Funktionsuntersuchung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 So 26.11.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Führen Sie eine Funktionsuntersuchung durch.
a.) f (x) = x - [mm] e^x
[/mm]
c.) f (x) = x - ln (x) |
Hallo,
Habe das mal gemacht.
Bin mir aber nicht sicher, wie sooft ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Vielleicht könnt ihr ja nochmal drüber gucken ;)
a.)
Zuerst mal die Definitionsmenge der Funktion.
D = [mm] \IR
[/mm]
Symmetrie :
f (-x) = -x -e^-^x
- f (-x) = - (-x - e^-^x)
- f (-x) = x + e^-^x
f(-x) stimmt weder mit f (x) noch mit - f (-x) überein, also ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Verhalten für x ---> [mm] \infty
[/mm]
Für x ---> + [mm] \infty [/mm] f (x) ---> - [mm] \infty
[/mm]
Für x ---> - [mm] \infty [/mm] f (x) ---> - [mm] \infty
[/mm]
Die Funktion besitzt keine Nullstellen.
Nun suche ich nach Extremstellen, dazu muss die 1. Ableitung = 0 gesetzt werden.
f'(x) = 1 - [mm] e^x
[/mm]
f'(x) = 0
1 - [mm] e^x [/mm] = 0
x = 0
An der Stelle 0 liegt ein Extremum vor. Um herauszufindun um was für eine Art Extremum es sich handelt, brauche ich die 2. Ableitung. Dort setze ich dann für f''(0) ein um zu sehen das f''(0) [mm] \not= [/mm] 0 wird.
f''(x) = [mm] -e^x [/mm]
f''(0) = -1
< 0; also liegt an der Stelle 0 ein Maximum vor.
Hochpunkt am Punkt P (0|-1)
Das habe ich als Funktionsuntersuchung bei der Aufgabe a.) gemacht.
Nun zu b.)
f(x) = x - ln (x)
Symmetrie :
f(-x) = -x - ln (-x)
-f (-x) = -(-x-ln(-x))
-f (-x) = x + ln (-x)
f(-x) stimmt weder mit f (x) noch mit - f (-x) überein, also ist der Graph von f weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Genau wie bei a!
Definitionsmenge der Funktion ist :
D = [mm] \IR^+ [/mm] vermindert [0]
Die Funktion besitzt ebenfalls keine Nullstellen.
Nun suche ich wieder Extremstellen ;)
f'(x) = 1 - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f'(x) = 0
x = 1 ; Also liegt an der Stelle x = 1 ein Extremum vor.
Nun wieder die 2. Ableitung. Da bin ich mir nicht mehr so sicher gewesen wie ich die Bilde. Aber ich hoffe mal ich hab's richtig gemacht.
f''(x) = [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
f''(1) = 1 > 0, also liegt an der Stelle 1 ein Minimum vor.
Tiefpunkt an dem Punkt P(1|1).
Verhalten für |x| ---> [mm] \infty [/mm] :
x ---> [mm] |+\infty| [/mm] f (x) = + [mm] \infty
[/mm]
x ---> |- [mm] \infty| [/mm] f (x) = + [mm] \infty
[/mm]
Naja, das war's auch hier was ich zu der Funktionsuntersuchung habe.
Vorallem bei dem Verhalten für x bin ich sehr unsicher.
Wäre also super lieb wenn ihr euch das mal angucken könntet.
MfG
Kristof
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Funkyplot