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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Funktion f (x) = [mm] x^3-8x^2+x+42 [/mm] nach folgenen Kriterien :
(1) Definitionsbereich von f (x)
(2) Symetrie
(3) Randverhalten
(4) Nullstellen : f [mm] (x_N)
[/mm]
(5) 1,2,3 Ableitung
(6) Extremstellen
(7) Wendestellen |
Okay,
Die Aufgabe seht ihr ja.
Schreiben morgen die letzte und wichtigste Klausur dieses Halbjahres, hängt irgendwie alles davon ab deswegen muss ich noch ein wenig üben und habe mir diese Aufgabe hier ausgesucht.
Kommen nur gerade bei den Extrem/Wendestellen ganz komische Ergebnisse raus. Wäre also lieb wenn ihr das mal überprüfen könntet.
f (x) = [mm] x^3-8x^2+x+42 [/mm]
(1)
[mm] Df_m_a_x [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
(2)
f (-x) = [mm] (-x)^3 [/mm] - [mm] 8*(-x)^2 [/mm] + (-x) + 42
= [mm] -x^3 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] - x + 42
f (-x) [mm] \not= [/mm] f (x) , Also ist der Graph nicht symetrisch zur y-Achse.
- f(-x) = - [mm] (-x^3-8x^2-x+42)
[/mm]
= [mm] x^3 [/mm] + [mm] 8x^2 [/mm] +x + 42
- f(-x) [mm] \not= [/mm] f (x), Also ist der Graph nicht symetrisch zum Ursprung.
(3)
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] f (x) = [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} x^3 [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{8}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{42}{x^3} [/mm] )
[mm] \to [/mm] + [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] f (x) = [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} x^3 [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{8}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{42}{x^3} [/mm] )
[mm] \to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Also, der Graph (oder die Kurve) kommt von links unten (aus dem 3. Quadranten) und geht recht oben (im 1. Quadranten) nach oben raus.
(4)
f [mm] (x_N) [/mm] = 0
Hier habe ich zuerst mithilfe der Polynomdivision f (x) mit dem Linearfaktor (x-3) dividiert.
Darauf kam der Therm x² - 5x -14
Also eine 0-Stelle hatte ich schon durch die Polynomdivision :
[mm] x_N_1 [/mm] : 3
Danach habe ich mit der p/q-Formel weitergemacht :
x² - 5x -14 = 0
[mm] x_N_2_,_N_3 [/mm] : 2,5 [mm] \pm \wurzel{(-2,5)^2+14}
[/mm]
[mm] x_N_2_,_N_3 [/mm] : 2,5 [mm] \pm [/mm] 4,5
[mm] x_N_2 [/mm] : 7
[mm] x_N_3 [/mm] : -2
(5)
f'(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - 16x + 1
f''(x) = 6x - 16
f'''(x) = 6
(6)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
[mm] 3x_E^2 [/mm] - [mm] 16x_E [/mm] + 1 = 0 | :3
[mm] x_E^2 [/mm] - [mm] \bruch{16}{3}x_E [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = 0
[mm] x_E_1_,_E_2 [/mm] : [mm] \bruch{8}{3} \pm \wurzel{(-\bruch{8}{3})^2-\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] x_E_1_,_E_2 [/mm] : [mm] \bruch{8}{3} \pm \bruch{61}{9}
[/mm]
[mm] x_E_1 [/mm] : [mm] \bruch{85}{9}
[/mm]
[mm] x_E_2 [/mm] : [mm] \bruch{-37}{9}
[/mm]
Um nun festzustellen ob es sich wirklich um Extrempunkte handelt setzte ich [mm] x_E_1 [/mm] bzw. [mm] x_E_2 [/mm] in f''(x) ein.
[mm] f''(x_E_1) [/mm] = [mm] \bruch{122}{3} \not= [/mm] 0
Da das Ergebnis >0 ist handelt es sich um eine Tiefpunktstelle .
[mm] f''(x_E_2) [/mm] = [mm] \bruch{-122}{3} \not= [/mm] 0
Da das Ergebnis <0 ist handelt es sich um eine Hochpunktstelle .
Es gibt einen Hochpunkt an den Koordinaten : [mm] (\bruch{-37}{9}|\bruch{-121600}{729})
[/mm]
Es gibt einen Tiefpunkt an den Koordinaten : [mm] (\bruch{85}{9}|\bruch{131828}{729})
[/mm]
Wäre das so richtig? Die Brüche sind so komisch... Ich HASSE Brüche *lol*
(7)
[mm] f''(x_W) [/mm] = 0
[mm] 6x_W [/mm] - 16 = 0 | + 16
[mm] 6x_W [/mm] = 16 | : 6
[mm] x_W_1 [/mm] = [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
Nun setze ich in f'''(x) die [mm] x_W_1 [/mm] ein um festzustellen ob es sich um einen Wendepunkt handelt :
[mm] f'''(x_W_1) [/mm] = 6 [mm] \not= [/mm] 0
Also ist es ein Wendepunkt.
Nun Prüfe ich ob der Wendepunkt auch gleichzeitig ein Sattelpunkt ist indem ich [mm] x_W_1 [/mm] in f'(x) einsetze :
[mm] f'(x_W_1) [/mm] = [mm] \bruch{-61}{3}
[/mm]
Da das Ergebnis daraus nicht 0 Ergibt ist es keine zusätzliche Sattelstelle.
Also gibt es an einen Wendepunkt an der Koordinaten : [mm] (\bruch{8}{3}|\bruch{182}{27})
[/mm]
Ist die Funktionsuntersuchung so richtig?
Vorallem das mit den Punkten ist wichtig für mich, bin mir da nämlich völlig unsicher.
Zum Schluß habe ich noch ein paar allgemeine Fragen :
Was ist der Unterschied zwischen einem Sattel- und einem Wendepunkt?
Was ist ein Wende/Sattelpunkt?
Ist eine Kurvendiskussion/Untersuchung das gleiche wie eine Funktionsuntersuchung/analyse?
Wäre super wenn ich mir nochmal helfen könntet,
und morgen 1/2 Stunde ganz doll die Daumen drücken könntet.
MfG,
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 08.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo, Kristof
> Untersuchen sie die Funktion f (x) = [mm]x^3-8x^2+x+42[/mm] nach
> folgenen Kriterien :
> (1) Definitionsbereich von f (x)
> (2) Symetrie
> (3) Randverhalten
> (4) Nullstellen : f [mm](x_N)[/mm]
> (5) 1,2,3 Ableitung
> (6) Extremstellen
> (7) Wendestellen
> Okay,
> Die Aufgabe seht ihr ja.
> Schreiben morgen die letzte und wichtigste Klausur dieses
> Halbjahres, hängt irgendwie alles davon ab deswegen muss
> ich noch ein wenig üben und habe mir diese Aufgabe hier
> ausgesucht.
> Kommen nur gerade bei den Extrem/Wendestellen ganz komische
> Ergebnisse raus. Wäre also lieb wenn ihr das mal überprüfen
> könntet.
>
> f (x) = [mm]x^3-8x^2+x+42[/mm]
>
> (1)
> [mm]Df_m_a_x[/mm] = [mm]\IR[/mm]
Korrekt
>
> (2)
> f (-x) = [mm](-x)^3[/mm] - [mm]8*(-x)^2[/mm] + (-x) + 42
> = [mm]-x^3[/mm] - [mm]8x^2[/mm] - x + 42
> f (-x) [mm]\not=[/mm] f (x) , Also ist der Graph nicht symetrisch
> zur y-Achse.
Auch korrekt
>
> - f(-x) = - [mm](-x^3-8x^2-x+42)[/mm]
> = [mm]x^3[/mm] + [mm]8x^2[/mm] +x + 42
>
> - f(-x) [mm]\not=[/mm] f (x), Also ist der Graph nicht symetrisch
> zum Ursprung.
Auch korrekt. Als Faustregel für Symmetrie: Hat die Funktion nur ungerade Exponenten, ist sie Summetrisch zum Ursprung, hat sie nur gerade Exponenten, ist sie Achsensymmetrisch. (Achtung: x³ + 3 hat nicht nur ungerade Exponenten, denn 3 = 3 [mm] x^{0} [/mm] und null ist GERADE)!!!)
>
> (3)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty}[/mm] f (x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow +\infty} x^3[/mm] ( 1 - [mm]\bruch{8}{x}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] + [mm]\bruch{42}{x^3}[/mm] )
>
> [mm]\to[/mm] + [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}[/mm] f (x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} x^3[/mm] ( 1 - [mm]\bruch{8}{x}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] + [mm]\bruch{42}{x^3}[/mm] )
>
> [mm]\to[/mm] - [mm]\infty[/mm]
>
> Also, der Graph (oder die Kurve) kommt von links unten (aus
> dem 3. Quadranten) und geht recht oben (im 1. Quadranten)
> nach oben raus.
Korrekt
>
> (4)
>
> f [mm](x_N)[/mm] = 0
> Hier habe ich zuerst mithilfe der Polynomdivision f (x)
> mit dem Linearfaktor (x-3) dividiert.
> Darauf kam der Therm x² - 5x -14
> Also eine 0-Stelle hatte ich schon durch die
> Polynomdivision :
> [mm]x_N_1[/mm] : 3
>
> Danach habe ich mit der p/q-Formel weitergemacht :
>
> x² - 5x -14 = 0
> [mm]x_N_2_,_N_3[/mm] : 2,5 [mm]\pm \wurzel{(-2,5)^2+14}[/mm]
> [mm]x_N_2_,_N_3[/mm] :
> 2,5 [mm]\pm[/mm] 4,5
>
> [mm]x_N_2[/mm] : 7
> [mm]x_N_3[/mm] : -2
Korrekt.
>
> (5)
> f'(x) = [mm]3x^2[/mm] - 16x + 1
> f''(x) = 6x - 16
> f'''(x) = 6
Korrekt
>
> (6)
> [mm]f'(x_E)[/mm] = 0
> [mm]3x_E^2[/mm] - [mm]16x_E[/mm] + 1 = 0 | :3
> [mm]x_E^2[/mm] - [mm]\bruch{16}{3}x_E[/mm] + [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = 0
>
> [mm]x_E_1_,_E_2[/mm] : [mm]\bruch{8}{3} \pm \wurzel{(-\bruch{8}{3})^2-\bruch{1}{3}}[/mm]
> [mm]x_E_1_,_E_2[/mm] : [mm]\bruch{8}{3} \pm \bruch{61}{9}[/mm]
> [mm]x_E_1[/mm] :
> [mm]\bruch{85}{9}[/mm]
> [mm]x_E_2[/mm] : [mm]\bruch{-37}{9}[/mm]
>
Korrekt
> Um nun festzustellen ob es sich wirklich um Extrempunkte
> handelt setzte ich [mm]x_E_1[/mm] bzw. [mm]x_E_2[/mm] in f''(x) ein.
>
> [mm]f''(x_E_1)[/mm] = [mm]\bruch{122}{3} \not=[/mm] 0
> Da das Ergebnis >0 ist handelt es sich um eine
> Tiefpunktstelle .
> [mm]f''(x_E_2)[/mm] = [mm]\bruch{-122}{3} \not=[/mm] 0
> Da das Ergebnis <0 ist handelt es sich um eine
> Hochpunktstelle .
>
> Es gibt einen Hochpunkt an den Koordinaten :
> [mm](\bruch{-37}{9}|\bruch{-121600}{729})[/mm]
>
> Es gibt einen Tiefpunkt an den Koordinaten :
> [mm](\bruch{85}{9}|\bruch{131828}{729})[/mm]
>
> Wäre das so richtig? Die Brüche sind so komisch... Ich
> HASSE Brüche *lol*
Alles korrekt, mit "komischen" Brüchen wirst du leben müssen 
>
> (7)
> [mm]f''(x_W)[/mm] = 0
> [mm]6x_W[/mm] - 16 = 0 | + 16
> [mm]6x_W[/mm] = 16 | : 6
> [mm]x_W_1[/mm] = [mm]\bruch{8}{3}[/mm]
>
> Nun setze ich in f'''(x) die [mm]x_W_1[/mm] ein um festzustellen ob
> es sich um einen Wendepunkt handelt :
>
> [mm]f'''(x_W_1)[/mm] = 6 [mm]\not=[/mm] 0
> Also ist es ein Wendepunkt.
Korrekt
>
> Nun Prüfe ich ob der Wendepunkt auch gleichzeitig ein
> Sattelpunkt ist indem ich [mm]x_W_1[/mm] in f'(x) einsetze :
>
> [mm]f'(x_W_1)[/mm] = [mm]\bruch{-61}{3}[/mm]
>
> Da das Ergebnis daraus nicht 0 Ergibt ist es keine
> zusätzliche Sattelstelle.
Korrekt
>
> Also gibt es an einen Wendepunkt an der Koordinaten :
> [mm](\bruch{8}{3}|\bruch{182}{27})[/mm]
>
> Ist die Funktionsuntersuchung so richtig?
> Vorallem das mit den Punkten ist wichtig für mich, bin mir
> da nämlich völlig unsicher.
Korrekt
> Zum Schluß habe ich noch ein paar allgemeine Fragen :
> Was ist der Unterschied zwischen einem Sattel- und einem
> Wendepunkt?
> Was ist ein Wende/Sattelpunkt?
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem die Steigung am steilsten ist (du suchst ja quasi den Extrempunkt der Ableitung (Die ja die "Steigungsfunktion" ist)
Ein Sattelpunkt s ist ein Punkt, an dem die Steigung Null ist (f'(s) = 0), aber kein Hoch/bzw Tiefpunkt ist (f''(s) = 0) . Graphisch gesehen, sieht das ganze dann aus, wie ein Sattel, deswegen der Name.
> Ist eine Kurvendiskussion/Untersuchung das gleiche wie eine
> Funktionsuntersuchung/analyse?
Yep
>
> Wäre super wenn ich mir nochmal helfen könntet,
> und morgen 1/2 Stunde ganz doll die Daumen drücken
> könntet.
>
> MfG,
> Kristof
Ich hoffe, das hilft ein wenig
Marius
P.S.: Viel Erfolg
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