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Forum "Rationale Funktionen" - Funktionsscharen
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Funktionsscharen: Schnittpunkt der Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 So 12.12.2004
Autor: NanoSusi

Es tut mir leid, dass ich den Formeleditor nicht benutze - Indianerehrenwort, ich werde mich mit ihm anfreunden und weiterhin benutzen, heute ist es SEHR dringend

Gegeben ist [mm] f_t(x)= (x^2-4*x+4*t)/(2*t*x) [/mm]

m(4/0,5)ist Schnitpunkt der Funktionsgraphen,

Es ist zu überprüfen für welche t1 und t2 sind graphen orthogonal zueinander.

Als erstes habe ich f'(x)ermittelt: [mm] (x^2-4*t)/2*x^2*t) [/mm]

dann die Werte x und y nach den Koordinaten des Schnittpunktes eingesetzt:

f'_t1(4)=(16-4*t1)/(32*t1)         f'_t2(4)=(16-4*t2)/(32*t2)

Ansatz für weitere Rechnung : f_t1 orth. zu f_t2 genau dan wenn
                            
                               m_t1*m_t2=-1

=>   [(16-4*t1)/(32*t1)] * [(16-4*t2)/(32*t2)]=-1
                                          

<=>  - (4*(4-t1)*4*(4-t2))/(32*t1*32*t2)       = 1
                                      

<=>  - ((4-t1)*(4-t2))(64*t1*t2)              = 1

Aber weiter stockt es. Ich habe schon graphisch uberprüft: es besteht keine orthogonalität. Bitte, helft mir weiter - nach welche schemata in so einem Fall vorzugehen ist und in diesem konkreten Fall wie soll ich die Rechnung zu Ende führen ??
es sehr dringend!!!!!!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.uni-protokole.de
www.onlinemathe.de
aber ohne Erfolg

        
Bezug
Funktionsscharen: Rückfrage zur Funktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 So 12.12.2004
Autor: Loddar

Hallo NanoSusi,

erstmal [willkommenmr] !!
Wir freuen uns hier auch über eine nette Anrede und Begrüßung ;-)

> Es tut mir leid, dass ich den Formeleditor nicht benutze -
> Indianerehrenwort, ich werde mich mit ihm anfreunden und
> weiterhin benutzen, heute ist es SEHR dringend

Hmm, und genau hier liegt jetzt das Problem, da nicht ersichtlich ist, wie Deine Funktion lautet.
  

> Gegeben ist [mm]f_t(x)= (x^2-4*x+4*t)/(2*t*x)[/mm]
> M(4 / 0,5) ist Schnittpunkt der Funktionsgraphen.

Ich vermute mal, Deine Funktionsschar lautet:
[mm]f_t(x)= \bruch{x^2-4*x+4*t}{2*t*x}[/mm]
(Das würde mit dem o.g. gemeinsamen Schnittpunkt aller Funktionsgraphen übereinstimmen.)

In diesem Fall ist Deine Ableitung leider total daneben!!
Ui-ui-ui ... Scheinbar nicht mein Tag heute.
Deine Ableitung stimmt natürlich!!


Entweder Du benutzt die Quotientenregel:
[mm] $(\bruch{u}{v})' [/mm] = [mm] \bruch{u'*v - u*v'}{v^2}$. [/mm]

Oder einfacher ist folgende Umformung:
[mm]f_t(x)= \bruch{x^2-4*x+4*t}{2*t*x}[/mm]

Bruch in Teilbrüche zerlegen:
[mm]f_t(x)= \bruch{x^2}{2*t*x} - \bruch{4*x}{2*t*x} + \bruch{4*t}{2*t*x}[/mm]

Kürzen:
[mm]f_t(x)= \bruch{1}{2t}*x - \bruch{2}{t} + \bruch{2}{x}[/mm]

Letzten Bruch in Potenzschreibweise:
[mm]f_t(x)= \bruch{1}{2t}*x - \bruch{2}{t} + 2*x^{-1}[/mm]

So lässt sich die Ableitungsfunktion ziemlich einfach ermitteln.


> Es ist zu überprüfen für welche t1 und t2 sind graphen
> orthogonal zueinander.
>  
> Als erstes habe ich f'(x)ermittelt: [mm](x^2-4*t)/(2*x^2*t)[/mm]

Siehe oben !!! Es fehlt nur die Klammer im Nenner.

> dann die Werte x und y nach den Koordinaten des
> Schnittpunktes eingesetzt.

Idee richtig!  Nur halt mit der richtigen Ableitung! Haste ja ...

> Ansatz für weitere Rechnung :
> f_t1 orth. zu f_t2 genau dann, wenn
>                              
> [mm] $m_{t1} [/mm] * [mm] m_{t2} [/mm] = -1$

Ebenfalls richtiger Ansatz!

Sieh' also bitte noch mal nach und poste hier die richtige Funktionsvorschrift, sonst ist Hilfe mehr als schwierig ...

Grüße Loddar

Bezug
        
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Funktionsscharen: Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 12.12.2004
Autor: e.kandrai

Also, als Ableitung hab ich bekommen: [mm]f'_t(x)=\bruch{x^2-4t}{2x^2t}[/mm].

Wir interessieren uns ja für die Steigung (also Ableitung) an der Stelle x=4, also setzen wir das in die erste Ableitung ein:
[mm]f'_t(4)=\bruch{16-4t}{32t}=\bruch{4-t}{8t}[/mm]

Und jetzt müssen wir mit der Bedingung für Orthogonalität ran, nämlich dass für [mm]t_1\not=t_2[/mm] gilt: [mm]f'_{t_1}(4) \cdot f'_{t_2}(4) = -1[/mm]

Melde dich nochmal, wenn bis (oder ab) hier noch irgendwas unklar sein sollte.

Bezug
                
Bezug
Funktionsscharen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Mo 13.12.2004
Autor: NanoSusi

Hallo, ersteinmal, und vielen Dank für Interesse :)
Du schreibst:
Also, als Ableitung hab ich bekommen:

> [mm]f'_t(x)=\bruch{x^2-4t}{2x^2t}[/mm].

Das habe ich auch schon gehabt - villeicht nicht so schön verständlich -aber das war mein erster Schritt.  

> Wir interessieren uns ja für die Steigung (also Ableitung)
> an der Stelle x=4, also setzen wir das in die erste
> Ableitung ein:
>  [mm]f'_t(4)=\bruch{16-4t}{32t}=\bruch{4-t}{8t}[/mm]

Genau! Das war auch schon so weit vertig.  

> Und jetzt müssen wir mit der Bedingung für Orthogonalität
> ran, nämlich dass für [mm]t_1\not=t_2[/mm] gilt: [mm]f'_{t_1}(4) \cdot f'_{t_2}(4) = -1[/mm]

Dieser Ansatz hatte ich auch. Mein Problem, dass nach dem Einsetzen ich nich viel weiter gekpmmen bin. Heute habe ich weiter dran gebastelt. Das ist dabei rausbekommen:

[mm]\bruch{16-4t_1}{32t_1}\cdot \bruch{16-4t_2}{32t_2}= -1 \gdw \bruch{(4-t_1)(4-t_2)+64t_1t_2}{64t_1t_2}=0 \Rightarrow (4-t_1)(4-t_2)+64t_1t_2=0 \dgw 65t_1t_2-4t_1-4t_2+16=0 \dgw t_1(65t_2-4)=4t_2-16 \dgw t_1=\bruch{4(t_2-4)}{65t_2-4}[/mm]

und dann eingesetzt:

* tja, jetzt sehe ich ein, dass folgende Schritte gar nichts bringen ..
habe Überlegungen gemacht , onb ich jetzt nicht in die Ableitung, sondern in die Funktionsgleichung einsetzen soll .. habe keine Idee WIE ..


[mm]\bruch{4-t_2}{8t_2}\*\bruch{4-\bruch{4(t_2-4)}{65t_2-4}}{8\*\bruch{4(t_2-4)}{65t_2-4}} = -1 \dgw \bruch{(4-t_2)(1-t_2+4)}{64t_2(t_2-4)} = -1 \dgw 20-9t_2+t^{2}_2=64t_2-64t^{2}_2 \dgw 65t^{2}_2-73t_2+20=0 \dgw t_2= 0,649 \Rightarrowt t_1=-0,35 \vee t_2= 0,474 \Rightarrowt t_1=-0,53[/mm]

Wenn ich diese beide Paare jetzt  nacheinander einsetzte in [mm]f'_{t_1}(4) \cdot f'_{t_2}(4) = -1[/mm], bekomme ich für das erste Paar -1,196 und für das zweite -0,86 raus, also [mm]\not= \Rightarrow [/mm] es gibt keine [mm]t_1 \wedge t_2 [/mm] für die orthogonalität besteht.

Ist es denn OK so ? Ist mir ein Fehler unterlaufen ? Denn bei der Musterlösung sind andere Ergebnisse , wobei die Schlussfolgerung dasselbe ist.





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Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Sa 18.12.2004
Autor: e.kandrai

Sorry, dass ich erst so spät antworte...

Also das Einsetzen, wie du's selber probiert hast, bringt nicht viel.
Wenn du dich nicht verrechnest, dann müsste einfach nur eine wahre Aussage rauskommen: [mm]-1=-1[/mm].

Wir haben hier zwei Unbekannte, nämlich [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm], aber nur eine Gleichung. Also wird die Lösung eine Gleichung sein, die die beiden t's einfach nur in Verbindung zueinander setzt.
Und ich hab dasselbe raus, wie du: [mm]t_1=\bruch{16-4t_2}{4-65t_2}[/mm]

Das heißt, du kannst für [mm]t_2[/mm] einfach irgendwas einsetzen, und bekommst das [mm]t_1[/mm], so dass die beiden Kurven sich orthogonal schneiden. Es gibt natürlich unendlich viele Kombinationen für die beiden t's.
Z.B. für [mm]t_2=0[/mm] ergibt sich [mm]t_1=4[/mm]

Frage beantwortet?

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Bezug
Funktionsscharen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 So 19.12.2004
Autor: NanoSusi

Hallo, und danke für deinen Antwort - es ist nie zu spät was dazu zu lernen ) .
Also, es gibt unendlich viele [mm]t_{1} und t_{2}[/mm] mit der Ausnahme der Definitionslücke, die sich nach der Auflösung des Nenners ergiebt.

Danke schön :))
Selber bin ich nicht drauf gekommen )

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Bezug
Funktionsscharen: Richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 So 19.12.2004
Autor: e.kandrai

Genau so isses, es gibt unendlich viele Paare [mm](t_1,t_2)[/mm], für die das gilt.
Man muss dabei nur das Problem mit dem Nenner, sowie evtl. in der Aufgabenstellung vorgegebene Einschränkungen für die t's beachten.

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