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Funktionsscharen: Referat
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Mi 04.01.2012
Autor: Valerie

Aufgabe
Beispiel: Gegeben ist die Kurvenschar [mm] f_{a} [/mm] (x) = [mm] e^{2x} [/mm] - a [mm] \* e^{x}, [/mm] a > 0.
Untersuchen Sie [mm] f_{a} [/mm] auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Verhalten fuer x [mm] \to \pm \infty. [/mm]
Zeichnen Sie die Graphen [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] fuer -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,2.

Uebung 32
Gegeben ist die Schar [mm] f_{a} [/mm] (x) = [mm] e^{2x} [/mm] - a [mm] \* e^{x}. [/mm] Bestimmen Sie in Analogie zur Herleitung der Ortskurve der Extremalpunkte (Beispiel oben) nun die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte.

Beispiel: Ortskurve der Extrema
Gegeben ist die Schar [mm] f_{a} [/mm] (x) = [mm] e^{2x} [/mm] - a [mm] \* e^{x} [/mm] aus dem vorhergehenden Beispiel.
Betrachtet man die Menge aller Extremalpunkte der Schar, so kann man feststellen, dass diese auf ein und derselben Kurve liegen. Diese Kurve nennt man Ortskurve oder Ortslinie der Exztremalpunkte. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ortskurve.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich muss am Dienstag ein wirklich gutes Referat ueber Funktionsscharen halten, um auf meine 14 Punkte im Zeugnis zu kommen :) Es geht um Funktinosscharen. Leider war ich krank, als diese im Unterricht besprochen wurden und kam durch Umzuege etc. noch nicht dazu das ganze aufzuarbeiten. Kann mir jemand oben genannte Aufgabe Schritt fuer Schritt bitte erklaeren? Ich verstehe naemlich nur Bahnhof, da ich weder Scharen ncoh Ortskurven kenne!

Vielen Dank,
Valerie

        
Bezug
Funktionsscharen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Mi 04.01.2012
Autor: Adamantin


> Beispiel: Gegeben ist die Kurvenschar [mm]f_{a}[/mm] (x) = [mm]e^{2x}[/mm] -
> a [mm]\* e^{x},[/mm] a > 0.
>  Untersuchen Sie [mm]f_{a}[/mm] auf Nullstellen, Extrema,
> Wendepunkte, Verhalten fuer x [mm]\to \pm \infty.[/mm]
>  Zeichnen Sie
> die Graphen [mm]f_{2}[/mm] und [mm]f_{3}[/mm] fuer -3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1,2.
>  

Kurvenschar allgemein bedeutet, dass du nicht mehr nur eine Funktion f(x), also von einer Variable x hast, sondern dass es jetzt noch einen zusätzlichen Parameter a gibt, also hast du eine FUnktion von f(x,a), wobei sowohl x als auch a meist aus den reellen Zahlen sein dürfen. Einfachstes Beispiel: f(x)=ax oder f(x,a)=ax. Was heißt das? Nun, du hast nicht mehr die Ursprungsgerade f(x)=x, also die Winkelhalbierende, sondern du hast eine Geradenschar. Der Graph ergibt sich durch einsetzten aller möglichen Werte für a, also insgesamt der gesamte [mm] $R^2$, [/mm] da a ja die Steigung ist und du mit einem positiven und negativen Wert für a jede Gerade in der Ebene darstellen bzw. jeden Punkt schneiden kannst. Anders ausgedrückt: f(x)=x ist ein Spezialfall für die Geradenschar f(x)=ax mit a=1.

Was machst du jetzt in deiner Aufgabe? Nichts besonderes! Alles wie gehabt, berechne also Nullstellen, Extrema usw. wie bisher durch 0-setzen oder ableiten. ABER du erhälst natürlich jetzt immre Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter a, der ist ja noch nicht festgelegt worden und darf auch nicht festgelegt werden. Ziel ist es ja gerade, über eine Kurvenschar allgemeine Aussagen zu treffen. So könnte es sein, dass du z.B. die allgmeine Nullstelle [mm] $x_0=2a" [/mm] errechnest. Damit weiß dann der Anwender sofort, dass NST bei einem Vielfachen von 2a liegen. Wenn man nun sagt, zeichne [mm] $f_1$ [/mm] was nichts anderes als $f(x,1) mit a=1$ heißt, dann weiß der Anwender, dass die NST bei [mm] $x_0=2$ [/mm] liet, da a ja 1 ist.

Also versuch so wie immer zu rechnen und behalte das a einfach als Platzhalter!

> Uebung 32
>  Gegeben ist die Schar [mm]f_{a}[/mm] (x) = [mm]e^{2x}[/mm] - a [mm]\* e^{x}.[/mm]
> Bestimmen Sie in Analogie zur Herleitung der Ortskurve der
> Extremalpunkte (Beispiel oben) nun die Gleichung der
> Ortskurve der Wendepunkte.
>  
> Beispiel: Ortskurve der Extrema
>  Gegeben ist die Schar [mm]f_{a}[/mm] (x) = [mm]e^{2x}[/mm] - a [mm]\* e^{x}[/mm] aus
> dem vorhergehenden Beispiel.
>  Betrachtet man die Menge aller Extremalpunkte der Schar,
> so kann man feststellen, dass diese auf ein und derselben
> Kurve liegen. Diese Kurve nennt man Ortskurve oder
> Ortslinie der Exztremalpunkte. Bestimmen Sie die Gleichung
> dieser Ortskurve.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Was die Ortskurve ist, ist ja gut beschrieben. Du hast es hier mit Scharen zu tun. Einfachstes Beispiel [mm] $f(x,a)=x^2+a$. [/mm]  Das ist die Schar aller Normalparabeln, verschoben um a auf der y-Achse. Wo liegen deren Extrema? Natürlich alles Tiefpunkte, die auf der y-Achse liegen. Also wäre die y-Achse die Ortskurve. Wie erhält man soetwas? Wir bestimmen die Ableitung und sehen sofort, a fällt heraus. Unabhängig von a liegen alle Extrema bei [mm] $x_e=0$. [/mm] Als y-Wert erhalten wir dann $f(0,a)=a$. Also liegen alle Extrema bei $(0,a)$. Haben wir $a=1$, so liegt der Tiefpunkt der Parabel bei $(0,1)$ usw. Die Ortskurve erhält man nun allgemein dadurch, dass man sich aus den Punktkoordinaten aller Extremwerte die y-Gleichung und x-Gleichung gesondert aufschreibt und das a aus den GLeichungen eliminiert. Bei uns gilt [mm] $x_e=0$ [/mm] und [mm] $y_e=a$. [/mm] Hier kann nichts weiter aufgelöst werden da die Ortskurve keine Funktion ist, eine Parallele zur y-Achse bzw die y-Achse selbst ist ja keine Funktion. Dennoch hoffe ich, dass dir das Beispiel prinzipiell klargemacht hat, was Ortskurven sind. Also berechne für deine Schar die Extremstellen mit dem Parameter a. Dann stelle die x-Koordinatengleichung und y-Koordinatengleichung auf. Normalerweise werden beide Gleichungen ein x oder a oder beides enthalten. Dann kannst du beide addieren/subtrahieren und erhälst eine Gleichung ohne a! Das ist deine Ortskurve, also eine Funktion, die die Lage aller Extrema beschreibt (wenn man eine Ortskurve für Extrema aufstellt, natürlich kann man dies auch für beliebige andere Punkte wie NST machen).

>  
> Ich muss am Dienstag ein wirklich gutes Referat ueber
> Funktionsscharen halten, um auf meine 14 Punkte im Zeugnis
> zu kommen :) Es geht um Funktinosscharen. Leider war ich
> krank, als diese im Unterricht besprochen wurden und kam
> durch Umzuege etc. noch nicht dazu das ganze aufzuarbeiten.
> Kann mir jemand oben genannte Aufgabe Schritt fuer Schritt
> bitte erklaeren? Ich verstehe naemlich nur Bahnhof, da ich
> weder Scharen ncoh Ortskurven kenne!

Also nicht so viel Bahnhof reden, lieber kurz mal ne Seite im Lehrbuch nachlesen, oder wofür willst du 14 Punkte haben? Es ist weder ein neues Thema noch ein völlig neue Materie, es ist eine logische Erweiterung des bereits Gelernten. Gib dir ein wenig Mühe und rechne wie gewohnt die Kurvendiskussion durch, dann schauen wir bei den Ergebnissen zusammen, wie wir sie interpretieren.

>  
> Vielen Dank,
>  Valerie


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