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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - GLS unterbestimmt, nur positiv
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GLS unterbestimmt, nur positiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 So 26.02.2017
Autor: DirkMathe

Aufgabe
Das folgende Gleichungssystem aus 6 Gleichungen mit 8 Variablen ist gegeben:
-0.45 -0.53 -0.64 -0.87 0.53 0.45 0.87 0.64 0.00
-0.55 0.29 -0.76 0.47 -0.29 0.55 -0.47 0.76 -100.00
-0.70 -0.80 0.10 0.13 -0.80 -0.70 0.13 0.10 0.00
0.00 -1.59 1.53 -0.69 0.00 -1.41 0.95 -1.34 130.00
0.00 0.00 -1.27 -1.74 1.59 1.41 1.49 1.08 0.00
0.00 1.07 0.00 1.74 -0.58 0.18 -0.95 0.26 -100.00
Es soll, falls möglich, eine Lösung gefunden werden, für die alle 8 Variablen positiv oder 0 sind.

Hallo,
ich muss für obiges Gleichungssystem (und ähnliche) eine Lösung finden, bei der alle Einträge entweder positiv oder 0 sind.
Der erste Gedanke war, 2 beliebige Variablen zu wählen, leider bekommt man dann logischerweise auch negative und nur mit Glück nur positive Lösungen heraus.
Ich weiss leider nicht wie ich dieses Problem lösen soll und habe auch keine Möglichkeit gefunden, dieses Problem mit WolframAlpha oder in Excel zu lösen.
Gibt es zum lösen dafür Verfahren?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
GLS unterbestimmt, nur positiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 26.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Das folgende Gleichungssystem aus 6 Gleichungen mit 8
> Variablen ist gegeben:
> -0.45 -0.53 -0.64 -0.87 0.53 0.45 0.87 0.64 0.00
> -0.55 0.29 -0.76 0.47 -0.29 0.55 -0.47 0.76 -100.00
> -0.70 -0.80 0.10 0.13 -0.80 -0.70 0.13 0.10 0.00
> 0.00 -1.59 1.53 -0.69 0.00 -1.41 0.95 -1.34 130.00
> 0.00 0.00 -1.27 -1.74 1.59 1.41 1.49 1.08 0.00
> 0.00 1.07 0.00 1.74 -0.58 0.18 -0.95 0.26 -100.00
> Es soll, falls möglich, eine Lösung gefunden werden,
> für die alle 8 Variablen positiv oder 0 sind.
> Hallo,
> ich muss für obiges Gleichungssystem (und ähnliche) eine
> Lösung finden, bei der alle Einträge entweder positiv
> oder 0 sind.
> Der erste Gedanke war, 2 beliebige Variablen zu wählen,
> leider bekommt man dann logischerweise auch negative und
> nur mit Glück nur positive Lösungen heraus.
> Ich weiss leider nicht wie ich dieses Problem lösen soll
> und habe auch keine Möglichkeit gefunden, dieses Problem
> mit WolframAlpha oder in Excel zu lösen.
> Gibt es zum lösen dafür Verfahren?

Ja. Das []Gauß-Verfahren. Wobei sich bei diesen Zahlen die Frage stellt, in welchem Rahmen das gestellt wurde und welche Hilfmsittel zugelassen sind.

Also ich habe das ganze gerade mal durch Mathcad gejagt, aber nur um den Rang zu bestimmen. Ergebnis: das LGS hat vollen Zeilenrang, also muss sich die Lösungsmenge in Abhängigkeit von zwei Variablen darstellen lassen, wie du selbst schon vermutet hast. Wenn man die Koeffizientenmatrix durch das Gauß-Verfahren in die obere Dreiecksform gebracht hat, dann kann man ja etwa [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_6 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_7 [/mm] und [mm] x_8 [/mm] darstellen. Danach muss man halt für alle 6 dieser Lösungen prüfen, ob dort für [mm] x_7, x_8>0 [/mm] ebenfalls wieder nichtnegative Lösungen möglich sind.

Ich kann mir kaum vorstellen, dass ihr das händisch rechnen sollt. Von daher reiche doch bei deiner nächsten Rückfrage mal noch nähere Informationen nach, in welchem Kontext du diese Aufgabe bekommen hast.

Für den Anfang kann ich dir wie gesagt versichern, dass wenigstens die Zeilen linear unabhängig sind und man definitiv mit zwei Parametern zur Darstellung der Lösungsmenge auskommt.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
GLS unterbestimmt, nur positiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 So 26.02.2017
Autor: DirkMathe

Hallo,
Danke für die schnelle Antwort.
Es geht um ein Problem aus der technischen Mechanik, genauer: ob ein Körper mit Seilkräften an einem Ort im Raum gehalten werden kann (statisches Gleichgewicht) oder nicht. Und da die Seilkräfte ja nur auf Zug arbeiten können müssen die Lösungen positiv bleiben.
Zur Lösung können alle Hilfsmittel herangezogen werden.
Gibt es denn irgendwelche Programme, die das lösen können bzw. gibt es eine Methode die, das ausprobieren überflüssig macht?

Bezug
                        
Bezug
GLS unterbestimmt, nur positiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 So 26.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

man könnte mal über einen Ansatz mit dem Simplex-Algorithmus oder zumindest über Pivotisierung nachdenken.
Heute komme ich da aber aus zeitlichen Gründen nicht mehr dazu.

Kennst du Mathcad Prime? Damit könnte man es in einem Lösungsblock versuchen. Die Express-Version gibt es ja gratis, und die hat 30 Tage volle Funktionalität...

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
GLS unterbestimmt, nur positiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 So 26.02.2017
Autor: DirkMathe

Vielen Dank für die Anregung, ich kenne das Programm bis jetzt nicht aber ich werde mal schauen ob ich mich da reinfuchsen kann. Sollte ich auf eine zufriedenstellende Lösung kommen werde ich sie hier reinstellen.

Für eine Lösung wäre ich aber auch in den nächsten noch dankbar, sofern ich nichts finde als Lösung.

Bezug
                        
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GLS unterbestimmt, nur positiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:58 Di 28.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

ganz so schnell wie versprochen ging es jetzt nicht mit einer weiteren Antwort.

Deine gepostete Aufgabe ist ja gelöst.

Ich habe ein wenig über den Simplex-Algorithmus nachgedacht. Ich bin auf diesem Gebiet kein Experte, habe aber die Einschätzung gewonnen, dass ein Ansatz darüber wenn er überhaupt möglich ist eher dem Prinzip 'Warum einfach, wenn es auch umständlich geht' gehorcht.

Dann habe ich (aus eigenem Interesse) seit längerer Zeit einmal wieder mit Lösungsblöcken in Mathcad experimentiert (ich nutze Mathcad seit vielen Jahren, aber Lösungsblöcke benötige ich eher weniger). Und na ja, man sagt dem Programm nicht umsonst nach, dass es nicht wirklich für symbolische Mathematik taugt (dafür ist es ja auch niemals konzipiert gewesen). Sprich: meine ursprüngliche Idee war ein Irrtum.

Die vernünftigste Lösung für dich wäre somit in meinen Augen ein CAS, welches lineare Gleichungssysteme symbolisch lösen kann, auch wenn sie unterbestimmt sind. Und die gute Nachricht ist, so etwas gibt es völlig umsonst in Form der Software []Maxima.

Es würde mich nicht wundern, wenn ein Maxima-Experte mit den mächtigen Hilfsmitteln dieser Software eine komplette Lösung deines Problems basteln könnte. Lösungen von LGS in Abhängigkeit von Parametern zu erhalten ist über die Befehlsfolge 'Gleichungen/Löse lineares System...' eine Sache von wenigen Mausklicks.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
GLS unterbestimmt, nur positiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 So 26.02.2017
Autor: HJKweseleit

Der Lösungsvektor heißt (auf 3 Stellen hinterm Komma gerundet):

[mm] \vektor{257,795 \\ -189,564\\ -187,015\\ 94,959\\ 67,903\\ -127,835\\ 0\\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{4,289 \\ -3,754\\ -0,281\\ 1,434\\ -3,051\\ 3,900\\ 1\\ 0} [/mm]  + [mm] s*\vektor{1,619 \\ -1,368\\0,897\\ 0,180\\ -1,075\\ 1,477\\ 0\\1} [/mm] .

Dabei müssen r und s positiv sein, damit die beiden letzten Komponenten positiv werden. Dann aber bleibt die 2. Komponente negativ. Somit gibt es die von dir gesuchte Lösung nicht.

Bezug
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