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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:15 Di 21.09.2010 | | Autor: | lorchenlasa |
| Aufgabe | | Was können Sie anhand der Gleichung f(x)=x³-4x ablesen, ohne zu rechnen? |
Was kann ich anhand einer Funktionsgleichung Ablesen, ohne irgentetwas zu errechnen?
z.B.: f(x)=x³-4x
was ich weiß, ist dass der Grad 3 ist, und so die maximale anzahl von NUllstellen ebenfalls 3 ist. Was kann ich denn noch ablesen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Di 21.09.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo
> Was können Sie anhand der Gleichung f(x)=x³-4x ablesen,
> ohne zu rechnen?
> Was kann ich anhand einer Funktionsgleichung Ablesen, ohne
> irgentetwas zu errechnen?
> z.B.: f(x)=x³-4x
> was ich weiß, ist dass der Grad 3 ist, und so die
> maximale anzahl von NUllstellen ebenfalls 3 ist. Was kann
> ich denn noch ablesen?
Für mich persönlich ist bei dieser Art Funktionsgleichungen immer sofort der Schnittpunkt mit der Y-Achse ersichtlich (hier der Punkt O(0,0) ). Man sieht eigentlich auch sofort, dass 0 eine Nullstelle ist.
Ansonsten kannst du hier noch sehen:
Symmetrie? Hier Punktsymmetrisch zum Nullpunkt
Unendlichkeitsverhalten? Wie bei [mm] +x^3
[/mm]
Was untersucht ihr noch bei Kurvendiskussionen? -> Den Definitionsbereich kann man auch sofort erkennen (aber wahrscheinlich sagt dir der Begriff nichts, was auch nicht weiter schlimm wäre)
mfg
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> Was können Sie anhand der Gleichung f(x)=x³-4x ablesen,
> ohne zu rechnen?
> Was kann ich anhand einer Funktionsgleichung Ablesen, ohne
> irgentetwas zu errechnen?
> z.B.: f(x)=x³-4x
> was ich weiß, ist dass der Grad 3 ist, und so die
> maximale anzahl von NUllstellen ebenfalls 3 ist. Was kann
> ich denn noch ablesen?
Weil in diesem Polynom nur ungerade Exponenten (nämlich
3 und 1) vorkommen, muss der Graph punktsymmetrisch
bezüglich des Nullpunktes O(0/0) sein.
Für x gegen [mm] \infty [/mm] strebt f(x) gegen [mm] \infty [/mm] (die Kurve ent-
schwindet rechts oben in die Unendlichkeit)
Wegen der Punktsymmetrie geht die Kurve auch links unten
in die Unendlichkeit.
Für ganz kleine Werte von |x| gilt $\ [mm] f(x)\sim [/mm] -4x$ Die Tangente
im Nullpunkt hat die Gleichung $\ y=-4x$
Natürlich muss x=0 eine Nullstelle sein. Aus den übrigen
Verhaltenseigenschaften (inkl. natürlich die Stetigkeit), kann
man nun den generellen Verlauf skizzieren und erkennt noch,
dass es ausser der Null noch eine positive und eine negative,
zueinander symmetrische Nullstellen geben muss.
Auch die Existenz eines Hochpunktes (im 2. Quadranten) und
eines Tiefpunktes (im 4. Quadr.) sowie eines Wendepunktes
(im Symmetriezentrum) werden durch diese Betrachtungen klar.
Also insgesamt eine qualitativ vollständige Kurvendiskussion ohne
Ableitungen und ohne Rechnungen !
LG Al-Chw.
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