right)*d [/mm] +8$

und damit ist d gegeben.



Bezug
                
Bezug
Funktionschar bestimmen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 17:58 Do 13.09.2012
Autor: Richie1401

Hallo,

ja, und das zu lösen ist wohl dann ziemlich knackig. Allein wegen den ganzen Potenzen von [mm] x_p [/mm]

Ich habe das entstandene System schnell einmal mit Mathematica berechnet.
Ich würde sagen: Viel Spaß beim Lösen per Hand. ;)

Bezug
        
Bezug
Funktionschar bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Do 13.09.2012
Autor: Leopold_Gast

Mit dem Ansatz

[mm]f(x) = a \cdot x^8 + b \cdot x^6 + c \cdot x^4 + d \cdot x^2 + 8[/mm]

hat man den Punkt [mm]P_1[/mm] bereits versorgt. Die restlichen Bedingungen ohne [mm]P_3[/mm] und [mm]P_4[/mm] liefern ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den vier Unbekannten [mm]a,b,c,d[/mm]. Es besitzt unendlich viele Lösungen. Setzt man mit [mm]t[/mm] als Parameter [mm]d=-16t[/mm] an, so findet man

[mm]a = t \, , \ b = -9t \, , \ c = 24t \, , \ d = -16t[/mm]

Es kommen daher nur Funktion [mm]f_t[/mm] der Gestalt

[mm]f_t(x) = 8 + t \cdot \left( x^8 - 9x^6 + 24x^4 -16x^2 \right)[/mm]

als Lösungen der Aufgabe in Frage.

i) Als erstes kann man [mm]t=0[/mm] ausschließen, denn die Lösungen sollen ja vom Grad 8 sein.

ii) Für [mm]t<0[/mm] strebt [mm]f_t(x)[/mm] gegen [mm]- \infty[/mm], wenn [mm]x[/mm] gegen [mm]\pm \infty[/mm] strebt. Da [mm]f_t[/mm] den Wert 8 annimmt, muß es also beim Funktionswert 4 von [mm]P_3[/mm] und [mm]P_4[/mm] vorbeikommen. Damit sind alle [mm]f_t[/mm] mit [mm]t<0[/mm] Lösungen der Aufgabe.

iii) Wenn [mm]t>0[/mm] ist, gilt [mm]f_t(x) \to \infty[/mm] für [mm]x \to \pm \infty[/mm]. Damit nimmt [mm]f_t[/mm] ein globales Minimum an. Nur wenn dieses globale Minimum [mm]\leq 4[/mm] ist, nimmt [mm]f_t[/mm] den Wert 4 an.
Eine Kurvendiskussion zeigt, daß das globale Minimum unabhängig von [mm]t[/mm] bei [mm]x^{\*} = \sqrt{\frac{1}{8} \left( 11 - \sqrt{57} \right)}[/mm] angenommen wird. Die Gleichung [mm]f_t \left( x^{\*} \right) = 4[/mm] liefert dann die untere Grenze [mm]t^{\*}[/mm] der zulässigen [mm]t[/mm]-Werte. Für alle [mm]t \geq t^{\*}[/mm] sind die [mm]f_t[/mm] Lösungen der Aufgabe.

Zusammengefaßt: Die sämtlichen Lösungen der Aufgabe sind die [mm]f_t[/mm] von oben mit [mm]t \not \in [0,t^{\*})[/mm].

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Steckbriefaufgaben"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 15h 43m 7. HJKweseleit
UAnaR1FolgReih/Wert einer Reihe
Status vor 16h 29m 2. fred97
UAnaR1/Riemann Summe
Status vor 19h 15m 11. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 23h 36m 2. Infinit
SStatHypo/Bedeutung Signifikanzniveau
Status vor 1d 0h 26m 4. fred97
UAnaR1FolgReih/Absolute Konvergenz
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]