Funktionsgleichung bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Mi 22.10.2008 | | Autor: | pumaner |
| Aufgabe | | Eine durch den Ursprung verlaufende Parabel schneidet eine Gerade in den Punkten (-2/-1) und (4/8). Bestimmen Sie rechnerisch die Geraden- und Parabelgleichung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die oben genannte Aufgabe kam exakt so in unserer ersten Matheklausur als letzte Aufgabe vor.
Keiner hat diese Aufgabe auch nur ansatzweise lösen können (11. Klasse), auch die 10. Klasse unseres Mathelehrers (Doppeljahrgang Abi in Niedersachsen) hat diese Aufgabe nicht lösen können. Wir sollen uns nun über die Ferien Gedanken darüber machen, doch es kommt einfach nichts >.<
Das Thema hierzu ist die Sinusfunktion "Einführung in die Analysis".
Ich glaube man kann diese Aufgabe mithilfe einem Sinus-ähnlichen Graphen lösen; was hätte die Aufgabe sonst mit dem Thema zu tun?!
habt ihr vielleicht irgendwelche Ideen?
Wäre nett, weiß nicht mehr weiter.
mfg
pumaner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine durch den Ursprung verlaufende Parabel schneidet eine
> Gerade in den Punkten (-2/-1) und (4/8). Bestimmen Sie
> rechnerisch die Geraden- und Parabelgleichung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
> Die oben genannte Aufgabe kam exakt so in unserer ersten
> Matheklausur als letzte Aufgabe vor.
> Keiner hat diese Aufgabe auch nur ansatzweise lösen können
> (11. Klasse), auch die 10. Klasse unseres Mathelehrers
> (Doppeljahrgang Abi in Niedersachsen) hat diese Aufgabe
> nicht lösen können. Wir sollen uns nun über die Ferien
> Gedanken darüber machen, doch es kommt einfach nichts >.<
Das wundert mich ein wenig. Die Geradengleichung hätte ich spätestens nach der 8en Klasse aufstellen können, und sogar die Parabelgleichung spätestens zu Beginn der 9. Klasse.
Das ist jetzt kein Vorwurf oder so, aber ehrlich gesagt kann ich das nicht nachvollziehen, da man alleine vom Lehrplan, auch, wenn ich seit einigen Jahren aus der Schule schon raus bin, eigentlich erwarten würde, dass jeder Zehntklässler wenigstens einen Ansatz für die Aufgabe hinschreiben können müsste.
Und zumindest ![[]](/images/popup.gif) hier erscheint's mir so, dass das eigentlich auch so "geplant" ist.
> Das Thema hierzu ist die Sinusfunktion "Einführung in die
> Analysis".
> Ich glaube man kann diese Aufgabe mithilfe einem
> Sinus-ähnlichen Graphen lösen; was hätte die Aufgabe sonst
> mit dem Thema zu tun?!
>
> habt ihr vielleicht irgendwelche Ideen?
> Wäre nett, weiß nicht mehr weiter.
> mfg
> pumaner
Ja, allerdings hat das wenig mit deiner "Raterei" zu tun (das ist nicht schlimm, besser mal ins Blaue reingeraten, als völliges Desinteresse gezeigt; und was das mit der Sinusfunktion zu tun haben soll, weiß ich auch nicht; ich denke, es geht eher darum, alte Dinge nochmal aufzufrischen). Eine (Funktionsgleichung einer) Parabel hat die Form [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] mit $a,b,c [mm] \in \IR$, [/mm] die ihr zu bestimmen habt (in gewisser sinnvoller Weise sollte man $a [mm] \not=0$ [/mm] erwarten dürfen). Da die Parabel durch den Ursprung, also $(0/0)$, geht, folgt $f(0)=0$, was $c=0$ zur Konsequenz hat.
Da die Parabel eine Gerade in dem Punkt $(-2/-1)$ schneidet, gilt zudem $f(-2)=-1$, also
[mm] $a*(-2)^2+b*(-2)=-1$ [/mm] bzw.
(I) $4a-2b=-1$
Da die Parabel die Gerade auch im Punkte $(4/8)$ schneidet, gilt $f(4)=8$, also [mm] $a*4^2+b*4=8$ [/mm] bzw.
(II) $4a+b=2$.
Wir wissen also:
[mm] $f(x)=ax^2+bx$, [/mm] und haben mit den beiden Gleichungen (I) und (II) nun [mm] $\black{a}$ [/mm] und [mm] $\black{b}$ [/mm] zu bestimmen.
Das versuche nun mal bitte alleine.
P.S.
Welchen Zusammenhang das ganze mit einer Sinusfunktion haben soll, sehe ich nicht. Jedenfalls nicht unmittelbar...
P.P.S.:
Die (Funktionsgleichung der) Gerade(n) aufzustellen sollte Dir eigentlich keine Probleme bereiten. Notfalls les' mal ein bisschen hier.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Do 23.10.2008 | | Autor: | pumaner |
also jetzt habe ich mich rangesetzt und folgendes rausbekommen:
durch die beiden gleichungen -1 = 4a-2b und
8 = 16a + 4b
kann man auf b auflösen und alles dann gleichsetzen, hieße
0,5 + 2a = 2- 4a,
löst man auf a auf erhält man a = 0,25
dann kann man für a also 0,25 in eine der gleichungen einsetzen, zb
8 = 16 * 0,25 + 4b
dann erhält man für b = 1
somit lautet die Parabelgleichung
f(x) = 0,25x²+x
ist das richtig?!
------------------------------------------------------------------------------
geradengleichung
hierfür habe ich einfach das Koordinatensystem und die Gerade gezeichnet und dann Winkel Alpha gemessen, und dann tan Alpha (andere Methode die Steigung m zu berechnen).
m wär dann hier bei der geraden m= tan 56°
m ~ 1,5
man könnte auch [mm] \bruch{\Delta y}{\Deltax}
[/mm]
also 1,5 : 1
= 1,5 (genauere Methode).
fehlt nur noch 'n'
n lässt sich mithilfe des Koordinatensystems ablesen, das wäre in dem Falle hier 2
somit lautet die Geradengleichung
f(x) = 1,5x+2
ist alles ein bisschen sehr stark zusammengefasst und die form ist bestimmt auch nicht ganz korrekt, aber solange das wesentliche klar ist, ist alles ok :)
also, wie siehts aus?
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also jetzt habe ich mich rangesetzt und folgendes
> rausbekommen:
>
> durch die beiden gleichungen -1 = 4a-2b und
> 8 = 16a + 4b
>
>
>
> kann man auf b auflösen und alles dann gleichsetzen, hieße
>
> 0,5 + 2a = 2- 4a,
> löst man auf a auf erhält man a = 0,25
>
> dann kann man für a also 0,25 in eine der gleichungen
> einsetzen, zb
> 8 = 16 * 0,25 + 4b
>
> dann erhält man für b = 1
>
> somit lautet die Parabelgleichung
>
> f(x) = 0,25x²+x
>
> ist das richtig?!
>
> ------------------------------------------------------------------------------
>
> geradengleichung
>
> hierfür habe ich einfach das Koordinatensystem und die
> Gerade gezeichnet und dann Winkel Alpha gemessen, und dann
> tan Alpha (andere Methode die Steigung m zu berechnen).
> m wär dann hier bei der geraden m= tan 56°
> m ~ 1,5
>
> man könnte auch [mm]\bruch{\Delta y}{\Deltax}[/mm]
> also 1,5 : 1
> = 1,5 (genauere Methode).
>
>
> fehlt nur noch 'n'
> n lässt sich mithilfe des Koordinatensystems ablesen, das
> wäre in dem Falle hier 2
>
> somit lautet die Geradengleichung
>
> f(x) = 1,5x+2
>
>
>
>
>
>
> ist alles ein bisschen sehr stark zusammengefasst und die
> form ist bestimmt auch nicht ganz korrekt, aber solange das
> wesentliche klar ist, ist alles ok :)
ich kontrolliere einfach mal nur das Ergebnis bzw. kontrolliere es mal selbst:
Hier das Schaubild von
[mm] $f(x)=\frac{1}{4}x^2+x$ [/mm] und [mm] $g(x)=\frac{3}{2}x+2$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Na, was sagst Du selbst?
P.S.:
Zur genauen bestimmen der Geradengleichung:
Die Gerade läuft durch die Punkte $(-2/-1)$ und $(4/8)$. Dann setzt Du $g(x)=mx+n$ an. Jetzt hast Du generell mehrere Möglichkeiten:
Erstmal die naheliegendste:
Mit $g(-2)=-1$ und $g(4)=8$ erhältst Du zwei Gleichungen in $m,n$. Das Gleichungssystem solltest Du lösen können.
Alternativ (siehe z.B. den Link oben):
[mm] $m=\frac{8-(-1)}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. [/mm] Daraus folgt dann [mm] $g(x)=\frac{3}{2}x+n$, [/mm] und den Wert für [mm] $\black{n}$ [/mm] berechnest Du dann meinetwegen aus [mm] $g(-2)=-1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 25.10.2008 | | Autor: | pumaner |
Also ich finde die Aufgabe ist richtig gelöst, die Parabel verläuft durch den Ursprung und schneidt sich mit den korrekten Punkten mit der Geraden.
=D
Und zur Bestimmung der Geradengleichung:
> P.S.:
> Zur genauen bestimmen der Geradengleichung:
> Die Gerade läuft durch die Punkte [mm](-2/-1)[/mm] und [mm](4/8)[/mm]. Dann
> setzt Du [mm]g(x)=mx+n[/mm] an. Jetzt hast Du generell mehrere
> Möglichkeiten:
> Erstmal die naheliegendste:
> Mit [mm]g(-2)=-1[/mm] und [mm]g(4)=8[/mm] erhältst Du zwei Gleichungen in
> [mm]m,n[/mm]. Das Gleichungssystem solltest Du lösen können.
>
> Alternativ (siehe z.B. den Link oben):
> [mm]m=\frac{8-(-1)}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/mm]. Daraus
> folgt dann [mm]g(x)=\frac{3}{2}x+n[/mm], und den Wert für [mm]\black{n}[/mm]
> berechnest Du dann meinetwegen aus [mm]g(-2)=-1\,.[/mm]
das habe ich jetzt gerade so gar nicht verstanden? :O
[mm]g(-2)=-1[/mm]
[mm]g(4)=8[/mm]
wie kann ich denn aus diesen Gleichungen f(x) = mx + n bestimmen?
ich glaube ich stehe einfach im Moment auf dem Schlauch, das ist bestimmt mega einfach.
naja
eine Antwort wäre cool (:
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Hallo pumaner,
> Also ich finde die Aufgabe ist richtig gelöst, die Parabel
> verläuft durch den Ursprung und schneidt sich mit den
> korrekten Punkten mit der Geraden.
> =D
>
> Und zur Bestimmung der Geradengleichung:
>
> > P.S.:
> > Zur genauen bestimmen der Geradengleichung:
> > Die Gerade läuft durch die Punkte [mm](-2/-1)[/mm] und [mm](4/8)[/mm].
> Dann
> > setzt Du [mm]g(x)=mx+n[/mm] an. Jetzt hast Du generell mehrere
> > Möglichkeiten:
> > Erstmal die naheliegendste:
> > Mit [mm]g(-2)=-1[/mm] und [mm]g(4)=8[/mm] erhältst Du zwei Gleichungen in
> > [mm]m,n[/mm]. Das Gleichungssystem solltest Du lösen können.
> >
> > Alternativ (siehe z.B. den Link oben):
> > [mm]m=\frac{8-(-1)}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/mm]. Daraus
> > folgt dann [mm]g(x)=\frac{3}{2}x+n[/mm], und den Wert für [mm]\black{n}[/mm]
> > berechnest Du dann meinetwegen aus [mm]g(-2)=-1\,.[/mm]
>
>
> das habe ich jetzt gerade so gar nicht verstanden? :O
>
> [mm]g(-2)=-1[/mm]
> [mm]g(4)=8[/mm]
>
> wie kann ich denn aus diesen Gleichungen f(x) = mx + n
> bestimmen?
> ich glaube ich stehe einfach im Moment auf dem Schlauch,
> das ist bestimmt mega einfach.
> naja
>
> eine Antwort wäre cool (:
Setz doch die Werte einfach mal ein:
[mm]g(x)=mx+n[/mm]
[mm]g(x)=\frac{3}{2}x+n[/mm] (siehe oben)
[mm] g(-2)=\frac{3}{2}(-2)+n=-1
[/mm]
[mm] g(4)=\frac{3}{2}(4)+n=8
[/mm]
und berechne n; es sollte zweimal derselbe Wert rauskommen.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Geradengleichung zum Nachlesen für die allgemeinen Verfahren ...
Gruß informix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich finde die Aufgabe ist richtig gelöst, die Parabel
> verläuft durch den Ursprung und schneidt sich mit den
> korrekten Punkten mit der Geraden.
> =D
>
> Und zur Bestimmung der Geradengleichung:
>
> > P.S.:
> > Zur genauen bestimmen der Geradengleichung:
> > Die Gerade läuft durch die Punkte [mm](-2/-1)[/mm] und [mm](4/8)[/mm].
> Dann
> > setzt Du [mm]g(x)=mx+n[/mm] an. Jetzt hast Du generell mehrere
> > Möglichkeiten:
> > Erstmal die naheliegendste:
> > Mit [mm]g(-2)=-1[/mm] und [mm]g(4)=8[/mm] erhältst Du zwei Gleichungen in
> > [mm]m,n[/mm]. Das Gleichungssystem solltest Du lösen können.
> >
> > Alternativ (siehe z.B. den Link oben):
> > [mm]m=\frac{8-(-1)}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/mm]. Daraus
> > folgt dann [mm]g(x)=\frac{3}{2}x+n[/mm], und den Wert für [mm]\black{n}[/mm]
> > berechnest Du dann meinetwegen aus [mm]g(-2)=-1\,.[/mm]
>
>
> das habe ich jetzt gerade so gar nicht verstanden? :O
>
> [mm]g(-2)=-1[/mm]
> [mm]g(4)=8[/mm]
>
> wie kann ich denn aus diesen Gleichungen f(x) = mx + n
> bestimmen?
> ich glaube ich stehe einfach im Moment auf dem Schlauch,
> das ist bestimmt mega einfach.
> naja
>
> eine Antwort wäre cool (:
Informix hat schon recht mit ihrer Antwort; nur ist die ein wenig doppelt gemoppelt, da man dort zwei Verfahren miteinander vermischt, so dass man am Ende quasi nochmal eine Kontrolle hat.
Ich wollte aber darauf hinaus, dass Du auch, fast ohne Kenntnisse der Begriffe Steigungen etc., sofort die Geradengleichung aufstellen kannst. (Und andeuten wollte ich zudem, dass man auch, durch direkte Berechnung der Steigung, die Geradengleichung etwas schneller aufschreiben kann.)
Also jetzt hier nochmal der Weg, wie man die Aufgabe auch direkt anpacken kann, um die Geradengleichung aufzustellen:
Ansatz: [mm] $\black{g}(x)=m*x+n$ [/mm] sei die Funktion, deren Graphen durch die Punkte [mm] $\black{(-2/-1)}$ [/mm] und [mm] $$(\black{4}/8)$ [/mm] verläuft. Dabei haben wir die zwei Unbekannten [mm] $\black{m},n$ [/mm] zu bestimmen.
1.) Wegen [mm] $\black{g}(-2)=-1$ [/mm] erhält man die Gleichung
[mm] $$(\text{I})\;\;\; \underbrace{m*(-2)+n}_{=g(-2)}=-1\,.$$
[/mm]
2.) Wegen [mm] $\black{g}(4)=8$ [/mm] erhält man die Gleichung
[mm] $$(\text{II})\;\;\; \underbrace{m*4+n}_{=g(4)}=8\,.$$
[/mm]
Die Gleichungen [mm] $\text{(I), (II)}$ [/mm] sind zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten [mm] $\black{m},n$, [/mm] deren Lösung Du nun bestimmen können solltest.
Gruß,
Marcel
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