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Hallo ich habe mal eine Frage.
Und zwar hatten wir in unserer VL die Bestimmung von Nullstellen und die Existenz von Extremwerten durchgenommen.
Nullstellen kann man bestimmen durch Intervallhalbierungsverfahren oder durch aus der Oberstufen bekannten Polynomdivision, p.q.- Formel, Substitution. Dies ist auch kein Problem für mich.
Aus der Oberstufe ist mir für die Bestimmung von Extremwerten folgende Regel bekannt:
f'(x)=0, f''(x)<0, es existiert Maximum und
f'(x)=0, f''(x)>0, es existiert Minimum
Hier wirds ein bischen Problematisch die aus der Oberstufe bekannten Regeln kann ich ja Problemlos anwenden. Allerdings wurde uns gesagt, dass das mit der Ableitung mit Vorsicht zu genießen ist. Warum ist das denn so? Mit welchen Regeln kann ich denn noch das Maximum und Minimum bestimmen?
Wenn ich also z.B. die Funktion
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Hallo domenigge!
Die Extrema, welche mit den von Dir genannten Methoden ermittelt werden, sind ja lediglich relative Extrema, bei denen auch jeweils horizontale Tangenten vorliegen.
Dazu können aber auch noch zusätzlich absolute Extrema an den Rändern des Definitionsbereiches vorliegen. Von daher müssen diese Ränder immer noch gesondert untersucht werden.
> Wenn ich also z.B. die Funktion
Ja ... ?? Welche Funktion? 
Gruß vom
Roadrunner
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Oh Sorry...
Also wenn ich z.B. die Funktion [mm] 2x^3+x^2-3x [/mm] habe, dann erhalte ich als Nullstellen, ich lass jetzt mal die ganze rechnerei, da das sonst zu lange dauert: [mm] x_1=0,x_2=-1,5,x_3=1 (x_1 [/mm] durch probieren, [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] durch ausklammern und anschließendem Anwenden der p.q.-Formel)
Sagen wir jetzt mal ich habe kein Intervall gegeben. Dann kann ich, wenn ich dich richtig verstehe die bekannten Regeln aus der Oberstufe anwenden. Ich hätte dann also Als Extremalstellen: [mm] f'(x)=6x^2+2x-3=0. [/mm] Ich erhalte [mm] x_1=-0,93, x_2=0,59 [/mm] (durch anwenden der p.q.- Formel). diese setze ich ein in f''(x)=12x+2. Ich erhalte für f''(-0,93)=-9,16<0 also Hochpunkt und für f''(0,59)=9,08>0 also Tiefpunkt. Setze ich diese Werte wieder in die Ausgangsfunktion ein, erhalte ich: H(-0,93/2,05) T(0,59/-1,01). Hoch- und Tiefpunkt sind gleichzeitig Supremum und Infimum. Lokale Extremwerte liegen nicht vor.
Wenn ich jetzt aber ein Intervall, also z.B. [-0,25,0,25] dann kann ich das nicht mehr anwenden, wenn ich das richtig verstehe, weil meine ebend berechneten Extremwerte ja außerhalb des Intervalls liegen.
Welche Regel kann ich aber nun anwenden und wie erkenne ich im Vorraus, ob meine relativen Extrema innerhalb oder außerhalb des Intervalls liegen. Ansonsten ist das ja lles umsonst.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Oh Sorry...
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> Also wenn ich z.B. die Funktion [mm]2x^3+x^2-3x[/mm] habe, dann
> erhalte ich als Nullstellen, ich lass jetzt mal die ganze
> rechnerei, da das sonst zu lange dauert:
> [mm]x_1=0,x_2=-1,5,x_3=1 (x_1[/mm] durch probieren, [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm]
> durch ausklammern und anschließendem Anwenden der
> p.q.-Formel)
>
> Sagen wir jetzt mal ich habe kein Intervall gegeben. Dann
> kann ich, wenn ich dich richtig verstehe die bekannten
> Regeln aus der Oberstufe anwenden. Ich hätte dann also Als
> Extremalstellen: [mm]f'(x)=6x^2+2x-3=0.[/mm] Ich erhalte [mm]x_1=-0,93, x_2=0,59[/mm]
> (durch anwenden der p.q.- Formel). diese setze ich ein in
> f''(x)=12x+2. Ich erhalte für f''(-0,93)=-9,16<0 also
> Hochpunkt und für f''(0,59)=9,08>0 also Tiefpunkt. Setze
> ich diese Werte wieder in die Ausgangsfunktion ein, erhalte
> ich: H(-0,93/2,05) T(0,59/-1,01). Hoch- und Tiefpunkt sind
> gleichzeitig Supremum und Infimum. Lokale Extremwerte
> liegen nicht vor.
Die Rechng sind richtig, die Folgerung falsch!
beides sind LOKALE Extremwerte, nicht Sup oder inf, da für x gegen [mm] \pm\infty [/mm] die fkt gegen [mm] \pm \infty [/mm] geht!
> Wenn ich jetzt aber ein Intervall, also z.B. [-0,25,0,25]
> dann kann ich das nicht mehr anwenden, wenn ich das richtig
> verstehe, weil meine ebend berechneten Extremwerte ja
> außerhalb des Intervalls liegen.
> Welche Regel kann ich aber nun anwenden und wie erkenne
> ich im Vorraus, ob meine relativen Extrema innerhalb oder
> außerhalb des Intervalls liegen. Ansonsten ist das ja lles
> umsonst.
Ohne dir rel. Extrema auszurechnen, kannst du nicht feststellen, ob sie in deinem Intervall liegen! es sei denn du zeigst etwa, dass die Fkt in dem Intervall überall steigt, oder fällt, dann liegen die Extremwerte auf dem Rand.
In deinem Fall etwa, nimm das Intervall (-10,+10) die lokalen Extrema liegen im Inneren, jetzt berechne die Werte am Rand, dann erst kannst du entscheiden, ob du Randextrema hast oder nicht.
Gruss leduart
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Gut okay dankeschön.
Das ist ja gerade mein Problem. Ich würde das so berechnen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -10}f(x)=-2870
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 10}f(x)=3070
[/mm]
Weiß aber nicht, ob das richtig ist so. Weiß halt leider nicht wie ich da jetzt in dem Fall rangehen kann.
Frage: Und das ist jetzt das eigentlich Problem also ich kann die Extremuntersuchung ganz normal wie in der Oberstufe anwenden. Wenn ich sehe sie liegen im Definitionsbereich, dann habe ich relative gefunden. Wenn ich sehe, dass sie außerhalb liegen, dann untersuche ich das Randverhalten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
da das ne brave fkt ist, musst du einfach nur f(-10) und f(+10) berechnen. Dann siehst du, dass das in dem gegebenen Intervall inf und sup sind. Wenn das Intervallabgeschlossen ist also auch max und min.
Im übrigen kannst du wirklich wie auf der Oberstufe vorgehen. Nur eben zur Untersuchung ob es rel. oder absolute Max und Min sind eben noch die 2 Randpunkte untersuchen.
Gruss leduart
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Also kann ich die Intervallgrenzen nur bei solchen Funktionen anwenden. Was meinst du denn mit einer brave Funktion? Noch nie gehört sowas!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry brav ist ein salopper Ausdruck, nicht mathematisch definiert, meint einfach hat lauter gewünschte Eigenschaften, wie steig, differenzierbar usw.
> Also kann ich die Intervallgrenzen nur bei solchen
> Funktionen anwenden.
Das versteh ich nicht! bitte zitier doch ,wenn du von "solchen" sprichst, ich weiss nicht auf was sich das bezieht. jede fkt kann man an ihren Intervallgrenzen ansehen.
Irgendwie bleibt die Diskussion hier an lauter Kleinigkeiten hängen. vielleicht stellst du man ne vollständige Aufgabe rein ,versuchst alles daran zu diskutieren, was ihr bisher gemacht habt, und wir korrigieren?
Gruss leduart
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Sorry. War eigentlich mehr ne feststellung als eine frage. Ich wollte damit halt nur klarstellen, dass wenn ich Intervallgrenzen habe, die dann halt zusätzlich zu meinen anderen Eigenschaften der Funktion zusätlich untersuchen muss. Also was weiß ich, könnte sein, dass eine Intervallgrenze z.B. Nullstelle ist oder Extremstelle usw.
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