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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 20.04.2011 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | Fasse einen klassischen Fußball als beschränktes Polyeder in [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, das den folgenden Anforderungen genügt:
(i) Jede Seitenfläche von P ist entweder ein schwarzes Fünfeck oder ein weißes Sechseck
(ii) An jedes schwarze Fünfeck grenzen nur weiße Sechsecke
(iii)An jedes weiße Sechseck grenzen drei schwarze Fünfecke und drei weiße Sechsecke
Welche Möglichkeiten gibt es P zu konstruieren? Ermitteln sie dazu die möglichen Anzahlen s und w der schwarzen Fünfecke und weißen Sechsecke.
Neben s und w betrachte man die Anzahl [mm] f_0 [/mm] der Ecken und die Anzahl [mm] f_1 [/mm] der Kanten von P als Hilfsvariablen. Aus (i) bis (iii) gewinnt man durch zweifaches Abzählen drei lineare Gleichungen in den vier Variablen. Setzen sie den Eulerschen Polyedersatz als bekannt voraus und erhalten sie darauf eine vierte Gleichung. Bestimmen Sie schließlich den Lösungsraum des 4x4 LGS und finden sie die ganzzahlige Lösung. |
Hallo, ich habe ein paar gravierende Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe:
also die Anzahl der Ecken [mm] $f_0$ [/mm] ist doch im Grunde 5s+6w, die Anzahl der Kanten ist [mm] $f_1=\bruch{1}{2}(5s+6w)$. [/mm] Aber wie erhalte ich jetzt durch zweifaches Abzählen ein LGS? ich hab quasi gar keine vorstellung davon wie ich z.B. aus Bedingung (i) eine Gleichung erhalte...
Vielen Dank schon mal im Voraus
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Hallo herben,
nette Aufgabe. 
> Fasse einen klassischen Fußball als beschränktes Polyeder
> in [mm]\IR^3[/mm] auf, das den folgenden Anforderungen genügt:
>
> (i) Jede Seitenfläche von P ist entweder ein schwarzes
> Fünfeck oder ein weißes Sechseck
> (ii) An jedes schwarze Fünfeck grenzen nur weiße
> Sechsecke
> (iii)An jedes weiße Sechseck grenzen drei schwarze
> Fünfecke und drei weiße Sechsecke
>
> Welche Möglichkeiten gibt es P zu konstruieren? Ermitteln
> sie dazu die möglichen Anzahlen s und w der schwarzen
> Fünfecke und weißen Sechsecke.
>
> Neben s und w betrachte man die Anzahl [mm]f_0[/mm] der Ecken und
> die Anzahl [mm]f_1[/mm] der Kanten von P als Hilfsvariablen. Aus (i)
> bis (iii) gewinnt man durch zweifaches Abzählen drei
> lineare Gleichungen in den vier Variablen. Setzen sie den
> Eulerschen Polyedersatz als bekannt voraus und erhalten sie
> darauf eine vierte Gleichung. Bestimmen Sie schließlich
> den Lösungsraum des 4x4 LGS und finden sie die ganzzahlige
> Lösung.
>
> Hallo, ich habe ein paar gravierende Verständnisprobleme
> bei dieser Aufgabe:
>
> also die Anzahl der Ecken [mm]f_0[/mm] ist doch im Grunde 5s+6w,
Vorab zur Wahl der Variablen - nimm doch einfach e,f,k wie im Eulerschen Polyedersatz. Dann sparst Du Dir eine Menge Konzentration und vor allem die Indizes.
Die Zahl der Ecken ist doch [mm] \blue{e}=\blue{\bruch{1}{3}}(5s+6w)
[/mm]
An jeder Ecke stoßen genau drei Flächen zusammen. (Warum?)
> die Anzahl der Kanten ist [mm] \blue{k}=\bruch{1}{2}(5s+6w). [/mm] Aber wie
> erhalte ich jetzt durch zweifaches Abzählen ein LGS? ich
> hab quasi gar keine vorstellung davon wie ich z.B. aus
> Bedingung (i) eine Gleichung erhalte...
Bei Bedingung (i) sehe ich das auch nicht.
Aber Bedingung (ii) und (iii) hast Du noch nicht verarbeitet.
Beide zusammen ergeben nur eine Gleichung.
Damit liegen dann drei Gleichungen vor, die vierte ergibt sich aus dem Eulerschen Polyedersatz.
Damit hast Du für den Variablensatz e,k,s,w dann vier lineare Gleichungen.
Grüße
reverend
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