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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Do 06.07.2006 | | Autor: | mitchum |
| Aufgabe | | In einer Urne befinden sich 12 äußerlich gleiche Kugeln. Jede Kugel enthält einen Zettel mit dem Namen von insgesamt 12 Mannschaften. Eine Person zieht auf Glück 2 Kugeln. Die 2 gezogenen Mannschaften müssen gegeneinander antreten. Dies wird 6 mal wiederholt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Mannschaft A nicht Gegner von Mannschaft B sein.
Meine bisherige Lösung:
Ereignis A = "Mannschaft A spielt nicht gegen B"
Ich gehe davon aus beim ersten Zug A zu ziehen und deswegen :
$ P(A) = [mm] \bruch{10}{11} [/mm] $
Danke für Hilfe!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:28 Do 06.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> In einer Urne befinden sich 12 äußerlich gleiche Kugeln.
> Jede Kugel enthält einen Zettel mit dem Namen von insgesamt
> 12 Mannschaften. Eine Person zieht auf Glück 2 Kugeln. Die
> 2 gezogenen Mannschaften müssen gegeneinander antreten.
> Dies wird 6 mal wiederholt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Mannschaft A nicht
> Gegner von Mannschaft B sein.
> Meine bisherige Lösung:
> Ereignis A = "Mannschaft A spielt nicht gegen B"
> Ich gehe davon aus beim ersten Zug A zu ziehen und
> deswegen :
> [mm]P(A) = \bruch{10}{11}[/mm]
> Danke für Hilfe!
Ich glaube, so kannst du es nicht machen, bin mir aber bei meiner Lösung auch nicht so ganz sicher (ist schon wieder mal was spät heute abend...  ).
Ich würde sagen, die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht gegen B spielt, ist doch die Gegenwahrscheinlichkeit davon, dass A gegen B spielt. Also berechnen wir doch diese. Und die berechnet sich doch aus der Anzahl der "positiven" Möglichkeiten durch die Anzahl aller Möglichkeiten. Nun gibt es meiner Meinung nach genau eine Möglichkeit, dass A gegen B spielt, nämlich genau die, dass A gegen B spielt. Und insgesamt gibt es doch [mm] \vektor{12\\2} [/mm] Möglichkeiten, oder? Wäre dann demnach eine Wahrscheinlichkeit von [mm] \bruch{1}{\vektor{12\\2}} [/mm] und die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann [mm] 1-\bruch{1}{\vektor{12\\2}}.
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Do 06.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo!
>
> > In einer Urne befinden sich 12 äußerlich gleiche Kugeln.
> > Jede Kugel enthält einen Zettel mit dem Namen von insgesamt
> > 12 Mannschaften. Eine Person zieht auf Glück 2 Kugeln. Die
> > 2 gezogenen Mannschaften müssen gegeneinander antreten.
> > Dies wird 6 mal wiederholt.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird Mannschaft A nicht
> > Gegner von Mannschaft B sein.
> > Meine bisherige Lösung:
> > Ereignis A = "Mannschaft A spielt nicht gegen B"
> > Ich gehe davon aus beim ersten Zug A zu ziehen und
> > deswegen :
> > [mm]P(A) = \bruch{10}{11}[/mm]
> > Danke für Hilfe!
>
> Ich glaube, so kannst du es nicht machen, bin mir aber bei
> meiner Lösung auch nicht so ganz sicher (ist schon wieder
> mal was spät heute abend... ).
> Ich würde sagen, die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht
> gegen B spielt, ist doch die Gegenwahrscheinlichkeit davon,
> dass A gegen B spielt. Also berechnen wir doch diese. Und
> die berechnet sich doch aus der Anzahl der "positiven"
> Möglichkeiten durch die Anzahl aller Möglichkeiten. Nun
> gibt es meiner Meinung nach genau eine Möglichkeit, dass A
> gegen B spielt, nämlich genau die, dass A gegen B spielt.
> Und insgesamt gibt es doch [mm]\vektor{12\\2}[/mm] Möglichkeiten,
> oder? Wäre dann demnach eine Wahrscheinlichkeit von
> [mm]\bruch{1}{\vektor{12\\2}}[/mm] und die gesuchte
> Wahrscheinlichkeit ist dann [mm]1-\bruch{1}{\vektor{12\\2}}.[/mm]
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
>
Hi,
Ich bin mit ziemlich sicher, dass die Lösung korrekt ist, ich hätte es jedenfalls genauso versucht.
Marius
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Hallo Bastiane,
Die von Dir berechnete Wkt. ist die das im ersten Zug A,B gezogen wird. Sie könnten aber auch im 2. Zug gezogen werden. Wenn das Verfahren den Gegner für Mannschaft A zufällig(gleichverteilt) aus 11 anderen Mannschaften auswählt sollte die Wkt. dafür das A gegen B spielt [mm] \bruch{1}{11} [/mm] sein.
viele grüße
mathemaduenn
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Hallo mitchum,
du hast Recht. Bei deinem Ziehungsverfahren bekommt jede Mannschaft einen Gegner zugewiesen. Dabei ist es unerheblich, ob das
für Mannschaft A bereits in der ersten Paarung stattfindet oder später.
Für Mannschft A ist es gleich wahrscheinlich mit Mannschaft B, C, D
L zusammenzutreffen, also 1/11.
Wenn du allerdings anfängst mit:
"Ich gehe davon aus beim ersten Zug A zu ziehen und deswegen
"
betrittst du dünnes Eis.
Dann müsstest du vielleicht wirklich einen Entscheidungsbaum aufbauen.
[mm]
\begin{cases}
\frac16 & \mbox{für A in Paarung 1} \begin{cases}
\blue{\frac16*\frac{1}{11}} & \mbox{für B in Paarung 1}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 2}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 3}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 4}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 5}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 6}\\
\end{cases}
\\
\frac16 & \mbox{für A in Paarung 2} \begin{cases}
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 1}\\
\blue{\frac16*\frac{1}{11}} & \mbox{für B in Paarung 2}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 3}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 4}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 5}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 6}\\
\end{cases}
\\
\frac16 & \mbox{für A in Paarung 3} \begin{cases}
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 1}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 2}\\
\blue{\frac16*\frac{1}{11}} & \mbox{für B in Paarung 3}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 4}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 5}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 6}\\
\end{cases}
\\
\frac16 & \mbox{für A in Paarung 4} \begin{cases}
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 1}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 2}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 3}\\
\blue{\frac16*\frac{1}{11}} & \mbox{für B in Paarung 4}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 5}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 6}\\
\end{cases}
\\
\frac16 & \mbox{für A in Paarung 5} \begin{cases}
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 1}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 2}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 3}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 4}\\
\frac16*\frac{1}{11} & \mbox{für B in Paarung 5}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 6}\\
\end{cases}
\\
\frac16 & \mbox{für A in Paarung 6} \begin{cases}
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 1}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 2}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 3}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 4}\\
\frac16*\frac{2}{11} & \mbox{für B in Paarung 5}\\
\blue{\frac16*\frac{1}{11}} & \mbox{für B in Paarung 6}\\
\end{cases}
\end{cases}
[/mm]
Addiere die Werte für die günstigen Fälle.
Dabei kommt aber auch [mm] $\frac{10}{11}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1}{11}$ [/mm] heraus.
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Do 06.07.2006 | | Autor: | mitchum |
Ich bin mir nicht wirklich sicher in dieser Herangehensweise. Gibt es noch andere Lösungen wo man wirklich jeden Zug mit einberechnet.
Gruß mitchum
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> Wieso verwendest du für Mannschaft A immer die Wahrscheinlichkeit $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] $
> Meiner Meinung nach ist das doch ein Ziehen ohne zurücklegen
> und damit steigt doch die Wahrscheinlichkeit jedesmal wenn
> 2 Kugeln weniger drinn sind.
Hallo mitchum,
nimm an, du ziehst deine Paarungen eine nach der anderen, öffnest sie aber nicht, sondern legst sie auf 6 nummerierte Tellerchen.
Da alle Kugeln zum Schluss die Urne verlassen haben und auf irgendwelchen Tellern liegen (und auf jedem Teller liegen genau 2), heißt die Antwort: Aus Symmetriegründen.
Es gibt für keine Kugel irgendeinen Anlass, irgendeinen Teller zu bevorzugen.
Gruß Karthagoras
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 07.07.2006 | | Autor: | mitchum |
Danke für die anschaulichen Erklärungen.
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Hallo mitchum,
> Ich bin mir nicht wirklich sicher in dieser
> Herangehensweise. Gibt es noch andere Lösungen wo man
> wirklich jeden Zug mit einberechnet.
Sicher.
Für jeden Zug gibt es 3 Möglichkeiten:
(1) A und B wird gezogen
(2) weder A noch B wird gezogen
(3) entweder A oder B wird gezogen
Die Wkt. für (1) kannst Du Bastianes Artikel entnehmen. Die Wkt. für (2) kannst Du auch ähnlich aus günstige durch mögliche Ereignisse bestimmen.
Jetzt kann man die Einzelnen Züge betrachten und anschließend die Wahrscheinlichkeiten addieren:
1. Zug
P(Zug1)=P(A und B wird gezogen)
2.Zug:
Wenn beim 1. Zug (1) oder (3) eingetreten ist so ist die Wkt. 0 dafür das A gegen B spielt also interessiert nur (2) und es ergibt sich
P(Zug2)=P(weder A noch B wird im ersten Zug gezogen)*P(A und B wird im 2. Zug gezogen)
Beachten sollte man das die Anzahl der Kugeln in der Urne sinkt.
Für Zug 3 muß ganz ähnlich in den ersten beiden Zügen Ereignis (2) eingetreten sein.usw. usf.
Das Ganze ergibt eine längliche Rechnung an deren Ende [mm] \bruch{1}{11} [/mm] stehen sollte.
viele Grüße
mathemaduenn
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Lieber LaTeX-Renderer,
du musst jetzt seeeeeeehhhhhhr tapfer sein:
[mm] \begin{cases}
\frac{1}{66} & \green{\mbox{ A und B gezogen}}\\
\frac{10}{66} & \mbox{ A gezogen, aber B nicht}\\
\frac{10}{66} & \mbox{ B gezogen, aber A nicht}\\
\frac{45}{66} & \mbox{ weder A noch B gezogen}\begin{cases}
\blue{\frac{45}{66}*}\frac{1}{45} & \green{\mbox{ A und B gezogen}}\\
\blue{\frac{45}{66}*}\frac{8}{45} & \mbox{ A gezogen, aber B nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*}\frac{8}{45} & \mbox{ B gezogen, aber A nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*}\frac{28}{45} & \mbox{ weder A noch B gezogen}\begin{cases}
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*}\frac{1}{28} & \green{\mbox{ A und B gezogen}}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*}\frac{6}{28} & \mbox{ A gezogen, aber B nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*}\frac{6}{28} & \mbox{ B gezogen, aber A nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*}\frac{15}{28} & \mbox{ weder A noch B gezogen}\begin{cases}
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*}\frac{1}{15} & \green{\mbox{ A und B gezogen}}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*}\frac{4}{15} & \mbox{ A gezogen, aber B nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*}\frac{4}{15} & \mbox{ B gezogen, aber A nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*}\frac{6}{15} & \mbox{ weder A noch B gezogen}\begin{cases}
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*\frac{6}{15}*}\frac{1}{6} & \green{\mbox{ A und B gezogen}}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*\frac{6}{15}*}\frac{2}{6} & \mbox{ A gezogen, aber B nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*\frac{6}{15}*}\frac{2}{6} & \mbox{ B gezogen, aber A nicht}\\
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*\frac{6}{15}*}\frac{1}{6} & \mbox{ weder A noch B gezogen}\begin{cases}
\blue{\frac{45}{66}*\frac{28}{45}*\frac{15}{28}*\frac{6}{15}*\frac{1}{6}*}\frac{1}{1} & \green{\mbox{ A und B gezogen}}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}
\end{cases}[/mm]
Wenn man die Summe der Blätter bildet,
bei denen A und B in einer Paarung landet,
kommt aber trotzdem nur [mm] $\frac{1}{11}=\frac{1}{66}+\frac{1}{66}+\frac{1}{66}+\frac{1}{66}+\frac{1}{66}+\frac{1}{66}$
[/mm]
Gruß Karthagoras
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