Funktionsgleichungen ermitteln < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Max80 |
hi.
ich habe ein großes problem mit dem bestimmen von funktionsgleichungen.
unser lehrer gibt uns meistens einen graph und eine text-aufgabe in der angaben in worte formuliert werden (z.b. läuft durch den ursprung etc.).
und bei beidem habe ich probleme. ein beispiel ist die aufgabe aus unserer letzten arbeit:
Eine Funktion 3. Ordnung hat in PE (4/0) einen Tiefpunkt, sie verläuft durch den Ursprung und verläuft durch den Punkt P (5/2,5).
Und jetzt soll man die Funktionsgleichung f(x) berechnen.
Ich bin bei sowas total überfragt. Bei manchen meint unser Lehrer noch wir sollen auch diese Regeln für die Ableitungen beachten (z.b. für Extremwerte f'(x)=0...wofür? das kann man doch dann gar nicht verwenden weil es ja nicht mehr f(x) ist.). :(
danke im voraus
gruß bunti
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Schauen wir uns mal dein Beispiel an:
> Eine Funktion 3. Ordnung hat in PE (4/0) einen Tiefpunkt,
> sie verläuft durch den Ursprung und verläuft durch den
> Punkt P (5/2,5).
>
> Und jetzt soll man die Funktionsgleichung f(x) berechnen.
Wir sammeln Informationen:
0. Information: (Eine ganzrationale) Funktion 3. Ordnung
Darüber wissen wir, dass ihre Funktionsvorschrift so aussehen muss:
[mm]f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d[/mm]
sowie [mm]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/mm].
Wenn du das nicht weißt, bzw die Ableitung nicht bilden kannst, ist das dein Problem.
Weiter:
1. Information:
PE (4/0). Der Graph läuft also durch (4;0). Also f(4)=0.
Oben eingesetzt:
[mm]a\cdot 4^3+b\cdot4^2+c\cdot 4+d=0 [/mm] (4 für x eingesetzt)
2. Information:
PE (4/0) einen Tiefpunkt Also f'(4)=0 ==>
[mm]3a\cdot 4^2+2b\cdot 4+c=0[/mm]
3. Information:
verläuft durch den Ursprung
.....==>d=0
4. Information:
P (5/2,5)
das mach mal selbst
Hiermit kannst du dir ein System mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten bauen, das du dann lösen musst.
Dann kriegst du a,b,c,d raus und musst das nur noch oben einsetzen.
> Ich bin bei sowas total überfragt. Bei manchen meint unser
> Lehrer noch wir sollen auch diese Regeln für die
> Ableitungen beachten (z.b. für Extremwerte
> f'(x)=0...wofür? das kann man doch dann gar nicht verwenden
> weil es ja nicht mehr f(x) ist.). :(
>
>
> danke im voraus
> gruß bunti
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Max80 |
Ableitungen damit hab ich zum glück kein problem :)
auch das gleichungssystem versteh ich, nur genau das was
du geschrieben hast ist mein problem.
eine fräge wäre da noch: die ableitung ist ja auch null
aufgrund der information mit dem tiefpunkt(extremwert).
aber ist das nicht immer so? wenn ich da jetzt
was anderes hätte dann wäre das doch auch null oder?
weil die ableitung von 0 ist ja 0...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Die Ableitung der Nullfunktion ist Null- und zwar die Nullfunktion.
Die Ableitung ist eine Funktion, die die Steigung der abgeleiteten Funktion angibt. Wenn deine Funktion also eine Nullstelle hat, dann muss das nicht heißen, dass die Ableitung an der betreffenden Stelle auch =0 ist.
Beispiel:
[mm]f(x)=x^2-x[/mm] hat an den Stellen 0 und 1 Nullstellen.
Die Ableitung hat aber nur eine Nullstelle, und zwar bei x=0,5
Also: Ob unsere Funktion nun 0 ist oder nicht, hat nix mit der Ableitung zu tun (jedenfalls nicht direkt, mehrfache Nullstellen pflanzen sich in den Ableitungen fort).
Nun zu deinem Hauptproblem:
Es gibt hier einige wichtige Schritte:
1. Die 0. Information: aus dem Text muss eine gewisse Form der Funktion erkennbar sein, sonst gibt es überabzählbar viele Lösungen. Diese Form gilt es zu erkennen und ggf so oft wie benötigt abzuleiten.
2. Informationen erfassen
Aus dem Teilsatz geht durch den Punkt (a,b) muss man folgern: f(a)=b
3. Information auswerten
Aus der Funktionsvorschrift muss man sich nun eine Gleichung mit a und b basteln (durch einsetzen)
4. LGS lösen
4. LGS bauen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Sa 16.10.2004 | | Autor: | Max80 |
Also ich habe jetzt mal versucht die Gleichungen dafür aufzustellen.
Die letzte die ich noch machen sollte wäre dann:
[mm] 2,5=(a*5^3)+(b*5^2)+(c*5)+d [/mm] richtig?
habe dann aber nur drei gleichungen.
du meintest ja dann ich habe 4 gleichungen mit 4 unbekannten, aber
müsste ich nicht d in diese drei einsetzen und dann praktisch so rechnen als hätte ich 3 unbekannte und 3 gleichungen??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 So 17.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Das siehst alles genau richtig, bis auf eine winzige Kleinigkeit, denn d=o ist auch eine Gleichung, wenn auch keine besonders spannende ;)
Damit hast du dann also vier Gleichungen.
Allgemein ergibt jede Information eine Gleichung.
Vorsicht aber bei Doppelinformationen: (4;0) ist Extremum beinhaltet 2 Informationen.
Übrigens: Eine Information hast du nicht komplett ausgewertet:
Wenn ein Minumum vorliegt, heißt das zwar, dass die Ableitung an der betreffenden Stelle =0 ist, aber dabei verschenkst du Informationen.
Du musst also später noch nachprüfen, ob du in diesem speziellen Fall auch wirklich eine Funktion erhältst, die an der entsprechenden Stelle ein Minimum hat. In Klausuren ist das eine sehr beliebte Falle. Falls es dann nämlich nicht passt (es ist beispielsweise ein Maximum gefordert und du erhälst einen Sattelpunkt), gibt es keine Funktion, die die Bedingungen erfüllt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 17.10.2004 | | Autor: | Max80 |
hmm. was macht man dann in so einem Fall? Könnte nich bei einer negativen Funtion ein Sattelpunkt auch Maximum sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 So 17.10.2004 | | Autor: | Fugre |
> hmm. was macht man dann in so einem Fall?
Die rechnerische Betrachtung eines solchen Falls ist recht schwierig, da du auch ein Extremum haben kannst, wenn die notwendige Bedingung zwar erfüllt ist, die hinreichende jedoch nicht. Wenn ihr es gelernt habt, dann könntest du bei vermeintlichen Wendepunkten aber auch das Krümmungsverhalten betrachten. Und bei vermeintlichen Extrema die Monotonie überprüfen. Aber wenn ihr das so nicht gelernt habt, dann beschränk dich auf die ausreichende graphische Betrachtung.
>Könnte nich bei
> einer negativen Funtion ein Sattelpunkt auch Maximum sein?
>
Ein Sattelpunkt kann nie ein Extremum sein, weder Minimum noch Maximum. Das kannst du dir recht deutlich veranschaulichen, wenn du dir mal einen Sattelpunkt vorstellst.
Damit er ein Extremum sein könnte, bräuchte er eine waagerechte Tangente im Wende/Extrempunkt. Da sich in diesem Punkt aber auch das Krümmungsverhalten ändert, behält die Kurve vereinfacht ausgedrückt ihre Richtung bei, entweder nach unten oder nach oben. Daran sieht man, dass es kein Extrempunkt sein kann.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte und dich nicht unnötig verwirrt habe.
Liebe Grüße
Fugre
|
|
|
|
