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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Funktionsuntersuchung
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Funktionsuntersuchung: Ableitungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 08.01.2007
Autor: punix

Aufgabe
Folgende Funktion untersuchen:

[mm] f(x)=lnx-\bruch{1}{2}x^{2} [/mm]

[mm] x=\IR^{+} [/mm]

Sind diese Ableitungen richtig?

[mm]f'(x)=-x[/mm]

[mm]f''(x)=-1[/mm]

[mm]f'''(x)=0[/mm]

        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 08.01.2007
Autor: XPatrickX

Hallo,

du hast bei deinen Ableitungen gar nicht den Teil mit dem Logarithmus beachtet. Die Ableitung von f(x) = ln(x) lauter f'(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

Daher stimmen deine Ableitungen leider nicht. Die erste lautet:

f'(x) [mm] =\bruch{1}{x} [/mm] - x

Du kannst ja jetzt alleine noch einmal die anderen beiden Versuchen.
Gruß Patrick

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Funktionsuntersuchung: Hm?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Mo 08.01.2007
Autor: punix

Hmm... ich schätze das ganze macht man mit der Produktregel oder? Wenn ja dann habe ich folgendes raus:

Also die erste Ableitung kann man ja auch so schreiben: [mm] f'(x)=(x+1)^{-1}-x [/mm]

[mm]u=(x+1)^{-1}[/mm]
[mm]u'=-1[/mm]

[mm]v=-x[/mm]
[mm]v'=-1[/mm]

Dann:
[mm] f''(x)=\bruch{(-1)*(-1)+(x+1)^{-1}*(-1)}{(-x)^{2}} [/mm]

Zusammengefasst:
[mm] f''(x)=\bruch{-1+(x+1)^{-1}}{(-x)^{2}} [/mm]

Bezug
                        
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Funktionsuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mo 08.01.2007
Autor: XPatrickX


> Hmm... ich schätze das ganze macht man mit der Produktregel
> oder? Wenn ja dann habe ich folgendes raus:

Stopp, Produktregel benutzt man bei Produkten! Wo steht denn hier ein "mal-Zeichen"?

> Also die erste Ableitung kann man ja auch so schreiben:
> [mm]f'(x)=(x+1)^{-1}-x[/mm]

Nein, man kann sie so schreiben:  
[mm]f'(x)=x^{-1}-x[/mm]

So und dazwischen steht ein Minus und kein Mal. Wenn du [mm] 5x^3-2x^2 [/mm] hast leitest du auch [mm] 5x^3 [/mm] und [mm] -2x^2 [/mm] einzeln ab. --> [mm] 15x^2-4x. [/mm] Genauso musst du es bei deiner Aufgabe machen:

[mm]f'(x)=x^{-1}-x[/mm]

[mm] x^{-1} [/mm] wird zu [mm] -x^{-2} [/mm] und
-x wird zu -1

daher:

f''(x) = [mm] -x^{-2} [/mm] -1    oder wieder umgeschrieben:
f''(x) = [mm] -\bruch{1}{x^{2}} [/mm] - 1

Kommst du nun bei der dritten Ableitung weiter?

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Bezug
Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 08.01.2007
Autor: punix

Ich würde sagen dass die dritte Ableitung [mm]f'''(x)=x^{-3}[/mm] lautet, richtig?

Bezug
                                        
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Funktionsuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mo 08.01.2007
Autor: chrisno


> Ich würde sagen dass die dritte Ableitung [mm]f'''(x)=x^{-3}[/mm]
> lautet, richtig?

wieder daneben. Da kommt doch noch der Exponent als Vorfaktor beim Ableiten davor.

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Funktionsuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mo 08.01.2007
Autor: Aaron

$ [mm] f'''(x)=2x^{-3} [/mm] $

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Funktionsuntersuchung: Alles klar ;)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mo 08.01.2007
Autor: punix

Ah okay, stimmt. In der zweiten Ableitung hatte mich das ganze etwas verwirrt, da es dort ja 1 war ;) Dankeschön :)

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Funktionsuntersuchung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:40 Mo 08.01.2007
Autor: Aaron

Ich komm da auch oft durcheinander, wenn alle Regeln auf einmal im Kopf rumschwirren. :-)

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Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Mo 08.01.2007
Autor: punix

Kannst du mir vllt. einmal grundlegende Tipps zum Bilden von Ableitungen geben? z.B. wann ich welche Regel anwenden muss und und und...

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Funktionsuntersuchung: MatheBank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mo 08.01.2007
Autor: informix

Hallo punix und [willkommenmr],

> Kannst du mir vllt. einmal grundlegende Tipps zum Bilden
> von Ableitungen geben? z.B. wann ich welche Regel anwenden
> muss und und und...

[guckstduhier] MBAbleitungsregeln in unserer MBMatheBank

Gruß informix

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