G-Menge, Stabilisator, Normali < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Do 22.08.2013 | | Autor: | Batman |
| Aufgabe | $M$ sei eine transitive $G$-Menge, $U$ der Stabilisator eines [mm] $x_0 \in [/mm] M$.
Man zeige: [mm] $Aut_G(M) \simeq [/mm] N(U)/U$, wobei $N(U)$ der Normalisator von $U$ in $G$ ist. |
Ich weiß:
$U$ Stabilisator von [mm] $x_0$: $\forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U$ : $u [mm] \cdot x_0 [/mm] = [mm] x_0$.
[/mm]
$M$ transitive $G$-Menge: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] G : gx = y$.
Also ist [mm] $x_0 \in [/mm] M$: $M = G [mm] \cdot x_0 \simeq [/mm] G/U$, wobei [mm] $U=Stab_G(x_0) [/mm] = [mm] ker(Gx_0)$ [/mm] nach dem Homomorphiesatz
$N(U)$ Normalisator von $U$ in $G$ = Stabilisator von $U$: $N(U) = [mm] \{g | g U g^{-1} = U\}$.
[/mm]
Aber jetzt komm ich irgendwie nicht auf die Automorphismengruppe von M...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Fr 23.08.2013 | | Autor: | hippias |
Ich vermute $A:= [mm] Aut_{G}(M)$ [/mm] steht fuer die Menge aller Permutationen von $M$, die mit $G$ vertauschbar sind.
Deine Aufgabe ist es einen Isomorphismus zwischen $A$ und $X:= N(U)/U$ anzugeben. Eine Schwierigkeit ist sicher, dass ein [mm] $\sigma\in [/mm] A$ auf $M$ definiert ist, aber nicht offensichtlich eine Abbildung auf einer Teilmenge (naemlich $N(U)$) von $G$ entspricht. Jedoch kannst mittels der Transitivitaet von $G$ auf $M$ einen Zusammenhang herstellen: Ist [mm] $g\in [/mm] G$, so ist [mm] $((x_{0})^{g}))^{\sigma}$ [/mm] ja wieder von der Gestalt [mm] $x_{0}^{g'}$, [/mm] wobei [mm] $g'\in [/mm] G$ ist.
Mein Tip: 1) Mache Dir klar, dass [mm] $\sigma\in [/mm] A$ durch [mm] $x_{0}^{\sigma}$ [/mm] eindeutig bestimmt ist.
2) Zu [mm] $\sigma\in [/mm] A$ gibt es genau eine Nebenklasse [mm] $Y\in [/mm] G/U$ so, dass [mm] $x_{0}^{\sigma}= x_{0}^{s}$ [/mm] ist, wobei [mm] $s\in [/mm] Y$.
3) Schlussfolgere, dass sogar [mm] $s\in [/mm] N(U)$ gelten muss.
4) Betrachte die Zuordung [mm] $\sigma\mapsto [/mm] sU$.
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