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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Do 29.12.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | 1. Geben sie eine vollständige und exakte Definition des größten gemeinsamen Teilers ggT(a,b) zweier ganzer Zahlen a,b mit (a,b) ungleich (0,0).
2. Beweisen sie mit Hilfe ihrer Definition die Formel
[mm] ggT(\bruch{a}{ggT(a,b)}, \bruch{b}{ggT(a,b)})=1 [/mm] |
Hallo zusammen,
beiße mir gerade an der Aufgabe die Zähne aus.
Aufgabe 1 hab ich noch gekonnt denk ich mal:
g ist der größte gemeinsame Teiler von a und b, wenn gilt
a) g|a und g|b
b) Wenn gilt g'|a und g'|b so folgt g'|g.
Bei Aufgabe 2 hab ich jedoch nicht wirklich ne Ahnung wie ich da rangehen sollte.
Was ich noch weiß ist, wenn gilt g|a so folgt, dass es ein c gibt mit c *a =g.
Bräuchte eure Hilfe.
Danke
Grüße
Tina
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Hallo Tina,
mag sein, es gibt eine Möglichkeit, dass mit deiner Definition des ggT zu zeigen. Einfacher geht es aber sicherlich, wenn du den ggT als Schnittmenge der Primfaktoren von a und b auffassen würdest.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 29.12.2011 | | Autor: | tinakru |
Hallo Diophant,
danke für deine Antwort.
Ja, das mit den Primfaktoren hab ich auch schön gehört. Ist aber leider nicht zulässig. Das ist eine alte Klausur-Aufgabe und wir haben in der Vorlesung nur obige Definition des ggTs gelernt.
Also irgendwie muss man da mit dieser Def. draufkommen...Vielleicht siehts ein anderer. :)
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Hallo,
einen Denkfehler hast du oben drin. Vielleicht hilft dir dessen Beseitigung ja schon weiter:
g|a => c*g=a
und nicht c*a=g!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Do 29.12.2011 | | Autor: | tinakru |
Hallo,
danke für den Hinweis. War aber leider nicht der Knackpunkt, war eher ein Schreibfehler... bin jetzt nochmal ne gute Stunde drüber gesessen, leider ohne Ergebnis :(
Vielleicht siehts noch einer die Lösung, wäre dankbar dafür :)
Gruß
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Du kannst so argumentieren:
Wenn c ein gemeinsamer Teiler von [mm] \bruch{a}{ggT(a,b)} [/mm] und [mm] \bruch{b}{ggT(a,b)} [/mm] ist, dann ist
c*ggT(a,b) ein gemeinsamer Teiler von a und b, also folgt [mm] c*ggT(a,b)|ggT(a,b)\Rightarrow [/mm] c|1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Sa 31.12.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Du kannst so argumentieren:
Wenn c ein gemeinsamer Teiler von [mm] \bruch{a}{ggT(a,b)} [/mm] und [mm] \bruch{b}{ggT(a,b)} [/mm] ist, dann ist
c*ggT(a,b) ein gemeinsamer Teiler von a und b, also folgt [mm] c*ggT(a,b)|ggT(a,b)\Rightarrow [/mm] c|1
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Hallo,
danke für deine Antwort. Hat mir schon sehr geholfen.
Den letzten Schluss verstehe ich aber noch nicht ganz.
Warum kannst du am Schulss folgern, dass
c * ggT(a,b) | ggT(a,b)
Folgt das aus der Eigenschaft, dass c der "GRÖßTE" gemeinsame Teiler ist?
Vielen Dank schonmal
und guten Rutsch @all
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> Du kannst so argumentieren:
> Wenn c ein gemeinsamer Teiler von [mm]\bruch{a}{ggT(a,b)}[/mm] und
> [mm]\bruch{b}{ggT(a,b)}[/mm] ist, dann ist
> c*ggT(a,b) ein gemeinsamer Teiler von a und b, also folgt
> [mm]c*ggT(a,b)|ggT(a,b)\Rightarrow[/mm] c|1
>
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort. Hat mir schon sehr geholfen.
>
> Den letzten Schluss verstehe ich aber noch nicht ganz.
>
> Warum kannst du am Schulss folgern, dass
>
> c * ggT(a,b) | ggT(a,b)
Das ist "deine" Definition des ggT aus dem ersten Post:
Wenn g'|a und g'|b, dann g'|ggT(a,b),
hier mit g'=c*ggT(a,b)
Wenn man den ggT anders (äquivalent) definiert als größte Zahl, die gemeinsamter Teiler ist, dann gilt immer noch
c*ggT(a,b)|a und c*ggT(a,b)|b => [mm] c*ggT(a,b)\le [/mm] ggT(a,b) => [mm] c\le [/mm] 1
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> Folgt das aus der Eigenschaft, dass c der "GRÖßTE"
> gemeinsame Teiler ist?
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> Vielen Dank schonmal
>
> und guten Rutsch @all
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