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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_{a}=\bruch{1}{a}x+1+\bruch{1}{x-1} [/mm] mit [mm] a\in \IR, a\not=0.
[/mm]
a) Bestimme die Definitionsmenge [mm] D(f_{a}), [/mm] die Art der Definitionslücke und die Asymptote.
b) Untersuche [mm] f_{a} [/mm] auf Nullstellen und Extremstellen.
c)Berechne die Ortskurve g der lokalen Tiefpunkte! |
zu a) [mm] D(f_{a})=\IR\not=1
[/mm]
Muss ich dann beim weiteren Bestimmen der Definitionslücken nur den Bruch am Ende betrachten, weil ja nur für ihn eine Definitionslücke vorliegt? Ich hab das so gemacht und bekomme dann eine nicht hebbare Definitionslücke 1.Ordnung (mit Vorzeichenwechsel) raus. Wie gehe ich dann vor, um die Asymptote zu bestimmen? Gleichnamig machen?
zu b)
[mm] N_{1}(1/0) N_{2}(4/0)
[/mm]
[mm] X_{1}(0/0) X_{2}(2/4a) [/mm]
(ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist hängt von a ab, deswegen muss man vorher eine Fallunterscheidung machen!)
zu c) bin ich momentan noch recht ratlos.
LG
Amicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 So 27.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben ist die Funktionsschar
> [mm]f_{a}=\bruch{1}{a}x+1+\bruch{1}{x-1}[/mm] mit [mm]a\in \IR, a\not=0.[/mm]
>
> a) Bestimme die Definitionsmenge [mm]D(f_{a}),[/mm] die Art der
> Definitionslücke und die Asymptote.
>
> b) Untersuche [mm]f_{a}[/mm] auf Nullstellen und Extremstellen.
>
> c)Berechne die Ortskurve g der lokalen Tiefpunkte!
>
> zu a) [mm]D(f_{a})=\IR\not=1[/mm]
> Muss ich dann beim weiteren Bestimmen der
> Definitionslücken nur den Bruch am Ende betrachten, weil
> ja nur für ihn eine Definitionslücke vorliegt? Ich hab
> das so gemacht und bekomme dann eine nicht hebbare
> Definitionslücke 1.Ordnung (mit Vorzeichenwechsel) raus.
Es reicht, die 1 auszuschließen, und da nur die 1 einen Nenner des Bruches zu Null machen würde, ist das auch die einzige Definitionslücke.
> Wie gehe ich dann vor, um die Asymptote zu bestimmen?
> Gleichnamig machen?
Viel einfacher. Du kannst die Asymptote hier direkt ablesen, es ist der Teil der Funktion, der nicht gebrochen ist, also hier:
$ [mm] a(x)=\frac{1}{a}\cdot [/mm] x-1 $
>
> zu b)
> [mm]N_{1}(1/0) N_{2}(4/0)[/mm]
x=1 ist eine Definitionslücke, kann also keine Nullstelle sein.
Eine Möglichkeit, die Nullstellen uzu ermitteln, wäre folgender Weg:
[mm] $0=\bruch{1}{a}x+1+\bruch{1}{x-1}$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-\bruch{1}{x-1}=\bruch{1}{a}x+1$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-1=\bruch{1}{a}x(x-1)+1(x-1)$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-1=\bruch{1}{a}x^{2}+\bruch{1}{a}x+x-1$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow0=\bruch{1}{a}x^{2}+\bruch{1}{a}x+x$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow0=\bruch{1}{a}x^{2}+\left(\bruch{1}{a}+1\right)x$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow0=x\cdot\left(\bruch{1}{a}x+\bruch{1}{a}+1\right)$ [/mm]
Den Rest schaffst du jetzt.
>
> [mm]X_{1}(0/0) X_{2}(2/4a)[/mm]
> (ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist hängt von a ab,
> deswegen muss man vorher eine Fallunterscheidung machen!)
a>0 war Voraussetzung. Und um genauere Informationen zu erhalten, bräuchstes du noch ein hinreichnes Kriterium, also entweder das Vorzeichenwechselkriterium oder den Wert der 2. Ableitung.
[mm] $f_{a}(x)=\bruch{1}{a}x+1+\bruch{1}{x-1}$
[/mm]
[mm] $f_{a}'(x)=\bruch{1}{a}-\bruch{1}{(x-1)^{2}}$
[/mm]
[mm] $f_{a}'(x)=\bruch{2}{(x-1)^{3}}$
[/mm]
Also:
$ [mm] \bruch{1}{a}-\bruch{1}{(x-1)^{2}}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow a=(x-1)^{2}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow \pm\sqrt{a}=x-1 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 1\pm\sqrt{a}=x [/mm] $
$ [mm] f_{a}''(1+\sqrt{a})=\bruch{2}{(1+\sqrt{a}-1)^{3}}=\frac{2}{(\sqrt{a})^{3}}>0 [/mm] $
$ [mm] f_{a}''(1-\sqrt{a})=\bruch{2}{(1-\sqrt{a}-1)^{3}}=\frac{2}{(-\sqrt{a})^{3}}<0 [/mm] $
Damit hast du wo die Tiefpunkte.
Berechne nun noch die y-Koordinaten der Extrempunkte mit:
[mm] f_{a}(1+\sqrt{a})=\ldots
[/mm]
[mm] f_{a}(1-\sqrt{a})=\ldots
[/mm]
>
> zu c) bin ich momentan noch recht ratlos.
Lose die x-Koordinate des Tiefpunktes [mm] x=1+\sqrt{a} [/mm] nach a auf, und setze diesen Wert dann für a in die y-Kooridnate [mm] y=\ldots [/mm] ein. Das wird dann deine Ortskurve.
>
> LG
> Amicus
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 So 27.11.2011 | | Autor: | Amicus |
Vielen Dank, hab's verstanden.
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