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Untersuchen sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktionen in Abhängigkeit von t
F(x) X³+tx²+x+1
Für Monotonie brauch ich doch die erste Ableitung?
F'(x) 3x²+2tx+1
es ist monoton steigend für F'(x) >0
aber wie funktioniert des jetzt wegen dem Parameter?
ich komm nicht drauf kann mir jemand helfen |
F(x) X³+tx²+x+1
Für Monotonie brauch ich doch die erste Ableitung?
F'(x) 3x²+2tx+1
es ist monoton steigend für F'(x) >0
aber wie funktioniert des jetzt wegen dem Parameter?
ich komm nicht drauf kann mir jemand helfen
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> Untersuchen sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten der
> Funktionen in Abhängigkeit von t
> F(x) X³+tx²+x+1
> Für Monotonie brauch ich doch die erste Ableitung?
> F'(x) 3x²+2tx+1
> es ist monoton steigend für F'(x) >0
> aber wie funktioniert des jetzt wegen dem Parameter?
> ich komm nicht drauf kann mir jemand helfen
> F(x) X³+tx²+x+1
> Für Monotonie brauch ich doch die erste Ableitung?
> F'(x) 3x²+2tx+1
> es ist monoton steigend für F'(x) >0
> aber wie funktioniert des jetzt wegen dem Parameter?
> ich komm nicht drauf kann mir jemand helfen
Hallo.
Naja, Du mußt halt [mm] $F'(x)=3x^2+2tx+1<0$ [/mm] nach $x$ auflösen, $t$ behandelst Du dabei einfach wie eine Zahl.
Das bedeutet, wenn Du Dir eine nach oben geöffnete Parabel vorstellst:
[mm] $3x^2+2tx+1<0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+\frac{2t}{3}x+\frac{1}{3}<0$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{-t-\sqrt{t^2-3}}{3}
Das heißt, für [mm] $x\in\left(\frac{-t-\sqrt{t^2-3}}{3}, \frac{-t+\sqrt{t^2-3}}{3}\right)$ [/mm] ist $F'(x)<0$, d.h. $F$ monoton fallend und außerhalb steigend.
(die beiden Grenzen des Intervalls könnten sich bloß vertauschen, wenn die linke größer wird als die rechte)
Nun müssen wir bloß noch den Fall betrachten, wo die beiden Grenzen dieses Intervalls gleich sein könnten, d.h. das Intervall zu einem Punkt deformiert. Wie man sich leicht überlegen kann, ist das genau dann der Fall, wenn [mm] $\sqrt{t^2-3}=0$, [/mm] also [mm] $t=\pm\sqrt{3}$, [/mm] d.h. für [mm] $t=\pm\sqrt{3}$ [/mm] gibt es kein Intervall, auf dem die Funktion $F$ fallend ist, d.h. für diese $t$ ist sie immer monoton wachsend.
Nun ist noch das Krümmungsverhalten zu betrachten, sprich, wann ist $F''(x)<0$, d.h. $F$ macht eine "Rechtskurve", wann nicht.
Hier ist im Prinzip dasselbe zu tun, aber in wesentlich einfacherer Form.
Gruß,
Christian
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ich versteh nich ganz
ich lös dich ungleichung auf
3x²+2tx+1<0
warum ist der nexte Schritt
>0 wir machen doch nur geteilt durch 3 da dreh ich doch nicht die Ungleich-
heitszeichen um
und wie komm ich dann auf diese Lösungsformel
[mm] -t+\Wurzel{t"-3}/3
[/mm]
das versteh ich nicht ganz
wäre dankbar über eine Hilfe nochmal
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Ich hab die gleichung
[mm] x²+\bruch{2t}{3}x+\bruch{1}{3}<0
[/mm]
und des dann in die Mitternachtsformel
[mm] \bruch{-2t}{3}+\wurzel{\bruch{4t²}{3}-\bruch{4}{3}} [/mm] und den ganzen nenner noch durch 2 teilen
aber wie ist der cristian dann auf seine Lösung gekommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alessandro!
Das stimmt nicht ganz mit Deiner Formel:
[mm]x_{1/2} \ = \ \bruch{-\bruch{2t}{3} \ \red{\pm} \ \wurzel{\bruch{4t^2}{\red{9}}-\bruch{4}{3}}}{2} \ = \ \bruch{-\bruch{2t}{3} \ \pm \ \wurzel{\bruch{4t^2}{9}-\bruch{12}{9}}}{2} \ = \ \bruch{-\bruch{2t}{3} \ \pm \ \wurzel{\bruch{4t^2-12}{9}}}{2} \ = \ \bruch{-\bruch{2t}{3} \ \pm \ \bruch{\wurzel{4}*\wurzel{t^2-3}}{\wurzel{9}}}{2} \ = \ -\bruch{t}{3} \ \pm \ \bruch{\wurzel{t^2-3}}{3} \ = \ \bruch{-t\pm\wurzel{t^2-3}}{3}[/mm]
Gruß
Loddar
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die Fehler hab ich erst gesehen als ich die Frage schon reingesetzt hab
Jetzt hab ich des verstanden, wenn man es einmal gelesen hat dann o.k. aber
ich weiss nur noch nicht, wie du vom drittletzten auf den zweitletzten Schritt kommst, des [mm] \Bruch{1t}{3} [/mm] da mach ich doch den umkehrbruch von den 2 aber wie krieg ich dann des Wurzel aus 4 weg.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Di 03.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hi ...
[mm] $\wurzel{4} [/mm] \ =\ 2$ Und dann kann ich im großen Zähler $2_$ ausklammern und kürzen.
Gruß
Loddar
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Hi, Alessandro,
Christians Antwort muss noch ergänzte werden, denn:
Wenn [mm] t^{2} [/mm] - 3 < 0 ist (also für [mm] -\wurzel{3} [/mm] < t < [mm] \wurzel{3}), [/mm] ist der Graph der Funktion ebenfalls in ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton zunehmend.
(der Unterschied zu [mm] t=\pm\wurzel{3} [/mm] ist, dass für diese beiden Werte von t die zugehörigen Graphen jeweils einen Terrassenpunkt haben, für obige Werte von t aber nicht!)
Außerdem möchte ich erwähnen, dass für |t| > [mm] \wurzel{3} [/mm] die Monotonie-Intervalle an den Rändern ABGESCHLOSSEN sind (natürlich außer bei [mm] \pm\infty). [/mm]
mfG!
Zwerglein
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
p/q-Formel