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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 01.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionsfolge [mm] f_n:\IR\mapsto \IR [/mm] mit
[mm] f_n(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{für } x\in(-n,n) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x\notin(-n,n) \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert f dieser Funktionsfolge.
b) Zeigen Sie, dass die Funktionsfolge auch gleichmäßig gegen f konvergiert.
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Guten Tag zusammen,
ich habe ein kleines Problem bezüglich dieser Aufgabe .
Ich kenne die Definitionen , nur weiss ich immer noch nicht wie man hier vorgeht.
Definition punktweise Konvergenz
[mm] f_n:M \mapsto \IR [/mm] konvergiert punktweise gegen [mm] f:M\mapsto \IR, [/mm] wenn
[mm] \forall x\in [/mm] M ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x)
[/mm]
Definition Gleichmäßige Konvergenz
[mm] f_n:M \mapsto \IR [/mm] konvergent glm. auf M gegen [mm] f:M\mapsto \IR, [/mm] wenn
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists n_0 [/mm] sd. [mm] \forall n\ge n_0 [/mm] und alle [mm] x\inM
[/mm]
[mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
Wäre nett wenn mir da jemand bischen helfen könnte.
MFG Dave
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> Gegeben sei die Funktionsfolge [mm]f_n:\IR\mapsto \IR[/mm] mit
>
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} \bruch{1}{n}, & \mbox{für } x\in(-n,n) \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x\notin(-n,n) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert f dieser
> Funktionsfolge.
>
> b) Zeigen Sie, dass die Funktionsfolge auch gleichmäßig
> gegen f konvergiert.
>
> Guten Tag zusammen,
>
> ich habe ein kleines Problem bezüglich dieser Aufgabe .
> Ich kenne die Definitionen , nur weiss ich immer noch
> nicht wie man hier vorgeht.
Hallo,
daß Du die Definitionen kannst, ist ja schonmal gut.
Hast Du denn schon eine Vermutung, welche Funktion f die Grenzfunktion ist.
Solch eine Vermutung benötigst Du. Danach erst kannst Du beweisen, daß das wirklich die Grenzfunktion ist.
Hast Du Dir ein paar der [mm] f_n [/mm] skiziiert?
Was meinst Du, wogegen die konvergieren?
Der Nachweis für die punktweise Konvergenz läuft dann genau wie immer bei der Konvergenz von Folgen.
Du betrachtest hier ja für [mm] a\in \IR [/mm] die Folge [mm] (f_n(a)) [/mm] und zeigst, daß sie gegen f(a) konvergiert:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Dann mußt Du ein [mm] N\in [/mm] N finden, so daß für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt: [mm] |f_n(a)-f(a)| <\varepsilon.
[/mm]
>
> Definition punktweise Konvergenz
>
> [mm]f_n:M \mapsto \IR[/mm] konvergiert punktweise gegen [mm]f:M\mapsto \IR,[/mm]
> wenn
> [mm]\forall x\in[/mm] M ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x)[/mm]
>
> Definition Gleichmäßige Konvergenz
>
> [mm]f_n:M \mapsto \IR[/mm] konvergent glm. auf M gegen [mm]f:M\mapsto \IR,[/mm]
> wenn
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists n_0[/mm] sd. [mm]\forall n\ge n_0[/mm] und
> alle [mm]x\inM[/mm]
> [mm]|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
>
> Wäre nett wenn mir da jemand bischen helfen könnte.
Die glm Konvergenz unterscheidet sich von der punktweisen dadurch, daß wir hier ein N finden müssen, welches auf dem ganzen Definitionsbereich der Funktion gültig ist.
Das N oben bei der pw Konvergenz darf von der betrachteten Stelle abhängen, bei der glm Konvergenz nicht.
Hier darf das N nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Hallo,
>
> daß Du die Definitionen kannst, ist ja schonmal gut.
>
> Hast Du denn schon eine Vermutung, welche Funktion f die
> Grenzfunktion ist.
>
> Solch eine Vermutung benötigst Du. Danach erst kannst Du
> beweisen, daß das wirklich die Grenzfunktion ist.
>
> Hast Du Dir ein paar der [mm]f_n[/mm] skiziiert?
>
> Was meinst Du, wogegen die konvergieren?
Ja klar fn konvergiert gegen die Nullfunktion....
Für die Gleichmäßige Konvergenz habe ich einfach
die definition angewendet.
[mm] |f_n(x)-f(x)|=\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{n_0}<\varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_o [/mm] da f(x) ja Null ist....
Müsste ja so stimmen.
Danke
MFG Dave
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> [mm]|f_n(x)-f(x)|=\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{n_0}<\varepsilon \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_o[/mm] da f(x) ja Null ist....
>
> Müsste ja so stimmen.
Hallo,
was dein [mm] n_0 [/mm] sein soll, mußt Du im Vorfeld natürlich noch irgendwo hinschreiben.
Gruß v. Angela
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