matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieGGT
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Zahlentheorie" - GGT
GGT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

GGT: Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mi 25.03.2015
Autor: EGF

Aufgabe
ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm] \in \{1,2\} [/mm]

Guten Abend,

ich habe folgendes Problem. Ich soll die obige Aussage zeigen.
Ich habe mich zunächst mit der Additivität an die Sache geran gewagt.
Nach drei Stunden haben wir nun zu Zweit folgendes gelöst, glauben aber, dass es der Sache nicht sonderlich nahe kommt.

ggT(a,b) = 1
ggT (a+b, a-b) = 1 für a gerade und b ungerade
ggT(a+b,a-b) = 2 für a und b ungerade

ggT(a,b) = 1
= ggT( a, r)      wobei a+r=b und r= b-a
=ggT(a, b-a)
ggT (a, a-b)

und

ggT(a+b,b) = ggT ( a,b)  nach Satz (Skript)
also auch andersherum ggT(a,b) = ggT( a+b, b)

aus beiden ergibt sich:

ggT(a,b) = ggT(a+b, a-b)

und für den Fall a und b ungerade

ggT = 2

Mathematisch sicher nicht sehr sauber, aber geht es wenigstens in die richtige Richtung?

Vielen Dank im voraus schon mal =)

Liebe Grüße EGF




Die Frage ist in keinem anderen Forum eingestellt.

        
Bezug
GGT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mi 25.03.2015
Autor: rmix22

Wäre ist nicht einfacher, den Beweis indirekt zu führen?

zB für den Fall a und b beide ungerade.
Summe und Differenz sind dann trivialerweise durch 2 teilbar.
Nehmen wir an, es gäbe einen Teiler >2 von a-b und a+b.
Dieser müsste sich dann als 2*t schreiben lassen, wobei das ganzzahlige t>1 ist.
Es müsste dann ganzzahlige k1 und k2 geben mit
2t*k1=a+b
und
2t*k2=a-b

Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergeben dann
t*(k1+k2)=a
und
t*(k1-k2)=b

Mit t>1 ist das ein Widerspruch zu ggT(a,b)=1

Für den Fall dass a oder b gerade ist und der andere Wert ungerade ist der Teiler natürlich nicht 2t sondern t und man kann verwenden, dass k1 und k2 dann ungerade sein müssen (weil a+b und a-b beide ungerade sind). (k1+k2)/2=k3 und damit t*k3=a und analog t*k4=b und wieder ein Widerspruch.

Gruß RMix


Bezug
        
Bezug
GGT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Mi 25.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm]\in \{1,2\}[/mm]

es gilt für ganze Zahlen $a,b,c$

    [mm] $\ggT(a,b)=\ggT(a,\,b+c\,a)$. [/mm]

Daher ist

    [mm] $\ggT(a+b,\,a-b)=\ggT(a+b,\,(a+b)-(a-b))=\ggT(a+b, [/mm] 2a)$

schonmal klar.

Nun gilt auch

    [mm] $\ggT(a,b) \mid \ggT(a,b\,c)\,,$ [/mm]

bzw.

    [mm] $\ggT(a,b) \mid \ggT(c\,a,\,b)\,.$ [/mm]

Also folgt

    (*) [mm] $\ggT(a+b,2a) \mid \ggT(2(a+b),\,2a)=2\ggT(a+b,\,b)\,,$ [/mm]

wobei hier [mm] $\ggT(ca,\,cb)=c\,\ggT(a,b)$ [/mm] benutzt wurde.

Wegen

    [mm] $\ggT(a+b,\,b)=\ggT(a,b)$ [/mm] (warum?)

folgt dann die Behauptung aus (*), denn so sehen wir

    [mm] $\ggT(a+b,\,a-b) \mid [/mm] 2$.

P.S. Vielleicht wäre es auch mal interessant, die Aufgabe mit Hilfe von
Primfaktorzerlegungen zu bearbeiten!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
GGT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:16 Mi 25.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> > ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm]\in \{1,2\}[/mm]

einfach, weil das mein erster Gedanke war: Hat jemand eine Idee, wie man
diese Aufgabe mit

    [mm] $d=\ggT(a,b) \iff a*\IZ+b*\IZ=d*\IZ$ [/mm]

lösen könnte? Wäre sicher auch interessant, ob bzw. ggf. wie das funktioniert.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
GGT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Do 26.03.2015
Autor: EGF

Ganz herzlichen Dank für eure Antworten!
Jetzt kann eigentlich nichts mehr schief gehen :)

Bezug
        
Bezug
GGT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 Do 26.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> ggt(a,b) = 1 --> (a+b, a-b) [mm]\in \{1,2\}[/mm]
>  Guten Abend,
>  
> ich habe folgendes Problem. Ich soll die obige Aussage
> zeigen.
>  Ich habe mich zunächst mit der Additivität an die Sache
> geran gewagt.
> Nach drei Stunden haben wir nun zu Zweit folgendes gelöst,
> glauben aber, dass es der Sache nicht sonderlich nahe
> kommt.
>  
> ggT(a,b) = 1
>  ggT (a+b, a-b) = 1 für a gerade und b ungerade

Die zweite Gleichheit soll aus der ersten folgen, oder wie ist das zu lesen?
Zeichen oder Worte helfen dabei, also:

    $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ oder

    "Wir wissen A, daraus folgt (wegen ...) dann B"

schreiben. Es steht aber nirgends, wieso diese Folgerung gilt.

>  ggT(a+b,a-b) = 2 für a und b ungerade
>  
> ggT(a,b) = 1
>  = ggT( a, r)      wobei a+r=b und r= b-a
>  =ggT(a, b-a)
>  ggT (a, a-b)
>  
> und
>
> ggT(a+b,b) = ggT ( a,b)  nach Satz (Skript)
>   also auch andersherum ggT(a,b) = ggT( a+b, b)
>  
> aus beiden ergibt sich:
>  
> ggT(a,b) = ggT(a+b, a-b)

Mal 'ne Rückfrage: Wie kamst Du auf diese Gleichheit? I.A. ist sie Unsinn,
denn dann wäre

    [mm] $4=\ggT(4,12)=\ggT(16,-8)=8$ [/mm]

Du willst also irgendwo [mm] $\ggT(a,b)=1$ [/mm] benutzen wollen.

Aber sowas wie [mm] $\ggT(a,a+b)=\ggT(a,b)=\ggT(a,a-b)$ [/mm] ist klar; sowas ist eine Grundlage
des euklidischen Algorithmus, bzw.

    [mm] $\ggT(a,b)=\ggT(a,b+c\,a)\,.$ [/mm]
(Nicht unerwähnt will ich dabei lassen, dass [mm] $\ggT(a,b)=\ggT(|a|,\,|b|)$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm]
gilt. Und zwar im Sinne von "Gleichheit bis auf eine multiplikative Einheit".
Der ggT ist in [mm] $\IZ$ [/mm] nicht (mehr) eindeutig; aber immer noch *eindeutig genug*!
Bzw. wenn man dort etwa fordert, dass der ggT zudem auch nichtnegativ
sein soll, *macht* man ihn damit eindeutig.)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
GGT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Do 26.03.2015
Autor: EGF

Hallo,

das war nicht als Folgerung gemeint. Eher als Fallunterscheidung. Einmal dass der ggT der beiden Zahlen 1 und einmal 2 ist. Hätte ich wirklich deutlicher machen können. Danke für den Hinweis!
Wir hatten gehofft, dass wir die Aussage
ggT (a,b) = ggT (a, a+b) verallgemeinern können.
Aber ehrlich gesagt waren wir ziemlich ratlos und verzweifelt.
Es handelt sich um eine ehemalige Klausuraufgabe, die ich gerne für die morgige nachvollziehen wollte.

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
GGT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Do 26.03.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>
> das war nicht als Folgerung gemeint. Eher als
> Fallunterscheidung. Einmal dass der ggT der beiden Zahlen 1
> und einmal 2 ist. Hätte ich wirklich deutlicher machen
> können. Danke für den Hinweis!

naja, nur, weil es mir nicht klar war, heißt es nicht, dass es anderen nicht
klar war. Aber geh' immer davon aus: Wenn einer es schon nicht versteht,
dann schreibe lieber zu viel als zu wenig dazu. Im Gegensatz zur Schule
geht es eher darum, jeden Gedanken nachvollziehbar darzustellen, als
dass man auch mal Gedankensprünge macht, die einem leicht erscheinen,
um das Ganze kompakter darzustellen. In höheren Semestern darfst Du
dann auch alles etwas kompakter hinschreiben, wobei ich immer empfehle,
dass man wenigstens für sich selbst irgendwo alles ganz vollständig
oder halt Stichworte zur Vervollständigung notiert. Sonst passiert so etwas
wie

    hier

(Das ist keine Kritik an hanspeter.schmid, sondern durch seine Frage
demonstriert er genau das, warum ich immer empfehle: Lieber (und sei
es nur für sich selbst) etwas zu viel denn zu wenig aufschreiben!)

> Wir hatten gehofft, dass wir die Aussage
> ggT (a,b) = ggT (a, a+b) verallgemeinern können.
> Aber ehrlich gesagt waren wir ziemlich ratlos und
> verzweifelt.
> Es handelt sich um eine ehemalige Klausuraufgabe, die ich
> gerne für die morgige nachvollziehen wollte.

Viel Glück für die morgige Klausur. Ich mag' übrigens das Buch

    Elementare und algebraische Zahlentheorie (Müller-Stach, Piontkowski).

Kannst ggf. ja mal (wohl erst nach der Klausur) reingucken.

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]