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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mo 02.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zur Exponentialfunktion im Negativen. Und zwar steht in meinem Skript, dass für negative x-Werte folgendes gilt:
exp(x) = [mm] \bruch{1}{exp(- x)}
[/mm]
Ich kann aber leider nicht nachvollziehen, wie man darau kommt. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben? Wäre sehr dankbar dafür.
Lieben Gruß,
Yonca
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> exp(x) = [mm]\bruch{1}{exp(- x)}[/mm]
die Gleichung gilt Immer! nicht nur für [mm] e^x
[/mm]
etwa [mm] x^2=1/x^{-2} [/mm] das ist einfach die Definition des negativen Exponenten.
was du vielleicht meinst ist, dass wenn man [mm] e^x [/mm] an der y-achse spiegelt, erhält man [mm] e^{-x}=$\bruch{1}{exp(x)}$
[/mm]
oder der verlauf von [mm] e^x [/mm] im negativen ist der gespiegelte von [mm] e^{-x} [/mm] im positiven.
gruss leduart
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> Hallo
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> > exp(x) = [mm]\bruch{1}{exp(- x)}[/mm]
>
> die Gleichung gilt Immer! nicht nur für [mm]e^x[/mm]
> etwa [mm]x^2=^/x^{-2}[/mm]
Du meintest wohl: [mm]x^2\ =\ \frac{1}{x^{-2}}[/mm]
> das ist einfach die Definition des negativen Exponenten.
> gruss leduart
Ich sehe da ein Missverstehens-Potential: was meinst du mit
"die Gleichung gilt immer" ??
Die Schreibweise $\ exp(x)$ an der Stelle von [mm] e^x [/mm] könnte
einen dazu verleiten, nach dem gleichen "Rezept" auch
etwa zu folgern, dass
$\ sin(x)\ =\ [mm] \frac{1}{sin(-x)}$
[/mm]
$\ abs(x)\ =\ [mm] \frac{1}{abs(-x)}$
[/mm]
und ähnlichen Unsinn ...
LG Al-Chw.
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> Hallo,
>
> ich habe mal eine Frage zur Exponentialfunktion im
> Negativen. Und zwar steht in meinem Skript, dass für
> negative x-Werte folgendes gilt:
>
> exp(x) = [mm]\bruch{1}{exp(- x)}[/mm]
>
> Ich kann aber leider nicht nachvollziehen, wie man darau
> kommt. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben? Wäre
> sehr dankbar dafür.
>
> Lieben Gruß,
> Yonca
Hallo Yonca,
schreiben wir es doch in der üblichen Weise mittels
Potenzen:
[mm] $e^x\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{e^{-x}}$
[/mm]
Schreibe dies als Produktgleichung:
[mm] $e^x\,*\,e^{-x}\ [/mm] =\ 1$
und zeige dies durch Anwendung eines Rechenge-
setzes für Potenzen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 02.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo Al-Chw,
vielen Dank schon einmal für die Antworten.
So wie du die Umformung beschrieben hast,
>
> schreiben wir es doch in der üblichen Weise mittels
> Potenzen:
>
> [mm]e^x\ =\ \frac{1}{e^{-x}}[/mm]
>
> Schreibe dies als Produktgleichung:
>
> [mm]e^x\,*\,e^{-x}\ =\ 1[/mm]
>
> und zeige dies durch Anwendung eines Rechenge-
> setzes für Potenzen !
>
> LG Al-Chw.
kann ich es ja nachvollziehen. Ich frage mich aber irgendwie, wenn man nur von der Definition der Exponentialfunktion als unendliche Reihe ausgeht, ob man dann die Gleichung
exp (x) = [mm] \bruch{1}{exp(-x)}
[/mm]
auch irgendwie herleiten kann.
Lieben Gruß, Y!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, multiplizier einfach die 2 Reihen (für x und -x) miteinander!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 02.05.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
> Hallo
> ja, multiplizier einfach die 2 Reihen (für x und -x)
> miteinander!
> gruss leduart
>
leider bekomme ich das nicht hin. Muss ich das Cauchyprodukt bilden. Wenn ja wie sieht das konkret aus. Ich weiß nicht wie ich dabei auf einen Wert von 1 kommen soll?
Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit Reihen zu multiplizieren?
Gruß, yonca!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie man ein Cauchyprodukt ausrechnet steht an vielen Stellen . Wenn du aber die ersten 4 oder 5 glieder der reihe ausmultipl. siehst du wenigstens was sich da schon alles weghebt und kannst überlegen, wie es weiter geht.
du kannst aber auch die Taylorrreine für [mm] x_0=0 [/mm] für [mm] 1/e^{-x} [/mm] ausrechnen.
entweser für die 1/Reihe oder weil du weisst dass (exp(x)'=exp(x) und die Kettenregel kennst
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Di 03.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Machen wirs allgemeiner:
Seien x,y \in \IR:
$ e^x*e^y= (\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!})*(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^n}{n!})= \summe_{n=0}^{\infty}c_n$,
wobei (Cauchyprodukt !)
$ c_n= \summe_{k=0}^{n}}\bruch{x^k}{k!}*}\bruch{y^{n-k}}{(n-k)!}= \bruch{1}{n!} \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\ k}x^k*y^{n-k}= \bruch{(x+y)^n}{n!}$
Damit folgt:
e^x*e^y=e^{x+y}
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Mi 04.05.2011 | | Autor: | yonca |
Vielen Dank erstmal,
glaube habs jetzt erstmal soweit verstanden!
Gruß, Yonca
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