Funktionsfolgen Konvergenz? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Sa 28.12.2013 | | Autor: | gsracer |
| Aufgabe 1 | | Untersuchen Sie die Funktionsfolge [mm] fn:[0,\infty[\to\IR, fn(x)=x+\bruch{x}{e^{nx}} [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
| Aufgabe 2 | Es sei die Funktionsfolge [mm] fn:[0,1]\to\IR, fn(x):=x(1-x)^n, [/mm] gegeben.
Untersuchen Sie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}fn [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. |
| Aufgabe 3 | | Es sei [mm] f:[0,2]\to\IR [/mm] eine Funktion und es gelte für alle [mm] x\in[0,2] [/mm] die Abschätzung [mm] |f(x)-f(1)|\le|1-x|^2. [/mm] Beweisen Sie die, dass die Ableitung f'(1) existiert. |
Hallo Leute,
ich stecke bei 3 Aufgaben fest und hoffe ihr könnt mir helfen??
Bei der ersten Aufgabe hab ich rausbekommen, dass die Funktionsfolge insgesamt gegen x geht für n geht gegen unendlich.
also f(x)=x
Also ist die Funktionenfolge (nach Definition [mm] |fn(x)-f(x)|\le\varepsiolon) [/mm] punktweise Konvergent, weil sie sozusagen noch von "x" abhängt.
Aber wieso sollte ich dann noch zusätzlich auf gleichmäßige Konvergenz untersuchen, dass hat sich ja sozusagen mit der punktweisen Konvergenz erledigt.?
Bei der zweiten Aufgabe hab ich folgendes Problem:
Soll das eine Potenzreihe sein?
Ich wüsste bei Aufgabe 2 ehrlich gesagt nicht, wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Ich bräuchte einen Denkanstoß.
Die dritte Aufgabe hat zwar nichts mit der 1 und 2 Aufgabe zu tun, aber ich möchte sie trotzdem gerne lösen.
Ich würde die 3. Aufgabe so angehen.
Ich würde durch den Betrag [mm] |1-x|^2 [/mm] teilen und dann steht ja sozusagen der Differenzenquotient dorten, der immer kleiner gleich 1 ist.
wenn ich jetzt den Lim an der Stelle 1 berechne bzw dieser existiert an dieser Stelle, dann habe ich doch bewiesen, dass die Ableitung an der Stelle x=1 existiert, oder?
Vielen Dank fürs durchschauen =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Sa 28.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die Funktionsfolge [mm]fn:[0,\infty[\to\IR, fn(x)=x+\bruch{x}{e^{nx}}[/mm]
> auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
>
> Es sei die Funktionsfolge [mm]fn:[0,1]\to\IR, fn(x):=x(1-x)^n,[/mm]
> gegeben.
> Untersuchen Sie [mm]\summe_{n=1}^{\infty}fn[/mm] auf punktweise
> und gleichmäßige Konvergenz.
>
> Es sei [mm]f:[0,2]\to\IR[/mm] eine Funktion und es gelte für alle
> [mm]x\in[0,2][/mm] die Abschätzung [mm]|f(x)-f(1)|\le|1-x|^2.[/mm] Beweisen
> Sie die, dass die Ableitung f'(1) existiert.
>
> Hallo Leute,
>
> ich stecke bei 3 Aufgaben fest und hoffe ihr könnt mir
> helfen??
>
> Bei der ersten Aufgabe hab ich rausbekommen, dass die
> Funktionsfolge insgesamt gegen x geht für n geht gegen
> unendlich.
> also f(x)=x
> Also ist die Funktionenfolge (nach Definition
> [mm]|fn(x)-f(x)|\le\varepsiolon)[/mm] punktweise Konvergent, weil
> sie sozusagen noch von "x" abhängt.
> Aber wieso sollte ich dann noch zusätzlich auf
> gleichmäßige Konvergenz untersuchen, dass hat sich ja
> sozusagen mit der punktweisen Konvergenz erledigt.?
>
> Bei der zweiten Aufgabe hab ich folgendes Problem:
> Soll das eine Potenzreihe sein?
> Ich wüsste bei Aufgabe 2 ehrlich gesagt nicht, wie ich
> diese Aufgabe lösen könnte. Ich bräuchte einen
> Denkanstoß.
Es geht um die Summe [mm]x*(1-x)+ x*(1-x)^2 + x*(1-x)^3 + x*(1-x)^4+... + x*(1-x)^n[/mm] .
Da kann man $x*(1-x)$ ausklammern und für den Rest eventuell noch eine Substitution q=(1-x) machen...
Gruß Abakus
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> Die dritte Aufgabe hat zwar nichts mit der 1 und 2 Aufgabe
> zu tun, aber ich möchte sie trotzdem gerne lösen.
>
> Ich würde die 3. Aufgabe so angehen.
>
> Ich würde durch den Betrag [mm]|1-x|^2[/mm] teilen und dann steht
> ja sozusagen der Differenzenquotient dorten, der immer
> kleiner gleich 1 ist.
> wenn ich jetzt den Lim an der Stelle 1 berechne bzw dieser
> existiert an dieser Stelle, dann habe ich doch bewiesen,
> dass die Ableitung an der Stelle x=1 existiert, oder?
>
>
> Vielen Dank fürs durchschauen =)
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Hiho,
> Bei der ersten Aufgabe hab ich rausbekommen, dass die
> Funktionsfolge insgesamt gegen x geht für n geht gegen unendlich.
> also f(x)=x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist die Funktionenfolge (nach Definition [mm]|fn(x)-f(x)|\le\varepsiolon)[/mm] punktweise Konvergent,
> weil sie sozusagen noch von "x" abhängt.
Das ist Blödsinn.
Eine Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] ist punktweise konvergent gegen f, wenn für alle x gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}|f_n(x) [/mm] - f(x)| = 0$, das hast du gezeigt, damit liegt punktweise Konvergenz vor.
Und natürlich hängt im Allgemeinen f von x ab, sonst würde es ja nicht f(x) heißen.
Beispielsweise ist die (konstante) Folge [mm] $f_n(x) [/mm] = x$ trivialerweise punktweise und gleichmäßig konvergent gegen $f(x) = x$.
> Aber wieso sollte ich dann noch zusätzlich auf
> gleichmäßige Konvergenz untersuchen, dass hat sich ja
> sozusagen mit der punktweisen Konvergenz erledigt.?
Nein. Natürlich ist jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge insbesondere punktweise konvergent.
Und natürlich gibt es punktweise konvergente Funktionenfolgen, die nicht gleichmäßig konvergieren, darum muss man das noch einmal testen.
Eine Möglichkeit wäre eben zu zeigen, dass man [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)|$ unabhängig von x nach oben durch eine Nullfolge in n abschätzen kann, aber nur, weil du das nicht kannst, heißt es ja nicht, dass die Folge nicht gleichmäßig konvergiert.
Wie habt ihr gleichmäßige Konvergenz denn definiert? Das wäre schon mal ein Ansatz....
> Bei der zweiten Aufgabe hab ich folgendes Problem:
> Soll das eine Potenzreihe sein?
Das läuft letztendlich darauf hinaus, ja.
> Ich wüsste bei Aufgabe 2 ehrlich gesagt nicht, wie ich diese Aufgabe lösen könnte. Ich bräuchte einen Denkanstoß.
Wann konvergiert eine Funktionenreihe denn gleichmäßig? Die Reihe ist ja letztlich nur ein Symbol für etwas anderes. Für was?
> Die dritte Aufgabe hat zwar nichts mit der 1 und 2 Aufgabe
> zu tun, aber ich möchte sie trotzdem gerne lösen.
Löblich.
> Ich würde die 3. Aufgabe so angehen.
>
> Ich würde durch den Betrag [mm]|1-x|^2[/mm] teilen und dann steht
> ja sozusagen der Differenzenquotient dorten, der immer kleiner gleich 1 ist.
Der Ansatz ist richtig, die Umsetzung falsch. Durch was müsstest du teilen, damit "sozusagen der Differenzenquotient" dort steht?
Letztlich steht dann aber nicht der Differenzenquotient da, sondern sein Betrag. Warum stört dich das in diesem Fall aber nicht?
> wenn ich jetzt den Lim an der Stelle 1 berechne bzw dieser
> existiert an dieser Stelle, dann habe ich doch bewiesen,
> dass die Ableitung an der Stelle x=1 existiert, oder?
Nein. In deinem Fall hättest du bewiesen, dass der Betrag des Differenzenquotienten immer kleiner gleich 1 ist, was aber nicht bedeutet, dass der Grenzwert auch existieren muss, wie dir das einfache Gegenbeispiel [mm] $a_n [/mm] = [mm] (-1)^n$ [/mm] zeigt.
Da du aber bei deiner Vorüberlegung einen Fehler gemacht hast, ist das nur ein Gedankenspiel. Ohne den Fehler vereinfacht sich die Überlegung nämlich sehr stark.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 29.12.2013 | | Autor: | gsracer |
Hi, also ich habe für die 2te Aufgabe folgendes rausbekommen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}x(1-x)^n =x(1-x)+x(1-x)^2+...+(x(1-x)^n
[/mm]
Nach einer Substitution von q=1-x folgt und Ausklammern:
[mm] q(1-q)\summe_{k=0}^{\infty}q^k
[/mm]
So das ist die geometrische Reihe und für |q|<1 (|x-1|<1 konvergiert die Reihe, sprich für 1/(1-q)
dann steht wiederum dorten
q(1-q)/(q-1)=-q=x+1
also ist ja f(x)=x+1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 So 29.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hi, also ich habe für die 2te Aufgabe folgendes
> rausbekommen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}x(1-x)^n =x(1-x)+x(1-x)^2+...+(x(1-x)^n[/mm]
>
> Nach einer Substitution von q=1-x folgt und Ausklammern:
> [mm]q(1-q)\summe_{k=0}^{\infty}q^k[/mm]
Hallo,
lass mal vorn x(1-x) stehen.
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^k= \frac{1}{1-q}[/mm] stimmt für |q|<1 bzw für -1<q<1.
Jetzt wäre mal eine Rücksubstitutiuon fällig:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(1-x)^k= \frac{1}{1-(1-x)}= \frac{1}{x}[/mm] für -1<1-x<1 bzw für -2<-x<0 bzw. für 2>x>0.
Damit ist [mm]x(x-1)\summe_{k=0}^{\infty}(1-x)^k= x(x-1)* \frac{1}{x}=x-1[/mm] für 2>x>0.
Gruß Abakus
>
> So das ist die geometrische Reihe und für |q|<1 (|x-1|<1
> konvergiert die Reihe, sprich für 1/(1-q)
>
> dann steht wiederum dorten
> q(1-q)/(q-1)=-q=x+1
> also ist ja f(x)=x+1?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 29.12.2013 | | Autor: | gsracer |
Hi vielen Dank für deine tolle Hilfe!
Jetzt kann ich ja sagen [mm] |fn(x)-f(x)|=|x(1-x)^n-(1-x)|<\varepsilon
[/mm]
und es liegt punktweise Konvergenz vor.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 29.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hi vielen Dank für deine tolle Hilfe!
>
> Jetzt kann ich ja sagen
> [mm]|fn(x)-f(x)|=|x(1-x)^n-(1-x)|<\varepsilon[/mm]
> und es liegt punktweise Konvergenz vor.
Hallo,
ich weiß jetzt gerade nicht, was du hier machst.
Die von uns betrachtete Summe konvergiert (in ihrem Konvergenzradius!!! ) gegen x-1.
Du sollst das abgeschlossene (!) Intervall [0;1] betrachten.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 29.12.2013 | | Autor: | gsracer |
Hi,
also der Betrag stört mich ja deswegen nicht, weil der Betrag von [mm] |x-1|^2 [/mm] sowieso größergleich Null ist.
Wäre es eine Möglichkeit, wenn ich nach f(x) auflöse (Zwischenergebnis).
Dann teile ich durch [mm] (x-1)^2.
[/mm]
dann steht der Differenzenquotient dorten.
[mm] \bruch{|f(x)-f(1)|}{(x-1)^2} [/mm] und dann würde ich das Zwischenergebnis für f(x) einsetzen, weil ich weiß ja im Prinzip nicht was f(x) und f(1) ist.
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Hiho,
> also der Betrag stört mich ja deswegen nicht, weil der
> Betrag von [mm]|x-1|^2[/mm] sowieso größergleich Null ist.
Der Differenzenquotient hat aber nunmal keinen Betrag drumherum, und wie ich dir beschrieben hab, kann man nunmal im Allgemeinen von der Konvergenz bzw der Beschränkheit des Betrags nicht auf die Konvergenz der Ursprungsfolge schließen.
Aber deinen Fehler hast du immer noch nicht behoben.
> Dann teile ich durch [mm](x-1)^2.[/mm]
>
> dann steht der Differenzenquotient dorten.
>
> [mm]\bruch{|f(x)-f(1)|}{(x-1)^2}[/mm]
Das ist NICHT der Differenzenquotient. Den solltest du unbedingt nachschlagen und dann die Aufgabe korrekt lösen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 11.01.2014 | | Autor: | gsracer |
Also der Differenzenquotient ist allgemein definiert als:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Aber was bringt mir das jetzt genau.
Also den Betrag kann ich weglassen, weil das Quadrat immer größer gleich 0 ist.
Kann ich die Ungleichung so Umformen, dass folgende Gleichung dortsteht:
f(x) [mm] \le f(1)+(x-1)^2
[/mm]
Dann könnte ich Ableiten:
f'(x0) [mm] \le [/mm] f'(1)+2(x0-1)
Bringt mir dieser Ansatz etwas?
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Hiho,
> Also der Differenzenquotient ist allgemein definiert als:
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> Aber was bringt mir das jetzt genau.
> Also den Betrag kann ich weglassen, weil das Quadrat immer größer gleich 0 ist.
Also ich sehe um $f(x) - f(1)$ nirgends ein Quadrat.
> Dann könnte ich Ableiten:
Woher weißt du denn, dass die Ableitung existiert? Das ist doch gerade zu zeigen!
Es gilt: [mm] $\bruch{|f(x) - f(1)|}{|x-1|} [/mm] = [mm] \left|\bruch{f(x) - f(1)}{x-1}\right| \le [/mm] |x-1|$
Betrachte nun den Grenzwert für [mm] $x\to [/mm] 1$
Gruß,
Gono.
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