G-invariantes Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:04 Do 26.05.2005 | | Autor: | matlab9 |
Hallo.
Ich bin das erste Mal im Matheraum und ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte gebt mir eine Einschätzung/Kommentar bei diesem Algebra/Gruppenproblem.
V sei komplexer Vektorraum und G [mm] \subset [/mm] Aut(V) eine Untergruppe.
Ein Skalarprodukt phi: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IC [/mm] heißt G-invariant,
wenn phi( gx, gy) = phi( x, y) für alle g [mm] \in [/mm] G, x,y [mm] \in [/mm] V.
(i) Sei nun G c Aut(V) eine endliche Untergruppe. Beweise, daß es
ein G-invariantes Skalarprodukt geben muß.
Also, mir fallen dazu nur zwei Fakten ein: a) Für die Untergruppe die
nur aus dem Einselement besteht, ist sicherlich jedes hermitesche Skalarprodukt
G-invariant. Außerdem folgende Untergruppe von C:{i,-i,1}.
Aber: In der Aufgabenstellung wird nach einem G-invarianten Skalarprodukt
gefragt und nicht nach Untergruppen.
In dem Fall habe ich einen trivialen Vorschlag: ist phi(x,y)=1 nicht
etwa auch eine hermitesche,pos.definite Bilinearform und daher
Skalarprodukt und daher G-invariant?
Brauche bitte einen Wink in die richtige Richtung.
matlab9
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Hallo!
Leider ist [mm] $\phi(x,y):=1$ [/mm] kein Skalarprodukt, da es nicht linear ist, z.B.: [mm] $\phi(x+y,z)=1$, [/mm] aber [mm] $\phi(x,z)+\phi(y,z)=2$. [/mm] Außerdem ist [mm] $\phi(0,0)\ne [/mm] 0$.
Die Betonung liegt bei der Aufgabe wohl dabei, dass $G$ eine endliche Untergruppe ist. Das bedeutet nämlich, dass für [mm] $A\in [/mm] G$ ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] existieren muss mit [mm] $A^n=\mathrm{id}$.
[/mm]
Jedenfalls kannst du die Elemente von $G$ durchnummerieren: [mm] $G=\{A_1,\dots,A_N\}$ [/mm] für ein [mm] $N\in\IN$.
[/mm]
Wähle (irgend-)ein Skalarprodukt [mm] $\psi$ [/mm] auf $V$.
Jetzt definiere dir [mm] $\phi_i(x,y):=\psi(A_ix;A_iy)$ [/mm] und [mm] $\phi(x,y):=\summe_{i=1}^N\phi_i(x,y)$.
[/mm]
Dann ist zwar noch einiges zu zeigen, aber man müsste schon durchkommen...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Fr 27.05.2005 | | Autor: | matlab9 |
Hallo banachella,
danke für deine Antwort!
Sicherlich kann ich jetzt für das von dir definierte phi (x,y) Bilinearität, pos. Definitheit und Hermiteschheit nachweisen. Dabei ist mir etwas aufgefallen und im Folgenden sei G=({A1, ..., An}, +) zyklische Untergruppe von C, also Ai+(n-i+1)*A1=A1=1[weill G Untergruppe von C, ist A1 das Einselement von C= 1].
So wie ich dich verstanden habe, definieren wir
phi( Ai*x, Ai*y)= [mm] \summe_{i=1}^{n}phi[i](x,y)= \summe_{i=1}^{n}psi(Ai*x, [/mm] Ai*y)=psi( [mm] (\summe_{i=1}^{n} [/mm] Ai)*x, [mm] (\summe_{i=1}^{n})*y)= [/mm] psi( '1'*x, '1'*y), also ist phi G-invariant. Kann man nicht (einfacher) definieren: phi( Ai*x, Ai*y)= phi(( [mm] Ai+(\summe_{j=i-1}^{n} [/mm] A1))*x, [mm] Ai+(\summe_{j=i-1}^{n} [/mm] A1))*y), weil [mm] Ai+(\summe_{j=i-1}^{n} [/mm] A1)) = 1?
Schön wärs..
matlab9
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Hallo!
Zunächst mal: Die Gruppe ist [mm] $(G,\cdot)$. [/mm] Mit der Addition kommst du hier nicht weiter, weil das neutrale Element der Addition die 0-Matrix ist, diese ist aber kein Automorphismus. Außerdem kannst du nicht einfach voraussetzen, dass $G$ eine zyklische Untergruppe ist. Ich glaube auch nicht, dass das immer der Fall ist.
Außerdem ist im allgemeinen $ [mm] \summe_{i=1}^{n}\psi(A_i*x,A_i*y)\ne\psi\left(\left(\summe_{i=1}^{n}A_i\right)*x,\left(\summe_{i=1}^{n}A_i\right)*y\right)$, [/mm] weil im allgemeinen [mm] $\psi(x,y)+\psi(a,b)\ne\psi(x+a,b+y)$.
[/mm]
Auch ist oft [mm] $\summe A_i\ne \mathrm{id}$.
[/mm]
Jedenfalls funktioniert der Trick so: Sei [mm] $A_k\in [/mm] G$.
Hilfsbehauptung: Es gibt eine Permutation [mm] $\tau$ [/mm] von [mm] $\{1,\dots, N\}$, [/mm] so dass [mm] $A_i=A_{\tau(i)}A_k$ [/mm] für alle $i$.
Das ist klar, weil es zu jedem $i$ genau ein [mm] $\tau(i)$ [/mm] gibt mit [mm] $A_{\tau(i)}=A_iA_k^{-1}$.
[/mm]
Jetzt machst du folgendes:
[mm] $\phi(A_kx;A_ky)=\summe_{i=0}^n\psi(A_iA_kx;A_iA_ky)=\summe_{i=0}^n\psi(A_{\tau(i)}A_kx;A_{\tau(i)}A_ky)=\summe_{i=0}^n\psi(A_ix;A_iy)=\phi(x;y)$.
[/mm]
Wenn du jetzt noch zeigen kannst, dass [mm] $\phi$ [/mm] tatsächlich ein Skalarprodukt ist, ist das deine Behauptung!
Gruß, banachella
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