GPS und Kugelkoordinaten < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe hier eine ABI-Aufgabe, die sicherlich einige von euch kennen werden. Diese Aufgabe soll mir als Grundlage für meine Präsentationsleistung dienen. Da wir das Thema nur leicht angeschnitten haben, sind bei mir noch viele Fragen offen.. Ich hoffe mir wird hier reichlich geholfen und bitte um das Verständnis für meine vielen offenen Fragen.. Ich bitte euch darum, meine Fragen zu lesen und wenn jemand Antowrten darauf weiß sie mir mitzuteilen..
liebe grüße das unwissendeM
http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/ag/aa/HH2007lk5%20-%20GPS.pdf |
Bei Aufgabe b ist mir nicht klar, warum man die Gleichungen voneinander abziehen muss, um auf die Koordinatengleichung der Ebene zukommen.
Des weiteren frage ich mich, wo diese Ebene liegt. Handelt es sich um die Schnittkreisebene von ERDE und SAT1, sprich die Fläche zwischen den beiden Schnittpunkten von ERDE und SAT1 ?
Bei c frage ich mich wie man den Gauß-Algorithmus bei den beiden Gleichungen der Ebenen anwendet und ob man das ganze auch mit anderen Zahlen, sprich kleinere Zahlen und ohne Brüche ausrechnen kann. Ich habe nämlich durch die Kugelgleichung andere Werte für die Kugeloberfläche von SAT1 und SAT2 raus. Wenn ihr mir sagt, wie ich den Gauß-Algorithmus anwenden kann, sollte das Aufstellen der Parameterform für c kein Problem darstellen.
Bei d frage ich mich, warum man die Parameterform hoch 2 setzt. Liegt das vielleicht an der Kugelgleichung und daran, dass man weiß, dass sich die Person auf der Erdoberfläche (also =1²) und auf der Schnittgraden befinden muss (sprich Parameterform) ?
Des Weiteren bräuchte ich eine kleine Übersicht, warum man so die Position der Person herausfindet. Also wieso gehe ich jetzt so vor und jetzt so.
Bei e und f kommen wir zu den eigentlichen Aufgaben meiner Präsentationsleistung.
Erstmals muss ich Wissen, was [mm] \beta=Arcsin(z) [/mm] und [mm] \lamda=Arcsin(\gamma/cos\beta) [/mm] bedeutet.
Die Formel für die Umformung von geographischen koordinaten zu kartesischen koordinaten ist mir klar. Das erste in der Klammer steht für X das zweite für Y und das dritte für Z. in diese formel setze ich also die möglischen Positionen ein und erhalte durch Auflösen von [mm] \
[/mm]
lamda und [mm] \beta [/mm] die kartesischen koordinaten für die möglichen positionen. Warum nur die Erste Position in Frage kommt ist auch klar. und die Formel für die Entfernung von der eigentlichen Position nach Hamburg ist auch deutlich und wahrscheinlich für jede Entfernung von kartesichen koordinaten gleich?!
Bei f blicke ich gar nicht mehr durch und habe noch nichtmal anhaltspunkte.. ich weiß nur das es was mit kugelkoordinaten zu tun hat..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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falls ihr jemanden kennt, der das kann und mit dem man sich hier schriftlich mal auseinander setzen kann, könnt ihr mir das gerne auch melden. entweder privat oder in einen beitrag schreiben, sofern das erlaubt ist.
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> Bei Aufgabe b ist mir nicht klar, warum man die
> Gleichungen voneinander abziehen muss, um auf die
> Koordinatengleichung der Ebene zukommen.
Wenn du in der ersten Gleichung die Klammern auflöst, stehen drei quadratische Terme da. [mm] x_1^2, x_2^2 [/mm] und [mm] x_3^2
[/mm]
Das Subtrahieren der zweiten Gleichung elliminiert diese quadratischen Teile.
> Des weiteren frage ich mich, wo diese Ebene liegt. Handelt
> es sich um die Schnittkreisebene von ERDE und SAT1, sprich
> die Fläche zwischen den beiden Schnittpunkten von ERDE und
> SAT1 ?
Ja, es ist die Fläche. Stellt man sich Erde und Satelitenkugel als zwei Knetkugeln vor, die zusammengedrückt werden, ist die entstehende platte Fläche die Ebene, von der hier die Rede ist.
>
> Bei c frage ich mich wie man den Gauß-Algorithmus bei den
> beiden Gleichungen der Ebenen anwendet und ob man das ganze
> auch mit anderen Zahlen, sprich kleinere Zahlen und ohne
> Brüche ausrechnen kann. Ich habe nämlich durch die
> Kugelgleichung andere Werte für die Kugeloberfläche von
> SAT1 und SAT2 raus. Wenn ihr mir sagt, wie ich den
> Gauß-Algorithmus anwenden kann, sollte das Aufstellen der
> Parameterform für c kein Problem darstellen.
>
Es geht um das Lösen eines unterbestimmten linearen Gleichungssystems. Das kann man beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus machen - muss man aber nicht. Wichtig ist, dass eine Geradengleichung ermittelt wird.
> Bei d frage ich mich, warum man die Parameterform hoch 2
> setzt. Liegt das vielleicht an der Kugelgleichung und
> daran, dass man weiß, dass sich die Person auf der
> Erdoberfläche (also =1²) und auf der Schnittgraden
> befinden muss (sprich Parameterform) ?
> Des Weiteren bräuchte ich eine kleine Übersicht, warum
> man so die Position der Person herausfindet. Also wieso
> gehe ich jetzt so vor und jetzt so.
>
Hier kann ich dir auch noch nicht helfen. Das kann ich zur Zeit noch nicht durchsteigen.
> Bei e und f kommen wir zu den eigentlichen Aufgaben meiner
> Präsentationsleistung.
> Erstmals muss ich Wissen, was [mm]\beta=Arcsin(z)[/mm] und
> [mm]\lamda=Arcsin(\gamma/cos\beta)[/mm] bedeutet.
> Die Formel für die Umformung von geographischen
> koordinaten zu kartesischen koordinaten ist mir klar. Das
> erste in der Klammer steht für X das zweite für Y und das
> dritte für Z. in diese formel setze ich also die
> möglischen Positionen ein und erhalte durch Auflösen von
> [mm]\[/mm]
> lamda und [mm]\beta[/mm] die kartesischen koordinaten für die
> möglichen positionen. Warum nur die Erste Position in
> Frage kommt ist auch klar. und die Formel für die
> Entfernung von der eigentlichen Position nach Hamburg ist
> auch deutlich und wahrscheinlich für jede Entfernung von
> kartesichen koordinaten gleich?!
>
> Bei f blicke ich gar nicht mehr durch und habe noch
> nichtmal anhaltspunkte.. ich weiß nur das es was mit
> kugelkoordinaten zu tun hat..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Auch mit dem Rest kann ich mich erstmal nicht weiter beschäftigen.
Aber eine Anmerkung zu dem pdf hätte ich noch: Gleich auf der ersten Seite noch in der Erklärung wird erklärt, wo die Einheitspunkte liegen. Der auf [mm] x_2 [/mm] liegt bei 0° Breite und 90° östlicher Länge. Sonst ergibt das keinen Sinn.
Wo hast du das Dokument her? Der Weg erscheint mir auf den ersten Blick etwas kompliziert. Schließlich kann man auch einfach die drei Kugelgleichungen gleichsetzen und spart sich den Gauß-Algorithmus. Den Gedanken muss ich aber erst noch ausfeilen.
Viel Erfolg,
[mm] \pi\mathrm{-Roland.}
[/mm]
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Danke schon mal für die schnelle und bedeutsame hilfe.
Das Dokument stammt ursprünglich aus dem Mathe Buch "schriftliche Abiturprüfung - Teil 2: lin. Algebra/Analyt. Geometrie"
Es soll also eine ganz normal schriftliche Abi-Aufgabe sein, die wahrscheinlich in der Lösung noch Lücken offen lässt, wie es in so gut wie jedem Mathe Buch der Fall ist.
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bei b ist mir nun klar, warum man die gleichungen subtrahiert. ich hoffe ich habe das auch richtig verstanden. man subtrahiert die gleichungen voneinander, um die quadratischen terme los zu werden, um dann so auf eine ebenengleichung zukommen oder ?
und diese ebenengleichung beschreibt dann die schnittebene von Erde und sat1 ?!
bei c würde ich den gauß-algorithmus anwenden, wie ich es in der schule gelernt habe. allerdings bin ich auf ein anderes ergebnis gekommen, als in der lösung. soll ich die lösung von mir mit schritten hier mal rein posten oder ist es möglich das man da auf andere werte und im endeffekt auch auf eine andere parameterform kommt ?
und der rest bleibt für mich immernoch ein großes rätsel.
liebe grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Fr 06.01.2012 | | Autor: | chrisno |
> bei b ist mir nun klar, warum man die gleichungen
> subtrahiert. ich hoffe ich habe das auch richtig
> verstanden. man subtrahiert die gleichungen voneinander, um
> die quadratischen terme los zu werden, um dann so auf eine
> ebenengleichung zukommen oder ?
> und diese ebenengleichung beschreibt dann die schnittebene
> von Erde und sat1 ?!
ja (nicht sat1,sondern der Punkte mit gleicher Entfernung von sat1.)
>
> bei c würde ich den gauß-algorithmus anwenden, wie ich es
> in der schule gelernt habe. allerdings bin ich auf ein
> anderes ergebnis gekommen, als in der lösung. soll ich die
> lösung von mir mit schritten hier mal rein posten oder ist
> es möglich das man da auf andere werte und im endeffekt
> auch auf eine andere parameterform kommt ?
Vergleiche die beiden Geradengleichungen. Ist es die selbe?
>
> und der rest bleibt für mich immernoch ein großes
> rätsel.
c)
Der Abstand des Punktes P vom Ursprung ist 1, da er auf der Erdoberfläche liegt.
Der Abstand berechnet sich aus der Wurzel der Summe der Koordinatenquadrate. Die Wurzel fällt weg, da der Wert 1 ist. Die Koordinaten des Punktes müssen aus der Parametergleichung geholt werden.
Die Schreibweise mit dem Quadrat der Parameterform bedeutet, dass das Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst berechnet werden soll.
d) Was ist Deine Frage? DU schreibst eigentlich alles hin. Arcsin wird häufig auch als [mm] $\sin^{-1}$ [/mm] geschrieben, damit die mathematische Notation noch etwas weniger logisch ist.
f)
Beide Punkte liegen auf einem Großkreis. Die Bogenlänge auf dem Großkreis ist der Abstand. Diese berechnet sich aus Winkel mal Radius.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Sa 07.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/ag/aa/HH2007lk5%20-%20GPS.pdf
> Bei Aufgabe b ist mir nicht klar, warum man die
> Gleichungen voneinander abziehen muss, um auf die
> Koordinatengleichung der Ebene zukommen.
> Des weiteren frage ich mich, wo diese Ebene liegt. Handelt
> es sich um die Schnittkreisebene von ERDE und SAT1, sprich
> die Fläche zwischen den beiden Schnittpunkten von ERDE und
> SAT1 ?
SAT1 "schneudet die erde nicht. man hat um Sat1 in gedanken eine kugel mit Radius d1 gelegt, auf der alle punkte liegen, die von sat1 den abstand d1 haben. irgendwo auf dieser kugel befindet sich der beobachter B. diese Kugel "schneidet! die erde in einem Kreis auf dem b sein muss. du setzt die 2 kugelgleichungen in der form [mm] p^2-r^2=0 [/mm] gleich wenn du dann hinsiehst hast du auf beiden Seiten [mm] x_1^2+x_2^2+x_3^2 [/mm] wenn du sie auf eine seite bringst sind sie weg, dasselbe erreichst du, indem du die 2 gl. voneinander abziehst.
Ergebnis : nicht der Schnittkreis, sondern die Ebene , in der er liegt.
wenn man dasselbe mit der Kugel durch Sat 2 macht kriegt man eine zweite Schnittebene
>
> Bei c frage ich mich wie man den Gauß-Algorithmus bei den
> beiden Gleichungen der Ebenen anwendet und ob man das ganze
> auch mit anderen Zahlen, sprich kleinere Zahlen und ohne
> Brüche ausrechnen kann. Ich habe nämlich durch die
> Kugelgleichung andere Werte für die Kugeloberfläche von
> SAT1 und SAT2 raus.
man kann immer alle gleichungen mit dem Hauptnenner multiplizieren, hat dann die brüche weg. dann kann man evt. noch durch einen gemeinsamen Teiler "kürzen" aber keine brüche und sicher kleine zahlen geht meistens nicht.
sollst du andere daten verwenden?
>Wenn ihr mir sagt, wie ich den
> Gauß-Algorithmus anwenden kann, sollte das Aufstellen der
> Parameterform für c kein Problem darstellen.
ob man das mit Gauss oder anders macht ist egal, die haupsache du schreibst 2 der x als von dem dritten abhängig, das kannst du dann beliebig nennen, s ist besser als x.
jetz hast du die gerade, die in den 2 Ebenen in denen die Schnittkreise liegen geht, sie geht auch durch die Erde und wo sie die Erdoberfläche schneidet, kann B sein, denn die 2 punkte sind sowohl auf der erde, als auch in entfernung d1 und d2 von den 2 Satteliten.
alle Punkte P auf der Erde sind durch [mm] P^2=1 [/mm] festgelegt . alle punkte auf der geraden urch P=a+s*b (a und b vektoren s parameter.
für die Punkte die auf dder erde UND DER GERADEN LIEGEN müssen also beide gleichungen gelten, anders gesagt, ich setz alle punkte der geraden in die Erkugelgk ein und bestimme welche stimmen.
das sind dann endlich die 2 Punkte auf der Erde die Abstand d1 und d2 von den 2 Sats haben.
Kugelkoordinaten machst du dir am besten an Schnittzeichnungen der erde klar, oder an nem Globus.
> Bei d frage ich mich, warum man die Parameterform hoch 2
> setzt. Liegt das vielleicht an der Kugelgleichung und
> daran, dass man weiß, dass sich die Person auf der
> Erdoberfläche (also =1²) und auf der Schnittgraden
> befinden muss (sprich Parameterform) ?
> Des Weiteren bräuchte ich eine kleine Übersicht, warum
> man so die Position der Person herausfindet. Also wieso
> gehe ich jetzt so vor und jetzt so.
>
> Bei e und f kommen wir zu den eigentlichen Aufgaben meiner
> Präsentationsleistung.
> Erstmals muss ich Wissen, was [mm]\beta=Arcsin(z)[/mm] und
> [mm]\lamda=Arcsin(\gamma/cos\beta)[/mm] bedeutet.
arcsin ist die Umkehrfkt zu sin. wenn du einen [mm] Winkel\alpha [/mm] kennst kannst du oder dein TR den [mm] sin(\alpha) [/mm] ausrechnen. wenn du nicht den winkel kennst sonder nur den sin des Winkels, dann liefert arcsin den Winkel alos [mm] arcsin(sin(alpha)=\alpha [/mm] entsprechend arccos. auf dem TR ist entweder arcsin und arccos oder sie werden auch [mm] cos^{-1} sin^{-1} [/mm] oder mit 2ndf sin gefunden.
Gruss leduart
> Die Formel für die Umformung von geographischen
> koordinaten zu kartesischen koordinaten ist mir klar. Das
> erste in der Klammer steht für X das zweite für Y und das
> dritte für Z. in diese formel setze ich also die
> möglischen Positionen ein und erhalte durch Auflösen von
> [mm]\[/mm]
> lamda und [mm]\beta[/mm] die kartesischen koordinaten für die
> möglichen positionen. Warum nur die Erste Position in
> Frage kommt ist auch klar. und die Formel für die
> Entfernung von der eigentlichen Position nach Hamburg ist
> auch deutlich und wahrscheinlich für jede Entfernung von
> kartesichen koordinaten gleich?!
>
> Bei f blicke ich gar nicht mehr durch und habe noch
> nichtmal anhaltspunkte.. ich weiß nur das es was mit
> kugelkoordinaten zu tun hat..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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kann man bei aufgabe b auch ohne eine subtraktion zum ziel kommen ?
ich habe nämlich einfach die erdkugelgleichung mit der sat1kugelgleichung und 0 gleichgesetzt und bin dann am ende auch auf das ergebnis bekommen. allerdings habe ich dann am ende ja immernoch die =0 stehen.
meine lösung für b würde so aussehen: 4x+4y+6z=7,76=0
ist das so auch richtig ? und kann ich die 0 bei meinem vortrag nicht einfach weglassen ? oder bin ich so zufälligerweise nur auf ein richtiges ergebnis gekommen ?
bei aufgabe c meinte ich eigentlich ob es möglich ist einer andere parameterform der schnittkreisebene zu bekommen ? wenn ich nämlich mit dem gauß-algotithmus arbeite kommt bei mir: [mm] \vektor{0,675 \\ -0,235 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{8 \\ -20 \\ 8} [/mm] heraus. sind das nicht alles variable, sodass sie eh alle voneinander abhängig sind und man da auch ein anderes ergebnis herausbekommen kann ??!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 So 08.01.2012 | | Autor: | chrisno |
> kann man bei aufgabe b auch ohne eine subtraktion zum ziel
> kommen ?
> ich habe nämlich einfach die erdkugelgleichung mit der
> sat1kugelgleichung und 0 gleichgesetzt und bin dann am ende
> auch auf das ergebnis bekommen. allerdings habe ich dann am
> ende ja immernoch die =0 stehen.
Ich verstehe den Teil mit "und 0" nicht. Natürlich gibt es unterschieliche Wege zum Ziel zu kommen.
> meine lösung für b würde so aussehen: 4x+4y+6z=7,76=0
> ist das so auch richtig ? und kann ich die 0 bei meinem
> vortrag nicht einfach weglassen ? oder bin ich so
> zufälligerweise nur auf ein richtiges ergebnis gekommen ?
7,76 = 0 ist Quatsch. Da solltest Du das = 0 weglassen. Wo soll das herkommen.
Deine Geradengleichung steht doch genau so in der Musterlösung. Du musst nur noch 17 auf beiden Seiten addieren.
>
> bei aufgabe c meinte ich eigentlich ob es möglich ist
> einer andere parameterform der schnittkreisebene zu
> bekommen ? wenn ich nämlich mit dem gauß-algotithmus
> arbeite kommt bei mir: [mm]\vektor{0,675 \\ -0,235 \\ 1}[/mm] + r
> [mm]\vektor{8 \\ -20 \\ 8}[/mm] heraus. sind das nicht alles
> variable, sodass sie eh alle voneinander abhängig sind und
> man da auch ein anderes ergebnis herausbekommen kann ??!!
Deinen Text verstehe ich nicht. Deine Gerade und die in der Musterlösung sind gleich. Probe:
Sind die Richtungsvektoren parallel? ...( ja)
Kann man einen Stützvektor durch die andere Geradengleichung erzeugen? .... (ja)
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