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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 28.11.2004 | | Autor: | Stefan04 |
Hallo,
schreibe morgen Klausur und habe noch eine knifflige aufgabe, wo ich zwar alle Werte richtig ausgerechnet habe, beim Zeichnen aber nicht so recht weiterkomme!
f (x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (2a - [mm] e^x)^2 [/mm] ; a [mm] \in \IR
[/mm]
Nullstellen (ln2a/0)
Schnittpunkt mit y- Achse bei (0/ [mm] \pm \bruch{a}{2} [/mm] + 0,5 [mm] (a-1)^\bruch{1}{2}
[/mm]
Tiefpunkt ( ln2a/0) für a>0
keine extrema für a < = 0
Wendepunkt(lna/ [mm] \bruch{a^2}{2} [/mm] )
kein WP für a < = 0
Ortslinie der Extrema : y=0
ortslinie WP y= [mm] \bruch{e^2x}{2}
[/mm]
Bei dem Schnittpunkt mit der y-achse bin ich mir noch nicht 100%ig sicher...
Naja, wenn die möglichkeit besteht, dass einer den Graphen mit Derive für a : 0,5 ; 1;
-1 ??(geht das überhaupt?---> weil a nicht kleiner gleich 0 gehen darf???)
zeichnen kann, wäre das Super!
Danke
Gruß Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 So 28.11.2004 | | Autor: | Stefan04 |
Hallo,
habe das mit dem Zeichnen in den Griff bekommen....
Jetzt interessiert mich nur, ob der Schnittpunkt mit der Y-Achse richtig ist...
und dann habe ich versucht, auszurechnen, in welchen Punkt sich alle Funktionen der Shar schneiden. also f1(x) - f2(x)
bin damit aber nicht sehr weit gekommen, da vor mir ein riesiger Term steht, und ich nicht weiß, wo ich anfangen soll.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 So 28.11.2004 | | Autor: | informix |
Hallo Stefan,
>
> habe das mit dem Zeichnen in den Griff bekommen....
>
> Jetzt interessiert mich nur, ob der Schnittpunkt mit der
> Y-Achse richtig ist...
mein Derive liefert: $f(a,0) = [mm] \bruch{(2a - 1)^2}{2}$
[/mm]
Zeichnung: [Dateianhang nicht öffentlich]
Hast du das genau so?
> und dann habe ich versucht, auszurechnen, in welchen Punkt
> sich alle Funktionen der Shar schneiden. also f1(x) -
> f2(x)
muss ich erst noch rechnen ...
> bin damit aber nicht sehr weit gekommen, da vor mir ein
> riesiger Term steht, und ich nicht weiß, wo ich anfangen
> soll.....
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 28.11.2004 | | Autor: | informix |
Hallo Stefan,
setze in Derive: f(a,x)=f(b,x)
dann erhältst du: [mm] $\bruch{1}{2}(2a-e^x)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(2b-e^x)^2$
[/mm]
kürzen und zusammenfassen liefert: [mm] $a^2-ae^x [/mm] = [mm] b^2 [/mm] - [mm] be^x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a^2-b^2 [/mm] = (a- [mm] b)e^x \Rightarrow e^x [/mm] = a+b [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \ln(a+b)$
[/mm]
in meiner Zeichnung kannst du ablesen: für a = 0,5 und b=1 liegt der Schnittpunkt
bei $x = [mm] \ln1,5 \approx [/mm] 0,4$
Hoffentlich liest du das noch heute abend 
Jedenfalls viel Erfolg morgen bei der Klausur.
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Dein Schnittpunkt mit der y-Achse stimmt nicht, informix hat recht.
Wie man drauf kommt? Man setzt für das x einfach überall Null ein (man schneidet die y-Achse ja dort, wo der x-Wert =0 ist, also wo man weder links, noch rechts von der y-Achse ist).
Das liefert: [mm]y=\bruch{1}{2}*(2a-e^{0})^2 = \bruch{1}{2}*(2a-1)^2[/mm].
Zum Schnittpunkt zweier Scharkurven für [mm]a_1 \not= a_2[/mm] hab ich folgendes gefunden:
[mm]2*(a_1)^2-2*a_1*e^x+\bruch{1}{2}*e^{2*x}=2*(a_2)^2-2*a_2*e^x+\bruch{1}{2}*e^{2*x}[/mm]
[mm]2*a_1^2-2*a_1*e^x=2*a_2^2-2*a_2*e^x[/mm]
[mm]2*a_1^2-2*a_2^2=2*a_1*e^x-2*a_2*e^x[/mm]
[mm]2*(a_1^2-a_2^2)=2*e^x*(a_1-a_2)[/mm]
[mm]2*(a_1+a_2)*(a_1-a_2)=2*e^x*(a_1-a_2)[/mm]
Jetzt dürfen wir durch [mm](a_1-a_2)[/mm] dividieren, da [mm]a_1 \not= a_2[/mm]:
[mm]2*(a_1+a_2)=2*e^x[/mm]
[mm]e^x=a_1+a_2[/mm]
[mm]x=ln(a_1+a_2)[/mm]
Einen von der Wahl von a unabhängigen Schnittpunkt gibt es also nicht (falls ich mich nicht verrechnet habe).
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