GGT-Menge zweier Zahlen leer < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei der komm. Ring mit 1: [mm] $\IZ[\sqrt{-5}] :=\{a+b*\sqrt{-5}|a,b\in\IZ\}.$
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] $GGT(6,2+2*\sqrt{-5}) [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] (Die Menge der größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen ist leer). |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht so recht voran.
Ich weiß, dass
$6 = 2*3 = [mm] (1+\sqrt{-5})*(1-\sqrt{-5})$,
[/mm]
[mm] $2+2*\sqrt{-5} [/mm] = [mm] 2*(1+\sqrt{-5}).$
[/mm]
Somit sind mindestens 2 und [mm] (1+\sqrt{-5}) [/mm] gemeinsame Teiler von 6 und [mm] $2+2*\sqrt{-5}$. [/mm] Gäbe es also einen größten gemeinsamen Teiler d, so müssten also 2 und [mm] (1+\sqrt{-5}) [/mm] Teiler von d sein (nach Definition).
Es müssten also [mm] $f,g\in\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] ex. mit
--> $d = 2*f$
--> $d = [mm] (1+\sqrt{-5})*g$.
[/mm]
Ich habe bereits nachgewiesen, dass 2 und [mm] $(1+\sqrt{-5})$ [/mm] irreduzibel in [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] sind.
Wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Gegeben sei der komm. Ring mit 1: [mm]\IZ[\sqrt{-5}] :=\{a+b*\sqrt{-5}|a,b\in\IZ\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]GGT(6,2+2*\sqrt{-5}) = \emptyset[/mm]. (Die Menge
> der größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen ist
> leer).
>
> Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht so recht voran.
> Ich weiß, dass
>
> [mm]6 = 2*3 = (1+\sqrt{-5})*(1-\sqrt{-5})[/mm],
> [mm]2+2*\sqrt{-5} = 2*(1+\sqrt{-5}).[/mm]
>
> Somit sind mindestens 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm] gemeinsame Teiler
> von 6 und [mm]2+2*\sqrt{-5}[/mm]. Gäbe es also einen größten
> gemeinsamen Teiler d, so müssten also 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm]
> Teiler von d sein (nach Definition).
> Es müssten also [mm]f,g\in\IZ[\sqrt{-5}][/mm] ex. mit
>
> --> [mm]d = 2*f[/mm]
> --> [mm]d = (1+\sqrt{-5})*g[/mm].
>
> Ich habe bereits nachgewiesen, dass 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm]
> irreduzibel in [mm]\IZ[\sqrt{-5}][/mm] sind.
Da $d$ ein ggT von $6$ und $2 + 2 [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] ist, muss $d$ die beiden auch teilen.
Aus $d = (1 + [mm] \sqrt{-5}) \cdot [/mm] g$ und $d$ teilt [mm] $2+2*\sqrt{-5} [/mm] = [mm] 2*(1+\sqrt{-5})$ [/mm] folgt, dass $g$ ein Teiler von 2 ist.
Da 2 irreduzibel ist, muss also $g = 1$ oder $g = 2$ sein (bis auf Assoziiertheit); probiere beide Moeglichkeiten durch und gucke was passiert.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort!
> > Somit sind mindestens 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm] gemeinsame Teiler
> > von 6 und [mm]2+2*\sqrt{-5}[/mm]. Gäbe es also einen größten
> > gemeinsamen Teiler d, so müssten also 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm]
> > Teiler von d sein (nach Definition).
> > Es müssten also [mm]f,g\in\IZ[\sqrt{-5}][/mm] ex. mit
> >
> > --> [mm]d = 2*f[/mm] [mm] \red{(*)}
[/mm]
> > --> [mm]d = (1+\sqrt{-5})*g[/mm].
> >
> > Ich habe bereits nachgewiesen, dass 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm]
> > irreduzibel in [mm]\IZ[\sqrt{-5}][/mm] sind.
>
> Da [mm]d[/mm] ein ggT von [mm]6[/mm] und [mm]2 + 2 \sqrt{-5}[/mm] ist, muss [mm]d[/mm] die
> beiden auch teilen.
>
> Aus [mm]d = (1 + \sqrt{-5}) \cdot g[/mm]
Benutzt du hier meine obigen Folgerungen / Annahmen oder konntest du das sofort folgern?
> und [mm]d[/mm] teilt [mm]2+2*\sqrt{-5} = 2*(1+\sqrt{-5})[/mm]
> folgt, dass [mm]g[/mm] ein Teiler von 2 ist.
Ich verstehe noch nicht genau, warum das so ist.
Ich habe jetzt:
$d = (1 + [mm] \sqrt{-5}) \cdot [/mm] g$
$d\ |\ [mm] 2*(1+\sqrt{-5})$, [/mm] d.h. ex. [mm] c\in\IZ[\sqrt{-5}] [/mm] so, dass $c*d = [mm] 2*(1+\sqrt{-5})$.
[/mm]
--> $c*g*(1 + [mm] \sqrt{-5}) [/mm] = [mm] 2*(1+\sqrt{-5})$
[/mm]
[mm] -->(2-c*g)*(1+\sqrt{-5}) [/mm] = 0
--> 2 = c*g,
da [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] nullteilerfrei. Wäre das die "ausführliche" Begründung ?
> Da 2 irreduzibel ist, muss also [mm]g = 1[/mm] oder [mm]g = 2[/mm] sein (bis
> auf Assoziiertheit); probiere beide Moeglichkeiten durch
> und gucke was passiert.
Im Falle g = 1 habe ich $d = (1 + [mm] \sqrt{-5})$.
[/mm]
Aus der obigen roten Annahme (*) folgt dann, dass [mm] f\in\IZ[\sqrt{-5}] [/mm] ex. so dass $2*f = d = (1 + [mm] \sqrt{-5})$. [/mm] Wende ich nun die Abbildung [mm] $\delta(a+b*\sqrt{-5}) [/mm] = [mm] a^{2}+5b^{2}$ [/mm] auf beiden Seiten an, erhalte ich $4*delta(f) = 6$. Kein f kann also die Gleichung erfüllen, Widerspruch.
Ist das okay?
Im Falle g = 2 habe ich $d = (1 + [mm] \sqrt{-5})*2$.
[/mm]
Da d die 6 teilen muss (als GGT von 6 und der anderen Zahl), folgt, dass ein [mm] c\in \IZ[\sqrt{-5}] [/mm] ex. sodass
$c*2*(1 + [mm] \sqrt{-5}) [/mm] = c*d = 6$
--> $2*(3-c*(1 + [mm] \sqrt{-5})) [/mm] = 0$
--> $3 = c*(1 + [mm] \sqrt{-5})$
[/mm]
Das führe ich wie im ersten Fall mit der [mm] \delta-Abbildung [/mm] zum Widerspruch.
Wäre das so okay?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> > > Somit sind mindestens 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm] gemeinsame Teiler
> > > von 6 und [mm]2+2*\sqrt{-5}[/mm]. Gäbe es also einen größten
> > > gemeinsamen Teiler d, so müssten also 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm]
> > > Teiler von d sein (nach Definition).
> > > Es müssten also [mm]f,g\in\IZ[\sqrt{-5}][/mm] ex. mit
> > >
> > > --> [mm]d = 2*f[/mm] [mm]\red{(*)}[/mm]
> > > --> [mm]d = (1+\sqrt{-5})*g[/mm].
> > >
> > > Ich habe bereits nachgewiesen, dass 2 und [mm](1+\sqrt{-5})[/mm]
> > > irreduzibel in [mm]\IZ[\sqrt{-5}][/mm] sind.
> >
> > Da [mm]d[/mm] ein ggT von [mm]6[/mm] und [mm]2 + 2 \sqrt{-5}[/mm] ist, muss [mm]d[/mm] die
> > beiden auch teilen.
> >
> > Aus [mm]d = (1 + \sqrt{-5}) \cdot g[/mm]
>
> Benutzt du hier meine obigen Folgerungen / Annahmen oder
> konntest du das sofort folgern?
Ich benutze deine Folgerungen.
> > und [mm]d[/mm] teilt [mm]2+2*\sqrt{-5} = 2*(1+\sqrt{-5})[/mm]
> > folgt, dass [mm]g[/mm] ein Teiler von 2 ist.
>
> Ich verstehe noch nicht genau, warum das so ist.
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]d = (1 + \sqrt{-5}) \cdot g[/mm]
> [mm]d\ |\ 2*(1+\sqrt{-5})[/mm], d.h.
> ex. [mm]c\in\IZ[\sqrt{-5}][/mm] so, dass [mm]c*d = 2*(1+\sqrt{-5})[/mm].
>
> --> [mm]c*g*(1 + \sqrt{-5}) = 2*(1+\sqrt{-5})[/mm]
>
> [mm]-->(2-c*g)*(1+\sqrt{-5})[/mm] = 0
> --> 2 = c*g,
>
> da [mm]\IZ[\sqrt{-5}][/mm] nullteilerfrei. Wäre das die
> "ausführliche" Begründung ?
Ja.
> > Da 2 irreduzibel ist, muss also [mm]g = 1[/mm] oder [mm]g = 2[/mm] sein (bis
> > auf Assoziiertheit); probiere beide Moeglichkeiten durch
> > und gucke was passiert.
>
> Im Falle g = 1 habe ich [mm]d = (1 + \sqrt{-5})[/mm].
> Aus der
> obigen roten Annahme (*) folgt dann, dass
> [mm]f\in\IZ[\sqrt{-5}][/mm] ex. so dass [mm]2*f = d = (1 + \sqrt{-5})[/mm].
> Wende ich nun die Abbildung [mm]\delta(a+b*\sqrt{-5}) = a^{2}+5b^{2}[/mm]
> auf beiden Seiten an, erhalte ich [mm]4*delta(f) = 6[/mm]. Kein f
> kann also die Gleichung erfüllen, Widerspruch.
>
> Ist das okay?
Jep, das ist ok :)
> Im Falle g = 2 habe ich [mm]d = (1 + \sqrt{-5})*2[/mm].
> Da d die 6
> teilen muss (als GGT von 6 und der anderen Zahl), folgt,
> dass ein [mm]c\in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] ex. sodass
>
> [mm]c*2*(1 + \sqrt{-5}) = c*d = 6[/mm]
> --> [mm]2*(3-c*(1 + \sqrt{-5})) = 0[/mm]
>
> --> [mm]3 = c*(1 + \sqrt{-5})[/mm]
>
> Das führe ich wie im ersten Fall mit der [mm]\delta-Abbildung[/mm]
> zum Widerspruch.
> Wäre das so okay?
Ja.
LG Felix
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Hallo Felix,
dann vielen Dank für deine Hilfe!!! 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan,
> dann vielen Dank für deine Hilfe!!!
bitte bitte, immer gern doch :)
LG Felix
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Hallo Felix,
Ich habe ja schonmal ein wenig Algebra gemacht, nur kurz allerdings. Was sich in mein Gedächtnis eingebrannt hat, war, dass ich es irgendwie nicht mochte. Ich wurde vor kurzem gefragt, woran das liegt, und ich konnte es nicht sagen.
Jetzt weiß ich es wieder: Es lag an den vielen Variablen, die man einführen muss - Wenn man dafür nicht frühzeitig eine Systematik entwickelt, geht man da denk ich ganz schnell unter im Bezeichnungschaos... 
Grüße,
Stefan
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