Funktionsschar + rechtwinklig < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welches t schneidet der Graph der Funktion f(x) = t*cos(x) die 1. Winkelhalbierende rechtwinklig? |
Ein Abitur-Schüler hatte diese Aufgabe bekommen. Aber an einer bestimmten Stelle komme ich da nicht weiter.
Ich stelle folgendes Gleichungssystem auf:
1.) x = t*cos(x) [mm] \Leftarrow [/mm] wegen der Winkelhalbierenden
2.) -1 = -t*sin(x) [mm] \Leftarrow [/mm] Steigung (1. Ableitung) am Schnittpunkt ist Minus Eins wegen 'rechtwinklig'
So weit, so gut. Aber wie soll man das Gleichungssystem lösen? Es ist ja t gesucht.
Da habe ich raus:
Möglichkeit A):
arcsin [mm] (\bruch{1}{t}) [/mm] = [mm] t*cos(arcsin(\bruch{1}{t}))
[/mm]
Möglichkeit B):
1 = x*tan(x) , und anschließend muss man das gefundene x noch in t = [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] einsetzen.
Beides ist aber nur durch 'Probieren' lösbar. Oder geht das auch anders ???
Im Endeffekt habe ich raus: t = 1.32 und x = 0.86
|
|
| |
|
> Beides ist aber nur durch 'Probieren' lösbar. Oder geht
> das auch anders ???
Hallo,
mit "Probieren" meinst Du, daß man es irgendwie graphisch oder numerisch löst, richtig?
Ein Weg, bei dem man "einfach so" die Gleichungen auflöst, fällt mir auch nicht ein. Ich würde sagen, daß das nicht geht.
Für Deine Schüler ist das aber ja auch kein Problem, oder? Sie sollen und wollen ja sicher ihren Turbo-Rechner verwenden.
> Im Endeffekt habe ich raus: t = 1.32 und x = 0.86
Ich habe das mal eben ganz grob zeichnerisch gemacht und ähnliche Werte bekommen - und dazu noch das entsprechende negative Pärchen, mit Deinen Ergebnissen wäre das dann t=-1.32 und x=-0.86 .
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Do 13.01.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, Angela.
Mit dem Turbo-Rechner geht das natürlich. Aber dann bräuchte man eigentlich auch keine p-q-Formel mehr zu können oder die ganze Diferenzial- und Integralrechnung. Der Turbo-Rechner berechnet ja jede Nullstelle, jeden Hoch-und Tiefpunkt und jede Fläche unter einer Kurve.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Do 13.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo rabilein,
> Mit dem Turbo-Rechner geht das natürlich. Aber dann
> bräuchte man eigentlich auch keine p-q-Formel mehr zu
> können oder die ganze Diferenzial- und Integralrechnung.
> Der Turbo-Rechner berechnet ja jede Nullstelle, jeden
> Hoch-und Tiefpunkt und jede Fläche unter einer Kurve.
Da hast Du wohl Recht. Genau deswegen finde ich solche Aufgaben, die man nicht auch prinzipiell von Hand lösen kann, nicht geschickt. Sie verführen dazu, alles mit dem Rechner zu lösen. Meine Tochter rechnete sich neulich einen Wolf mit einer ewig langen Formel, die man leicht hätte vereinfachen können. Sie wusste nur nicht, wie, also hat sie mal eben alles eingegeben. Und dass das Gesamtergebnis einfach [mm] \sin{x} [/mm] war, war an der Zahl auf dem Display natürlich nicht mehr zu erkennen.
Bei Deiner Aufgabe kann man ja alles mögliche versuchen und kommt doch nicht auf eine explizite Auflösung. Man muss ja sowohl x als auch t herausfinden.
Ich bin vorhin recht schnell mit der Beziehung [mm] x^2+1=t^2 [/mm] vorwärtsgekommen, obwohl man da durch die Quadrierung noch ein unentschiedenes Vorzeichen hat, aber das lässt sich dann ja leicht klären.
Grüße
reverend
|
|
|
|
