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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 13.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Wir betrachten die Kurve f: [mm] \IR \to \IR^{n}
[/mm]
f(t) := [mm] (t^2-1, t^3-t).
[/mm]
Es gilt, wie man sich leicht überzeugt
[mm] f(\IR) [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] }. |
Meine Frage ist die folgende:
Wie erhält man den Ausdruck [mm] f(\IR) [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] }?
Mir ist klar, wie die Kurve ungefähr aussieht.
[mm] t^2-1 [/mm] steht ja für den Vektor in x-Richtung und [mm] t^3-t [/mm] für den Vektor in y-Richtung, oder?
Erhält man dann [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] durch umformen? Und wo bleibt dann das "t"?
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Hallo jokerose,
> Wir betrachten die Kurve f: [mm]\IR \to \IR^{n}[/mm]
> f(t) :=
> [mm](t^2-1, t^3-t).[/mm]
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> Es gilt, wie man sich leicht überzeugt
> [mm]f(\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : [mm]y^2[/mm] = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Meine Frage ist die folgende:
> Wie erhält man den Ausdruck [mm]f(\IR)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] :
> [mm]y^2[/mm] = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}?
>
> Mir ist klar, wie die Kurve ungefähr aussieht.
> [mm]t^2-1[/mm] steht ja für den Vektor in x-Richtung und [mm]t^3-t[/mm] für
> den Vektor in y-Richtung, oder?
>
> Erhält man dann [mm]y^2[/mm] = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] durch umformen? Und wo
> bleibt dann das "t"?
Das "t" wurde eliminiert:
[mm]x=t^{2}-1 \Rightarrow t=\dots[/mm]
Dieses t wird nun hier eingesetzt:
[mm]y=t^{3}-t[/mm]
Nach einigem Umformen steht das gewünschte da.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 13.07.2008 | | Autor: | jokerose |
ah ja, genau, jetzt ists klar. vielen dank.
jetzt habe ich aber noch eine andere Frage zu dieser Funktion:
Wenn man nun die erste Ableitung der Funktion ausrechnet, erhält man f'(t) = (2t, [mm] 3t^2-1).
[/mm]
Wenn ich nun z.B. den Punkt t = 2 einsetze, erhalte ich f'(2) = (4,11). Doch was sagt mir dies genau aus? Ist dies die Steigung im Punkt f(2) = (3,6)?
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Hallo jokerose,
> ah ja, genau, jetzt ists klar. vielen dank.
>
> jetzt habe ich aber noch eine andere Frage zu dieser
> Funktion:
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> Wenn man nun die erste Ableitung der Funktion ausrechnet,
> erhält man f'(t) = (2t, [mm]3t^2-1).[/mm]
>
> Wenn ich nun z.B. den Punkt t = 2 einsetze, erhalte ich
> f'(2) = (4,11). Doch was sagt mir dies genau aus? Ist dies
> die Steigung im Punkt f(2) = (3,6)?
>
Das ist erstmal der Ableitungsvektor.
Die Steigung im Punkt [mm]\left(3,6\right)[/mm] erhält man, wenn
[mm]y\left(x\left(t\right)\right) = y\left(t\right)[/mm]
nach t abgeleitet wird:
[mm]y'\left(x\right)*\dot{x}\left(t\right)=\dot{y}\left(t\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 13.07.2008 | | Autor: | jokerose |
Könnte man für die Steigung nicht ganz simpel 11/4 ausrechenen? Also 2.75
Und wie würde eigentlich der Tangente Einheitsvektor lauten?
Dieser berechnet man doch wie folgt:
[mm] \bruch{f'(t)}{\parallel f'(t) \parallel}
[/mm]
Für [mm] \parallel [/mm] f'(t) [mm] \parallel [/mm] erhalte ich [mm] \wurzel{137}.
[/mm]
Ist dies bis dahin korrekt? Und wie würde man weitermachen?
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Hallo jokerose,
> Könnte man für die Steigung nicht ganz simpel 11/4
> ausrechenen? Also 2.75
So isses.
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> Und wie würde eigentlich der Tangente Einheitsvektor
> lauten?
> Dieser berechnet man doch wie folgt:
>
> [mm]\bruch{f'(t)}{\parallel f'(t) \parallel}[/mm]
>
> Für [mm]\parallel[/mm] f'(t) [mm]\parallel[/mm] erhalte ich [mm]\wurzel{137}.[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist dies bis dahin korrekt? Und wie würde man
> weitermachen?
Der Tangeneinheitsvektor lautet dann:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{137}}\vektor{4 \\ 11}[/mm]
Dieser ist im Punkt [mm]\left(3,6\right)[/mm] anzusetzen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 14.07.2008 | | Autor: | jokerose |
ah super, jetzt ist alles klar.
Vielen Dank für die tolle Hilfe. 
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