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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo!!
ich soll zu folgenden funktionen die funktionsgleichungen finden bzw. ermitteln... nach meinen kenntnissen müsste bei 2a) 1/x+1 und bei e) - 1/(x-1)² herrauskommen??
jedoch habe ich keinen lösungsansatz für die schweren aufgaben wie g), k) oder h)! ich bitte um hilfe und wäre über lösungsansätze oder lösungen (dann kann ich es nachrechnen) dankbar!
mfg
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo declatereter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hallo!!
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> ich soll zu folgenden funktionen die funktionsgleichungen
> finden bzw. ermitteln... nach meinen kenntnissen müsste bei
> 2a) 1/x+1 und bei e) - 1/(x-1)² herrauskommen?? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jedoch habe ich keinen lösungsansatz für die schweren
> aufgaben wie g), k) oder h)! ich bitte um hilfe und wäre
> über lösungsansätze oder lösungen (dann kann ich es
> nachrechnen) dankbar!
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zu Aufgabe g)
Dort ist außer der Funktion f (zwei Äste) noch die Näherungsfunktion a(x) eingezeichnet, an die sich die Funktion f für betragsgroße x ($|x| [mm] \rightarrow \infty$) [/mm] anschmiegt.
Ich vermute mal: $a(x) = [mm] x^2$, [/mm] außerdem sieht man, dass f bei x = 0 eine Unstetigkeitsstelle hat, also nicht definiert ist.
Daraus folgt: $f(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] als Versuch.
Überlege mal, ob du dem Gedanken folgen magst:
Unstetigkeitsstellen ausfindig machen, entscheiden ob einfach (mit Vorzeichenwechsel) oder doppelt (ohne VzW) und dann noch die Näherungsfunktion.
Schau dir jetzt mal h) an, die geht so ähnlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 06.02.2005 | | Autor: | dominik |
Am besten teilen wir uns ein bisschen auf: also, ich befasse mich vorerst einmal mit a), b), c) und d)
Bis bald
dominik
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mo 07.02.2005 | | Autor: | dominik |
a) Grundfunktion: Hyperbel mit der Gleichung [mm] f(x)=\bruch{1}{x}:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die hier abgebildete Funktion entsteht aus der obigen durch:
1. Spiegelung an der x- oder y-Achse: aus [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wird [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
2. Parallelverschiebung um eine Einheit nach oben: aus y wird y-1
3. Parallelverschiebung um eine Einheit nach links: aus x wird x+1
Lösung a) hat die Gleichung [mm] f(x)=y=-\bruch{1}{x+1}+1
[/mm]
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b) Grundfunktion wie a)
Die hier abgebildete Funktion entsteht aus der Funktion mit der Gleichung [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] durch eine Parallelverschiebung um eine Einheit nach oben: aus y wird y-1; oder: am Ende der Gleichung die Konstante 1 dazu fügen:
Lösung b) [mm] f(x)-1=y-1=\bruch{1}{x} \gdw f(x)=y=\bruch{1}{x}+1
[/mm]
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c) Folgende Eigenschaften:
1. Die y-Achse ist die senkrechte Asymptote: für x = 0 ist die Funktion nicht definiert. Also x "allein" im Nenner.
2. Die Äste der Funktion nähern sich von verschiedenen Seiten der senkrechten Asymptote: der eine verläuft ins + [mm] \infty, [/mm] der andere ins - [mm] \infty; [/mm] Konsequenz: der Exponent von x im Nenner ist ungerade, könnte also 3 sein. Wir starten aber bei der einfacheren Variante.
Bis jetzt haben wir also f(x)= [mm] \bruch{?}{x}
[/mm]
3. Keine Nullstelle, ist auch eine Information: Wird der Zähler gleich Null gesetzt, darf es keine Lösung geben; weiter bei 4:
4. Im Zähler: Der Exponent von x ist um 1 grösser als im Nenner, weil bei der Bildung der schiefen Asymptote die Gleichung y=x entstehen muss (siehe den Grenzwert).
3. & 4: Möglichkeit für den Zähler: [mm] x^2+1 [/mm] [= 0 gesetzt gibt keine Lösung!].
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2+1}{x}= \limes_{x\rightarrow\infty} \left( \bruch{x^2}{x}+\bruch{1}{x} \right)=x+0=x
[/mm]
5. Konkreter Punkt: [mm]f(\pm 1)=\pm 2 \gdw \pm2=\bruch{(\pm1)^2+1}{\pm1} [/mm] ok
----------------------------------------------------------------
d) Möglichkeit: die Kurve um je eine Einehit nach links und nach unten verschieben. Dies gibt die Nullstellen bei -1 und +1; die senkrechte Asymptote deckt sich mit der y-Achse:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gleichung der verschobenen Kurve: [mm] f(x)=\bruch{(x+1)(x-1)}{x}
[/mm]
Zähler gleich Null setzen ergibt die Nullstellen, Nenner gleich Null setzen ergibt die senkrechte Asymptote. Wie bei c) muss der Unterschied der Exponenten vom Zähler zum Nenner 1 sein.
Dan wird die Parallelverschiebung rückgängig gemacht: 1 nach rechts, 1 nach oben: aus x wird überall x-1, +1 als Konstante am Schluss. Analog zu den obigen Verschiebungen entsteht folgende Gleichung:
[mm] f(x)=\bruch{[(x-1)+1][(x-1)-1]}{x-1}+1=\bruch{x(x-2)}{x-1}+1=\bruch{(x^2-2x)+(x-1)}{x-1}=\bruch{x^2-x-1}{x-1}; [/mm] das ist die Lösung.
Kontrolle: [mm] f(2)=\bruch{2^2-2-1}{2-1}=1 [/mm] und [mm]f(0)=1[/mm] ok
Schiefe Asymptote:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2-x-1}{x-1}= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=x ist die Gleichung der schiefen Asymptote
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Max |
Zu e)
Die Funktion entsteht, indem man die achsensymmetrische Hyperbel
$ x [mm] \mapsto \frac{1}{x^2}$ [/mm] an der $x$-Achse spiegelt ($ x [mm] \mapsto -\frac{1}{x^2}$), [/mm] um einen nach oben ($x [mm] \mapsto 1-\frac{1}{x^2}$) [/mm] und um einen nach rechts ($x [mm] \mapsto 1-\frac{1}{(x-1)^2}$) [/mm] verschiebt.
[mm] $f(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}$
[/mm]
Zu f)
Die Funktion hat eine Polstelle gerader Ordnung bei $x=1$, das asymptotische Verhalten stimmt mit [mm] $y=-\frac{1}{2}x$ [/mm] überein und die Funktion erfüllt $f(0)=1$ wie auch $f(2)=0$.
Es sei [mm] $f(x)=\frac{z(x)}{n(x)}$. [/mm] Wir wählen [mm] $n(x)=(x-1)^2$ [/mm] als leichteste Lösung. Danach gilt, dass sich $z(x)$ ungefähr wie [mm] $-\frac{1}{2}(x-1)^2=-\frac{1}{2}x^3+x^2-\frac{1}{2}x$ [/mm] verhalten müsste. Wählt man [mm] $z(x)=-\frac{1}{2}x^3+x^2-\frac{1}{2}$ [/mm] gilt aber $z(0)=0$ (n(0)=1). Damit also $f(0)=1$ erfüllt ist ändern wir $z$ zu [mm] $z(x)=-\frac{1}{2}x^3+x^2-\frac{1}{2}+1$. [/mm] Bestimmt man noch zur Kontrolle $z(2)=0$ sieht man, dass
[mm] $f(x)=\frac{-\frac{1}{2}x^3+x^2-\frac{1}{2}+1}{(x-1)^2}$ [/mm] die gesuchte Funktion ist.
Zu g)
Die Funktion hat eine ungerade Polstelle bei $x=0$, wählen wir als Nennerpolynom $n(x)=x$. Da sich $f$ asymptotisch wie [mm] $x^2$ [/mm] verhält gilt ungefähr [mm] $z(x)=x^2\cdot n(x)=x^3$. [/mm] Da aber zusätzlich gelten soll, dass $z(-1)=0$ ($n(-1)=1$) ändern wir $z$ zu [mm] $z(x)=x^3+1$. [/mm] Damit wäre auch $z(1)=2$ ($n(1)=1$).
[mm] $f(x)=\frac{x^3+1}{x}$
[/mm]
PS: Alternativ geht auch [mm] $f(x)=\frac{x^3+x^2}{x}$. [/mm] Dies läßt sich nur durch weitere Punkte entscheiden.
Zu h)
$f$ hat eine gerade Polstelle für $x=0$, dies läßt sich am einfachsten für [mm] $n(x)=x^2$ [/mm] realisieren. Da sich $f$ asymptotisch wie [mm] $x^2$ [/mm] verhält, handelt es sich bei $z$ um ein Polynom vierten Grades. Man kann z.B. [mm] $z(x)=(x-1)^2(x+1)^2+2$ [/mm] wählen. Dann ist $f(1)=2$ und $f(-1)=2$ erfüllt.
[mm] $f(x)=\frac{(x-1)^2(x+1)^2+2}{x^2}$
[/mm]
Gute Nacht, Brackhaus
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vielen danke für die vielen tipps und lösungen!!
mfg
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