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Funktionsvorschrift ermitteln: Tipp?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Mo 29.01.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
Untersuchen Sie auf Konvergenz:
1 + [mm] \bruch{1*2}{1*3} [/mm] + [mm] \bruch{1*2*3}{1*3*5} [/mm] + ...

Hallo,
meine eigentliche Frage ist jetzt:
Gibt es einen Trick wie ich einfacher auf die Funktionsvorschrift kommen kann?
Ich hab schon viel rumprobiert, aber nie komme ich auf die Funktionsvorschrift, welche ich doch zum untersuchen auf Konvergenz benötige!?
Ich bin relativ sicher das es sich hierbei um eine Reihe handelt!?
Für Denkanstöße wär ich überaus dankbar.
Lieben Gruß

        
Bezug
Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Mo 29.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Untersuchen Sie auf Konvergenz:
> 1 + [mm]\bruch{1*2}{1*3}[/mm] + [mm]\bruch{1*2*3}{1*3*5}[/mm] + ...
> Hallo,
> meine eigentliche Frage ist jetzt:
> Gibt es einen Trick wie ich einfacher auf die
> Funktionsvorschrift kommen kann?
> Ich hab schon viel rumprobiert, aber nie komme ich auf die
> Funktionsvorschrift, welche ich doch zum untersuchen auf
> Konvergenz benötige!?

Was du meinst ist ein geschlossener Term für das allgemeine Reihenglied dieser offensichtlich unendlichen Reihe.

> Ich bin relativ sicher das es sich hierbei um eine Reihe
> handelt!?
> Für Denkanstöße wär ich überaus dankbar.

Nun, wenn wir die Nummerierung bei n=1 beginnen, dann steht im Zähler des n. Summanden gerade die Zahl n!

Jetzt musst du dir überlegen, ob man für den Nenner eine ähnliche Überlegung anstellen kann. Da steht immerhin das Produkt aller ungeraden Zahlen bis (2n-1). Wenn man die noch um die geraden Faktoren bis 2n ergänzen würde, wäre es die Zahl (2n)!. Also brauchst du noch etwas, um diese geraden Faktoren herauszudividieren und da helfen dir Zweierpotenzen weiter...

EDIT: es gibt eine weitere Antwort von fred97. Er verzichtet auf eine geschlossene Darstellung und bringt das ganze gleich in die richtige Form für ein naheliegendes Konvergenzkriterium. Da die Aufgabe ja darin besteht, die Reihe auf Konvergenz zu untersuchen, ist also FRED's Antwort die geeignetere.


Gruß, Diophant

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Bezug
Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mo 29.01.2018
Autor: fred97


> Untersuchen Sie auf Konvergenz:
>  1 + [mm]\bruch{1*2}{1*3}[/mm] + [mm]\bruch{1*2*3}{1*3*5}[/mm] + ...
>  Hallo,
>  meine eigentliche Frage ist jetzt:
> Gibt es einen Trick wie ich einfacher auf die
> Funktionsvorschrift kommen kann?
>  Ich hab schon viel rumprobiert, aber nie komme ich auf die
> Funktionsvorschrift, welche ich doch zum untersuchen auf
> Konvergenz benötige!?
>  Ich bin relativ sicher das es sich hierbei um eine Reihe
> handelt!?
>  Für Denkanstöße wär ich überaus dankbar.
>  Lieben Gruß


Es handelt sich um die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] mit

[mm] $a_n= \frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-1)}$. [/mm] Zeige nun ( kürze ausgiebig !)

$  [mm] \frac{ a_{n+1}}{a_n}= \frac{n+1}{2n+1}$. [/mm] Jetzt: Quotientenkriterium.



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Funktionsvorschrift ermitteln: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mo 29.01.2018
Autor: LeFlair


> [mm]a_n= \frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-1)}[/mm]. Zeige nun
> ( kürze ausgiebig !)

was genau wurde hier gemacht?
[mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*2*1}{1*3*5*...*(2n-1)} [/mm]
soweit mein Ansatz, nur komm ich mit dem kürzen nicht weiter. Alles was ich "ausprobiere" führt ins leere.

Bezug
                        
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Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mo 29.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > [mm]a_n= \frac{n!}{1 \cdot 3 \cdot ... \cdot (2n-1)}[/mm]. Zeige nun
> > ( kürze ausgiebig !)
> was genau wurde hier gemacht?
> [mm]\bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*2*1}{1*3*5*...*(2n-1)}[/mm]
> soweit mein Ansatz, nur komm ich mit dem kürzen nicht
> weiter. Alles was ich "ausprobiere" führt ins leere.

Bilde zuerst den Quotienten

[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{ \frac{(n+1)!}{1*3* \ldots*(2n+1)}}{ \frac{n!}{1*3* \ldots*(2n-1)}}[/mm]

und kürze anschließend.


Gruß, Diophant

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Funktionsvorschrift ermitteln: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Mo 29.01.2018
Autor: LeFlair

soweit bin ich gekommen
[mm] \bruch{(n+1)*(2n-1)}{(2n+1)} [/mm]
danach hab ich 2 Wege verfolgt, die beide aber nicht wirklich zielführend zu sein scheinen:
1. [mm] \Rightarrow \bruch{2n^{2}-n+2n-1}{2n+1} \Rightarrow \bruch{3n-1}{1} [/mm]
2. [mm] \Rightarrow \bruch{n+1}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2n-1}{2n+1} [/mm]
irgendwas hab ich wahrscheinlich wieder übersehen..

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Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mo 29.01.2018
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{ \frac{(n+1)!}{1\cdot{}3\cdot{} \ldots\cdot{}(2n+1)}}{ \frac{n!}{1\cdot{}3\cdot{} \ldots\cdot{}(2n-1)}}=\bruch{(n+1)!}{1*3*...*(2n+1)}*\bruch{1*3*...*(2n-1)}{n!}=\bruch{n!*(n+1)}{1*3*...(2n-1)*(2n+1)}*\bruch{1*3*...*(2n-1)}{n!} [/mm]

nun ist Kürzen angesagt

Steffi

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Funktionsvorschrift ermitteln: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Mo 29.01.2018
Autor: LeFlair

Ich kürze doch die 1*3*... weg, dann kann ich die Fakultät bei (n+1) durch das n! wegkürzen.
Wo holst du denn hier
[mm] \bruch{n!\cdot{}(n+1)}{1\cdot{}3\cdot{}...(2n-1)\cdot{}(2n+1)} [/mm]
die 2n-1 weg die im Nenner steht?



Bezug
                                                        
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Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mo 29.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Wo holst du denn hier

>

> [mm]\bruch{n!\cdot{}(n+1)}{1\cdot{}3\cdot{}...(2n-1)\cdot{}(2n+1)}[/mm]
> die 2n-1 weg die im Nenner steht?

die muss man nirgends abholen: sie sind schon da!

In dem Produkt

1*3*...*(2n+1)

stecken alle ungeraden Zahlen von 1 bis (2n+1) drin. Ob man sie hinschreibt oder nicht, spielt keine Rolle. Es ist eine Konvention, dass man bei solchen Termen die beiden ersten Glieder hinschreibt, damit die Gesetzmäßigkeit ihrer Bildung klar wird, und ggf. das letzte.

Also ist natürlich

1*3*...*(2n+1)=1*3*...*(2n-1)*(2n+1)

steffi21 hat dir mit dieser Schreibweise die zu kürzenden Faktoren auf dem Silbertablett serviert!


Gruß, Diophant
 

Bezug
                                                                
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Funktionsvorschrift ermitteln: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Mo 29.01.2018
Autor: LeFlair

Erstmal dankeschön, das ihr euch die Zeit genommen habt. Ich geh jetzt erstmal ne stunde Raus um mein Kopf wieder frei zu bekommen.
...=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n+1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} [/mm] * 1 = 0,5 < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] somit konvergiert die Reihe.
Lieg ich damit richtig?

Lieben Gruß

Bezug
                                                                        
Bezug
Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mo 29.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Erstmal dankeschön, das ihr euch die Zeit genommen habt.
> Ich geh jetzt erstmal ne stunde Raus um mein Kopf wieder
> frei zu bekommen.

Das ist immer eine gute Idee. :-)
>

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{n+1}{n+1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}[/mm] * 1 =
> 0,5 < 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] somit konvergiert die Reihe.
> Lieg ich damit richtig?

Das sind jetzt vermutlich Tippfehler. Es ist

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n+1}{2n+1}= \frac{1}{2}<1[/mm]

und die Reihe damit konvergent.

Ihr Grenzwert ist übrigens

[mm] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2*2^n}{(2n)!}= \frac{2+\pi}{2} [/mm]

Aber das ist dann nochmal eine andere Baustelle.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                        
Bezug
Funktionsvorschrift ermitteln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Mo 29.01.2018
Autor: Steffi21

Hallo, nehme ich als Beispiel das Produkt
1*3*5*7*9*11*13*15*17
also alles ungerade Zahlen
Kurzschreibweise
1*3*...*17
für n=8 bekommst Du mit der Vorschrift (2n+1) die Zahl 17
für n=8 bekommst Du mit der Vorschrift (2n-1) die Zahl 15
so kann man schreiben 1*3*....*15*17
analog zum Nenner
1*3*...*(2n+1)
1*3*...*(2n-1)*(2n+1)
Steffi

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