GL Orientierungsklasse < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | Für x,y [mm] \in \IR^3 [/mm] ist die Matrix [mm] M_{x,y} \in [/mm] M(3x3, [mm] \IR) [/mm] eindeuti gegeben durch die Eigenschaft, dass die Spalten x,y und x [mm] \times [/mm] y (in dieser Reihenfolge!) sind. Dabei ist x [mm] \times [/mm] y das Vektorprodukt von x und y.
Es sei
[mm] \mathcal{M}:= \{M_{x,y}| x,y \in \IR^3 (linear unabhängig) \}
[/mm]
Zeige, dass [mm] \mathcal{M} \subset GL_{3}(\IR) [/mm] und [mm] \mathcal{M} [/mm] ist Teilmenge nur eine Orientierungsklasse von [mm] GL_{3}(\IR). [/mm] |
Hallo zusammen...
ein weiteres Problem :-(
ich habe jetzt mal diese Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{x_{1} & y_{1} & x_{1} \times y_{1} \\ x_{2} & y_{2} & x_{2} \times y_{2} \\ x_{3} & y_{3} & x_{3} \times y_{3}}
[/mm]
Verstehe ich richtig, dass ich nun zeigen muss, dass diese Matrix invertiebar ist? Aber wie?
ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Für x,y [mm]\in \IR^3[/mm] ist die Matrix [mm]M_{x,y} \in[/mm] M(3x3, [mm]\IR)[/mm]
> eindeuti gegeben durch die Eigenschaft, dass die Spalten
> x,y und x [mm]\times[/mm] y (in dieser Reihenfolge!) sind. Dabei ist
> x [mm]\times[/mm] y das Vektorprodukt von x und y.
>
> Es sei
>
> [mm]\mathcal{M}:= \{M_{x,y}| x,y \in \IR^3 (linear unabhängig) \}[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]\mathcal{M} \subset GL_{3}(\IR)[/mm] und [mm]\mathcal{M}[/mm]
> ist Teilmenge nur eine Orientierungsklasse von
> [mm]GL_{3}(\IR).[/mm]
> Hallo zusammen...
>
> ein weiteres Problem :-(
>
> ich habe jetzt mal diese Matrix aufgestellt:
>
> [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{1} \times y_{1} \\ x_{2} & y_{2} & x_{2} \times y_{2} \\ x_{3} & y_{3} & x_{3} \times y_{3}}[/mm]
>
>
> Verstehe ich richtig, dass ich nun zeigen muss, dass diese
> Matrix invertiebar ist? Aber wie?
Ja Du sollst die Invertierbarkeit zeigen. Was in der 3. Spalte Deiner Matrix steht ist Unsinn. In der 3. Spalte stehen die Koordinaten von x [mm] \times [/mm] y !!
Die Invertiebarkeit der Matrix kannst Du zeigen , indem Du nachweist, dass die Spalten linear unabhängig sind. Mach also den Ansatz:
0= [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] y+ [mm] \gamma(x \times [/mm] y)
Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm] \times [/mm] y senkrecht auf x und y steht.
>
> ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Ja Du sollst die Invertierbarkeit zeigen. Was in der 3.
> Spalte Deiner Matrix steht ist Unsinn. In der 3. Spalte
> stehen die Koordinaten von x [mm]\times[/mm] y !!
Da hast du recht, weiss auch nicht was ich mir dabei überlegt habe  also die Matrix wäre [mm] \pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}} [/mm]
>
>
> Die Invertiebarkeit der Matrix kannst Du zeigen , indem Du
> nachweist, dass die Spalten linear unabhängig sind. Mach
> also den Ansatz:
Meinst Du nicht eher die Zeilen? Oder wirklich die Spalten? Das macht für mich jetzt eben gar keinen Sinn
>
> 0= [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] y+ [mm]\gamma(x \times[/mm] y)
>
> Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch
> das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm]\times[/mm] y
> senkrecht auf x und y steht.
>
>
> >
> > ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ja Du sollst die Invertierbarkeit zeigen. Was in der 3.
> > Spalte Deiner Matrix steht ist Unsinn. In der 3. Spalte
> > stehen die Koordinaten von x [mm]\times[/mm] y !!
>
> Da hast du recht, weiss auch nicht was ich mir dabei
> überlegt habe also die Matrix wäre [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
>
> >
> >
> > Die Invertiebarkeit der Matrix kannst Du zeigen , indem Du
> > nachweist, dass die Spalten linear unabhängig sind. Mach
> > also den Ansatz:
>
> Meinst Du nicht eher die Zeilen? Oder wirklich die Spalten?
> Das macht für mich jetzt eben gar keinen Sinn
Du kannst natürlich auch die Spalten nehmen, denn für eine matrix gilt : Spaltenrang = Zeilenrang. Wenn Du in Deinem Fall nachweisen kannst, dass der Rang Deiner Matrix = 3 ist bist Du fertig. Dennoch würde ich die Spalten nehmen, denn die Spalten sind gerade die Vektoren x, y und x [mm] \times [/mm] y.
Eine weitere Möglichkeit wäre: zeige det [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm] [mm] \not= [/mm] 0.
FRED
> >
> > 0= [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] y+ [mm]\gamma(x \times[/mm] y)
> >
> > Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch
> > das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm]\times[/mm] y
> > senkrecht auf x und y steht.
> >
> >
> > >
> > > ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> > Ja Du sollst die Invertierbarkeit zeigen. Was in der 3.
> > > Spalte Deiner Matrix steht ist Unsinn. In der 3. Spalte
> > > stehen die Koordinaten von x [mm]\times[/mm] y !!
> >
> > Da hast du recht, weiss auch nicht was ich mir dabei
> > überlegt habe also die Matrix wäre [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Die Invertiebarkeit der Matrix kannst Du zeigen , indem Du
> > > nachweist, dass die Spalten linear unabhängig sind. Mach
> > > also den Ansatz:
> >
> > Meinst Du nicht eher die Zeilen? Oder wirklich die
> Spalten?
> > Das macht für mich jetzt eben gar keinen Sinn
>
>
> Du kannst natürlich auch die Spalten nehmen, denn für eine
> matrix gilt : Spaltenrang = Zeilenrang. Wenn Du in Deinem
> Fall nachweisen kannst, dass der Rang Deiner Matrix = 3 ist
> bist Du fertig. Dennoch würde ich die Spalten nehmen, denn
> die Spalten sind gerade die Vektoren x, y und x [mm]\times[/mm] y.
darf ich was dummes fragen? ich blättere mein Buch von vorn nach hinten und ich weiss es sollte irgendwo stehen, aber ich finde es nicht! muss ich zeigen, dass sie linear unabhängig sind, damit ich sagen kann dass sie rang =3 haben? und noch eine verständnisfrage zur aufgabe, es steht ja, dass die [mm] \mathcal{M} [/mm] linear unabhängig sind. weisst du was ich meine? wieso muss ich das zeigen, wenn es vorgegeben ist?
>
>
>
> Eine weitere Möglichkeit wäre: zeige det [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
> [mm]\not=[/mm] 0.
>
> FRED
>
>
>
> > >
> > > 0= [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] y+ [mm]\gamma(x \times[/mm] y)
> > >
> > > Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch
> > > das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm]\times[/mm] y
> > > senkrecht auf x und y steht.
> > >
> > >
> > > >
> > > > ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> > > Ja Du sollst die Invertierbarkeit zeigen. Was in der 3.
> > > > Spalte Deiner Matrix steht ist Unsinn. In der 3. Spalte
> > > > stehen die Koordinaten von x [mm]\times[/mm] y !!
> > >
> > > Da hast du recht, weiss auch nicht was ich mir dabei
> > > überlegt habe also die Matrix wäre [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > >
> > > > Die Invertiebarkeit der Matrix kannst Du zeigen , indem Du
> > > > nachweist, dass die Spalten linear unabhängig sind. Mach
> > > > also den Ansatz:
> > >
> > > Meinst Du nicht eher die Zeilen? Oder wirklich die
> > Spalten?
> > > Das macht für mich jetzt eben gar keinen Sinn
> >
> >
> > Du kannst natürlich auch die Spalten nehmen, denn für eine
> > matrix gilt : Spaltenrang = Zeilenrang. Wenn Du in Deinem
> > Fall nachweisen kannst, dass der Rang Deiner Matrix = 3 ist
> > bist Du fertig. Dennoch würde ich die Spalten nehmen, denn
> > die Spalten sind gerade die Vektoren x, y und x [mm]\times[/mm] y.
>
> darf ich was dummes fragen? ich blättere mein Buch von vorn
> nach hinten und ich weiss es sollte irgendwo stehen, aber
> ich finde es nicht! muss ich zeigen, dass sie linear
> unabhängig sind, damit ich sagen kann dass sie rang =3
Ja so kannst Du es zeigen
> haben? und noch eine verständnisfrage zur aufgabe, es steht
> ja, dass die [mm]\mathcal{M}[/mm] linear unabhängig sind. weisst du
Nicht [mm] \mathcal{M} [/mm] ist linear unabhängig, sondern die Vektoren x und y
Die Aussage der Aufgabe ist anschaulich eigentlich klar: x und y sind linear unabhängig und x [mm] \times [/mm] y steht senkrecht auf xund y, also ......
FRED
> was ich meine? wieso muss ich das zeigen, wenn es
> vorgegeben ist?
> >
> >
> >
> > Eine weitere Möglichkeit wäre: zeige det [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
> > [mm]\not=[/mm] 0.
> >
> > FRED
> >
> >
> >
> > > >
> > > > 0= [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] y+ [mm]\gamma(x \times[/mm] y)
> > > >
> > > > Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch
> > > > das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm]\times[/mm] y
> > > > senkrecht auf x und y steht.
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
> > >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
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> Nicht [mm]\mathcal{M}[/mm] ist linear unabhängig, sondern die
> Vektoren x und y
>
>
> Die Aussage der Aufgabe ist anschaulich eigentlich klar: x
> und y sind linear unabhängig und x [mm]\times[/mm] y steht senkrecht
> auf xund y, also ......
Ach stimmt! ist es dann nicht ganz einfach, wenn ich weiss das der vektor x linear unabhängig zu vektor y ist, dann ist klar (per definition des vektorprodukts), dass auch das vektorprodukt lin. unabhängig ist von x und y. (es steht ja senkrecht zu x und y). dann habe ich ja schon gezeigt, dass sie lin. unabhängig sind. daraus folgt dann, dass der zeilen- und spalten- rang(M) = 3 ist und somit ist die Matrix invertierbar, sprich [mm] \in GL_{3}(\IR) [/mm] ist.
ist meine überlegung richtig?
>
>
> FRED
>
>
> > was ich meine? wieso muss ich das zeigen, wenn es
> > vorgegeben ist?
> > >
> > >
> > >
> > > Eine weitere Möglichkeit wäre: zeige det [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
> > > [mm]\not=[/mm] 0.
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > 0= [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] y+ [mm]\gamma(x \times[/mm] y)
> > > > >
> > > > > Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch
> > > > > das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm]\times[/mm] y
> > > > > senkrecht auf x und y steht.
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
> > > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
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> >
> > Nicht [mm]\mathcal{M}[/mm] ist linear unabhängig, sondern die
> > Vektoren x und y
> >
> >
> > Die Aussage der Aufgabe ist anschaulich eigentlich klar: x
> > und y sind linear unabhängig und x [mm]\times[/mm] y steht senkrecht
> > auf xund y, also ......
>
> Ach stimmt! ist es dann nicht ganz einfach, wenn ich weiss
> das der vektor x linear unabhängig zu vektor y ist, dann
> ist klar (per definition des vektorprodukts), dass auch das
> vektorprodukt lin. unabhängig ist von x und y. (es steht ja
> senkrecht zu x und y). dann habe ich ja schon gezeigt, dass
> sie lin. unabhängig sind. daraus folgt dann, dass der
> zeilen- und spalten- rang(M) = 3 ist und somit ist die
> Matrix invertierbar, sprich [mm]\in GL_{3}(\IR)[/mm] ist.
>
> ist meine überlegung richtig?
Ja
FRED
> >
> >
> > FRED
> >
> >
> > > was ich meine? wieso muss ich das zeigen, wenn es
> > > vorgegeben ist?
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Eine weitere Möglichkeit wäre: zeige det [mm]\pmat{x_{1} & y_{1} & x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} \\ x_{2} & y_{2} & x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3} \\ x_{3} & y_{3} & x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}}[/mm]
> > > > [mm]\not=[/mm] 0.
> > > >
> > > > FRED
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > 0= [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] y+ [mm]\gamma(x \times[/mm] y)
> > > > > >
> > > > > > Verwende die Rechenregeln des Vektorprodukts, ziehe noch
> > > > > > das Skalarprodukt hinzu und beachte, dass x [mm]\times[/mm] y
> > > > > > senkrecht auf x und y steht.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
> > > > >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
> >
> > >
> > > Nicht [mm]\mathcal{M}[/mm] ist linear unabhängig, sondern die
> > > Vektoren x und y
> > >
> > >
> > > Die Aussage der Aufgabe ist anschaulich eigentlich klar: x
> > > und y sind linear unabhängig und x [mm]\times[/mm] y steht senkrecht
> > > auf xund y, also ......
> >
> > Ach stimmt! ist es dann nicht ganz einfach, wenn ich weiss
> > das der vektor x linear unabhängig zu vektor y ist, dann
> > ist klar (per definition des vektorprodukts), dass auch das
> > vektorprodukt lin. unabhängig ist von x und y. (es steht ja
> > senkrecht zu x und y). dann habe ich ja schon gezeigt, dass
> > sie lin. unabhängig sind. daraus folgt dann, dass der
> > zeilen- und spalten- rang(M) = 3 ist und somit ist die
> > Matrix invertierbar, sprich [mm]\in GL_{3}(\IR)[/mm] ist.
> >
> > ist meine überlegung richtig?
>
>
> Ja
dann ist das korrekt, dass ich nicht mehr zeigen muss, was wir vorher besprochen haben?
Zu der zweiten frage der aufgabe "zeige, [mm] dass\mathcal{M} [/mm] eine Teilmenge nur einer Orientierungsklasse von [mm] GL_{3}(\IR) [/mm] ist
meiner meinung nach muss ich jetzt nur zeigen, ob die determinante grösser oder kleiner 0 ist, um zu entscheiden ob es in [mm] GL_{-}(\IR) [/mm] oder [mm] GL_{+}(\IR) [/mm] gehört.
korrekt?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Korrekt
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Danke Dir für Deinen Support!
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