GW, Stetigk. Differenz. prüfen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe noch eine Frage zum Vorgehen, wenn ich prüfen will, ob eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert hat/ stetig ist/ differenzierbar ist.
Bisher habe ich es so gemacht, bin mir aber unsicher, ob das richtig ist.
1) Grenzwert an Stelle [mm] x_0.
[/mm]
Ich wähle mir zwei Folgen, die von links und rechts gegen [mm] x_0 [/mm] konvergieren, z.B. [mm] a_n=x_0+\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_n=x_0- \bruch{1}{n}. [/mm] Von beiden Folgen bilde ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n). [/mm] Wenn beide gleich sind, hat f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] einen Grenzwert.
2.) Stetigkeit an [mm] x_0.
[/mm]
Ich gehe genauso vor wie beim Grenzwert, prüfe aber noch, ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0). [/mm] Ist das gegeben, ist f an [mm] x_0 [/mm] stetig.
3.) Differenzierbarkeit an [mm] x_0.
[/mm]
Ich berechne mit dem Differenzenquotient den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert, also [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] einmal für [mm] xx_0. [/mm] Stimmen beide überein, ist f an [mm] x_0 [/mm] differenzierbar.
Stimmt meine Vorgehensweise so? Ich habe immer mal wieder andere Lösungswege gesehen und bin mir unsicher, weil ich am Mittwoch Examen schreibe.
Es wäre toll, wenn ihr da mal kurz draufgucken könntet. Ich werde heute Abend auf eure Antworten eingehen, da ich jetzt zur Arbeit muss.
Liebe Grüße und vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mo 21.02.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> ich habe noch eine Frage zum Vorgehen, wenn ich prüfen
> will, ob eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert hat/
> stetig ist/ differenzierbar ist.
> Bisher habe ich es so gemacht, bin mir aber unsicher, ob
> das richtig ist.
>
> 1) Grenzwert an Stelle [mm]x_0.[/mm]
> Ich wähle mir zwei Folgen, die von links und rechts gegen
> [mm]x_0[/mm] konvergieren, z.B. [mm]a_n=x_0+\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_n=x_0- \bruch{1}{n}.[/mm]
> Von beiden Folgen bilde ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm]
> bzw. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n).[/mm] Wenn beide gleich
> sind, hat f an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen Grenzwert.
So stimmt das nicht, es muß für beliebige, d. h. alle Folgen gelten. Und das ist dann auch in 2) und 3) so. Daß dein Vorschlag nicht reicht, kannst du dir an der Funktion, die = 0 auf [mm] \IQ [/mm] und = 1 sonst ist, klarmachen.
> 2.) Stetigkeit an [mm]x_0.[/mm]
> Ich gehe genauso vor wie beim Grenzwert, prüfe aber noch,
> ob [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm] Ist das gegeben, ist f
> an [mm]x_0[/mm] stetig.
>
> 3.) Differenzierbarkeit an [mm]x_0.[/mm]
>
> Ich berechne mit dem Differenzenquotient den linksseitigen
> und rechtsseitigen Grenzwert, also [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> einmal für [mm]xx_0.[/mm] Stimmen beide
> überein, ist f an [mm]x_0[/mm] differenzierbar.
>
> Stimmt meine Vorgehensweise so? Ich habe immer mal wieder
> andere Lösungswege gesehen und bin mir unsicher, weil ich
> am Mittwoch Examen schreibe.
Das wird schon klappen.
> Es wäre toll, wenn ihr da mal kurz draufgucken könntet.
> Ich werde heute Abend auf eure Antworten eingehen, da ich
> jetzt zur Arbeit muss.
Also in allen 3 Fällen beliebige Folge von rechts und beliebige Folge von links.
Gruß
Dieter
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Guten Morgen!
Vielen Dank für eure Antworten!
> > ich habe noch eine Frage zum Vorgehen, wenn ich prüfen
> > will, ob eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert hat/
> > stetig ist/ differenzierbar ist.
> > Bisher habe ich es so gemacht, bin mir aber unsicher, ob
> > das richtig ist.
> >
> > 1) Grenzwert an Stelle [mm]x_0.[/mm]
> > Ich wähle mir zwei Folgen, die von links und rechts
> gegen
> > [mm]x_0[/mm] konvergieren, z.B. [mm]a_n=x_0+\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_n=x_0- \bruch{1}{n}.[/mm]
> > Von beiden Folgen bilde ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm]
> > bzw. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n).[/mm] Wenn beide gleich
> > sind, hat f an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen Grenzwert.
>
> So stimmt das nicht, es muß für beliebige, d. h. alle
> Folgen gelten. Und das ist dann auch in 2) und 3) so. Daß
> dein Vorschlag nicht reicht, kannst du dir an der Funktion,
> die = 0 auf [mm]\IQ[/mm] und = 1 sonst ist, klarmachen.
Das habe ich probiert, ich weiß aber nicht, wie ich es für ALLE Folgen zeigen soll. Ich habe es jetzt so probiert:
Grenzwert an [mm] x_0:
[/mm]
Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge mit [mm] a_n \in \IQ \forall [/mm] n [mm] \in\IN [/mm] und es gelte [mm] a_n \to x_0.
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 0=0.
Sei nun [mm] b_n [/mm] eine Folge mit [mm] b_n \not\in \IQ \forall [/mm] n [mm] \in\IN [/mm] und es gelte [mm] b_n \to x_0.
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1=1.
Da 1 [mm] \not=0 [/mm] hat f an keiner Stelle einen Grenzwert.
Ich befürchte aber, dass mein Vorgehen so nicht formal richtig ist...
>
> > 2.) Stetigkeit an [mm]x_0.[/mm]
> > Ich gehe genauso vor wie beim Grenzwert, prüfe aber
> noch,
> > ob [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm] Ist das gegeben, ist f
> > an [mm]x_0[/mm] stetig.
Wenn die Stelle unstetig ist, kann ich das doch aber so zeigen, oder? Natürlich nur, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).
[/mm]
Aber wie zeige ich, dass f an einer Stelle stetig ist? Ich habe diese Aufgabe gefunden:
f bildet alle x [mm] \in\IQ [/mm] auf 2-x ab, alle x [mm] \not\in\IQ [/mm] auf x ab. Es soll bewiesen werden, dass f an -1 stetig und an 1 unstetig ist.
Meine Versuche:
[mm] x_0=-1:
[/mm]
Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge, mit [mm] a_n \in \IQ \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Außerdem gelte: [mm] a_n \to [/mm] -1.
Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(2-a_n)=2+1=3=f(-1).
[/mm]
Sei [mm] b_n [/mm] eine Folge mit [mm] a_n \not\in \IQ \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Außerdem gelte: [mm] b_n \to [/mm] -1.
Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=-1 \not=f(-1).
[/mm]
Tja, ich hätte daraus jetzt gefolgert, dass f an -1 nicht stetig ist. Wo liegt denn mein Fehler?
> >
> > 3.) Differenzierbarkeit an [mm]x_0.[/mm]
> >
> > Ich berechne mit dem Differenzenquotient den linksseitigen
> > und rechtsseitigen Grenzwert, also [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> > einmal für [mm]xx_0.[/mm] Stimmen beide
> > überein, ist f an [mm]x_0[/mm] differenzierbar.
> >
> > Stimmt meine Vorgehensweise so? Ich habe immer mal wieder
> > andere Lösungswege gesehen und bin mir unsicher, weil ich
> > am Mittwoch Examen schreibe.
>
> Das wird schon klappen.
>
> > Es wäre toll, wenn ihr da mal kurz draufgucken könntet.
> > Ich werde heute Abend auf eure Antworten eingehen, da ich
> > jetzt zur Arbeit muss.
>
> Also in allen 3 Fällen beliebige Folge von rechts und
> beliebige Folge von links.
Vielleicht können wir auch Differenzierbarkeit noch einmal an dem Beispiel von oben anwenden.
Also wieder: f bildet x [mm] \in\IQ [/mm] auf 2-x ab, x [mm] \not\in\IQ [/mm] auf x. Beweise oder widerlege: f ist differenzierbar an -1.
Meine Lösung:
Sei x [mm] \in \IQ. [/mm] Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2-x-3}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-(x+1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} [/mm] -1=-1.
Sei x [mm] \not\in\IQ. [/mm] Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x+1}{x+1}= [/mm] 1.
Da [mm] -1\not=1 [/mm] ist f an [mm] x_0=-1 [/mm] nicht differenzierbar.
Stimmt das so?
Liebe Grüße!
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> > > ich habe noch eine Frage zum Vorgehen, wenn ich prüfen
> > > will, ob eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert hat/
> > > stetig ist/ differenzierbar ist.
> > > Bisher habe ich es so gemacht, bin mir aber unsicher, ob
> > > das richtig ist.
> > >
> > > 1) Grenzwert an Stelle [mm]x_0.[/mm]
> > > Ich wähle mir zwei Folgen, die von links und rechts
> > gegen
> > > [mm]x_0[/mm] konvergieren, z.B. [mm]a_n=x_0+\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_n=x_0- \bruch{1}{n}.[/mm]
> > > Von beiden Folgen bilde ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm]
> > > bzw. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n).[/mm] Wenn beide gleich
> > > sind, hat f an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen Grenzwert.
> >
> > So stimmt das nicht, es muß für beliebige, d. h. alle
> > Folgen gelten. Und das ist dann auch in 2) und 3) so. Daß
> > dein Vorschlag nicht reicht, kannst du dir an der Funktion,
> > die = 0 auf [mm]\IQ[/mm] und = 1 sonst ist, klarmachen.
>
> Das habe ich probiert, ich weiß aber nicht, wie ich es
> für ALLE Folgen zeigen soll. Ich habe es jetzt so
> probiert:
>
> Grenzwert an [mm]x_0:[/mm]
>
> Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm] und es
> gelte [mm]a_n \to x_0.[/mm]
> Dann folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> 0=0.
>
> Sei nun [mm]b_n[/mm] eine Folge mit [mm]b_n \not\in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm]
> und es gelte [mm]b_n \to x_0.[/mm]
> Dann folgt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> 1=1.
>
> Da 1 [mm]\not=0[/mm] hat f an keiner Stelle einen Grenzwert.
>
> Ich befürchte aber, dass mein Vorgehen so nicht formal
> richtig ist...
Es fehlt noch die Bemerkung, daß es solche Folgen gibt. Aber du weißt aus der Vorl., daß in jeder Umgebung einer rationalen Zahl irrationale Zahlen liegen und umgekehrt.
> > > 2.) Stetigkeit an [mm]x_0.[/mm]
> > > Ich gehe genauso vor wie beim Grenzwert, prüfe aber
> > noch,
> > > ob [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm] Ist das gegeben, ist f
> > > an [mm]x_0[/mm] stetig.
>
> Wenn die Stelle unstetig ist, kann ich das doch aber so
> zeigen, oder? Natürlich nur, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm]
>
> Aber wie zeige ich, dass f an einer Stelle stetig ist? Ich
> habe diese Aufgabe gefunden:
>
> f bildet alle x [mm]\in\IQ[/mm] auf 2-x ab, alle x [mm]\not\in\IQ[/mm] auf x
> ab. Es soll bewiesen werden, dass f an -1 stetig und an 1
> unstetig ist.
Eher umgekehrt ...
> Meine Versuche:
> [mm]x_0=-1:[/mm]
>
> Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge, mit [mm]a_n \in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> Außerdem gelte: [mm]a_n \to[/mm] -1.
> Dann folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(2-a_n)=2+1=3=f(-1).[/mm]
>
> Sei [mm]b_n[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \not\in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> Außerdem gelte: [mm]b_n \to[/mm] -1.
> Dann folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=-1 \not=f(-1).[/mm]
>
> Tja, ich hätte daraus jetzt gefolgert, dass f an -1 nicht
> stetig ist. Wo liegt denn mein Fehler?
S. o. Aber der Ansatz ist richtig: Unstetigkeit zeigst du mit einem konkreten Gegenbeispiel.
>
> > >
> > > 3.) Differenzierbarkeit an [mm]x_0.[/mm]
> > >
> > > Ich berechne mit dem Differenzenquotient den linksseitigen
> > > und rechtsseitigen Grenzwert, also [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> > > einmal für [mm]xx_0.[/mm] Stimmen beide
> > > überein, ist f an [mm]x_0[/mm] differenzierbar.
> > >
> > > Stimmt meine Vorgehensweise so? Ich habe immer mal wieder
> > > andere Lösungswege gesehen und bin mir unsicher, weil ich
> > > am Mittwoch Examen schreibe.
> >
> > Das wird schon klappen.
> >
> > > Es wäre toll, wenn ihr da mal kurz draufgucken könntet.
> > > Ich werde heute Abend auf eure Antworten eingehen, da ich
> > > jetzt zur Arbeit muss.
> >
> > Also in allen 3 Fällen beliebige Folge von rechts und
> > beliebige Folge von links.
>
> Vielleicht können wir auch Differenzierbarkeit noch einmal
> an dem Beispiel von oben anwenden.
>
> Also wieder: f bildet x [mm]\in\IQ[/mm] auf 2-x ab, x [mm]\not\in\IQ[/mm] auf
> x. Beweise oder widerlege: f ist differenzierbar an -1.
>
> Meine Lösung:
> Sei x [mm]\in \IQ.[/mm] Dann gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2-x-3}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-(x+1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm]
> -1=-1.
>
> Sei x [mm]\not\in\IQ.[/mm] Dann gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x+1}{x+1}=[/mm]
> 1.
>
> Da [mm]-1\not=1[/mm] ist f an [mm]x_0=-1[/mm] nicht differenzierbar.
>
> Stimmt das so?
Dieses Gerechne kannst du dir an dieser Stelle sparen, weil Differenzierbarkeit Stetigkeit zur Folge hat. Die Funktion ist aber an dieser Stelle unstetig.
Hast du ein Bild der Funktion vor Augen, könntest du sie zeichnen? Das Problem hatten wir schon mal.
Gruß aus Harburg
Dieter
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Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
> > > So stimmt das nicht, es muß für beliebige, d. h. alle
> > > Folgen gelten. Und das ist dann auch in 2) und 3) so. Daß
> > > dein Vorschlag nicht reicht, kannst du dir an der Funktion,
> > > die = 0 auf [mm]\IQ[/mm] und = 1 sonst ist, klarmachen.
> >
> > Das habe ich probiert, ich weiß aber nicht, wie ich es
> > für ALLE Folgen zeigen soll. Ich habe es jetzt so
> > probiert:
> >
> > Grenzwert an [mm]x_0:[/mm]
> >
> > Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm] und es
> > gelte [mm]a_n \to x_0.[/mm]
> > Dann folgt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> > 0=0.
> >
> > Sei nun [mm]b_n[/mm] eine Folge mit [mm]b_n \not\in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm]
> > und es gelte [mm]b_n \to x_0.[/mm]
> > Dann folgt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> > 1=1.
> >
> > Da 1 [mm]\not=0[/mm] hat f an keiner Stelle einen Grenzwert.
> >
> > Ich befürchte aber, dass mein Vorgehen so nicht formal
> > richtig ist...
>
> Es fehlt noch die Bemerkung, daß es solche Folgen gibt.
> Aber du weißt aus der Vorl., daß in jeder Umgebung einer
> rationalen Zahl irrationale Zahlen liegen und umgekehrt.
Oh je, ob ich auf sowas morgen komme? Mir fallen solche Sätze leider immer zu spät ein. Aber auch für das Vorgehen sollte es hoffentlich ein paar Teilpunkte geben, oder?
>
> > > > 2.) Stetigkeit an [mm]x_0.[/mm]
> > > > Ich gehe genauso vor wie beim Grenzwert, prüfe
> aber
> > > noch,
> > > > ob [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm] =
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)[/mm] =
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm] Ist das gegeben, ist f
> > > > an [mm]x_0[/mm] stetig.
> >
> > Wenn die Stelle unstetig ist, kann ich das doch aber so
> > zeigen, oder? Natürlich nur, wenn
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm]
>
> >
> > Aber wie zeige ich, dass f an einer Stelle stetig ist? Ich
> > habe diese Aufgabe gefunden:
> >
> > f bildet alle x [mm]\in\IQ[/mm] auf 2-x ab, alle x [mm]\not\in\IQ[/mm] auf x
> > ab. Es soll bewiesen werden, dass f an -1 stetig und an 1
> > unstetig ist.
>
> Eher umgekehrt ...
>
> > Meine Versuche:
> > [mm]x_0=-1:[/mm]
> >
> > Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge, mit [mm]a_n \in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> > Außerdem gelte: [mm]a_n \to[/mm] -1.
> > Dann folgt:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(2-a_n)=2+1=3=f(-1).[/mm]
> >
> > Sei [mm]b_n[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \not\in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> > Außerdem gelte: [mm]b_n \to[/mm] -1.
> > Dann folgt:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=-1 \not=f(-1).[/mm]
>
> >
> > Tja, ich hätte daraus jetzt gefolgert, dass f an -1 nicht
> > stetig ist. Wo liegt denn mein Fehler?
>
> S. o. Aber der Ansatz ist richtig: Unstetigkeit zeigst du
> mit einem konkreten Gegenbeispiel.
Dann war die Aufgabe einfach nur falsch aufgeschrieben? Und ich habe schon so an mir gezweifelt ;)
> >
> > Vielleicht können wir auch Differenzierbarkeit noch einmal
> > an dem Beispiel von oben anwenden.
> >
> > Also wieder: f bildet x [mm]\in\IQ[/mm] auf 2-x ab, x [mm]\not\in\IQ[/mm] auf
> > x. Beweise oder widerlege: f ist differenzierbar an -1.
> >
> > Meine Lösung:
> > Sei x [mm]\in \IQ.[/mm] Dann gilt:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2-x-3}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-(x+1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm]
> > -1=-1.
> >
> > Sei x [mm]\not\in\IQ.[/mm] Dann gilt:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x+1}{x+1}=[/mm]
> > 1.
> >
> > Da [mm]-1\not=1[/mm] ist f an [mm]x_0=-1[/mm] nicht differenzierbar.
> >
> > Stimmt das so?
>
> Dieses Gerechne kannst du dir an dieser Stelle sparen, weil
> Differenzierbarkeit Stetigkeit zur Folge hat. Die Funktion
> ist aber an dieser Stelle unstetig.
Stimmt. Ich bin ja wegen der Formulierung oben ("Beweisen Sie, dass f an -1 stetig ist") davon ausgegangen, dass ich es so zeigen muss. Wäre es ansonsten aber formal richtig?
>
> Hast du ein Bild der Funktion vor Augen, könntest du sie
> zeichnen? Das Problem hatten wir schon mal.
Ja, und anscheinend kommt das auch gerne in den Klausuren dran. Ich würde wohl beide Graphen wie von [mm] \IR \to \IR [/mm] zeichnen und dann beschreiben, dass dort eigentlich noch Lücken sein müssen. Oder gibt es eine bessere Vorgehensweise?
>
> Gruß aus Harburg
> Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Di 22.02.2011 | | Autor: | statler |
> Vielen Dank für die schnelle Hilfe :)
Gerne doch.
> > > > So stimmt das nicht, es muß für beliebige, d. h. alle
> > > > Folgen gelten. Und das ist dann auch in 2) und 3) so. Daß
> > > > dein Vorschlag nicht reicht, kannst du dir an der Funktion,
> > > > die = 0 auf [mm]\IQ[/mm] und = 1 sonst ist, klarmachen.
> > >
> > > Das habe ich probiert, ich weiß aber nicht, wie ich es
> > > für ALLE Folgen zeigen soll. Ich habe es jetzt so
> > > probiert:
> > >
> > > Grenzwert an [mm]x_0:[/mm]
> > >
> > > Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm] und es
> > > gelte [mm]a_n \to x_0.[/mm]
> > > Dann folgt:
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> > > 0=0.
> > >
> > > Sei nun [mm]b_n[/mm] eine Folge mit [mm]b_n \not\in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in\IN[/mm]
> > > und es gelte [mm]b_n \to x_0.[/mm]
> > > Dann folgt:
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> > > 1=1.
> > >
> > > Da 1 [mm]\not=0[/mm] hat f an keiner Stelle einen Grenzwert.
> > >
> > > Ich befürchte aber, dass mein Vorgehen so nicht formal
> > > richtig ist...
> >
> > Es fehlt noch die Bemerkung, daß es solche Folgen gibt.
> > Aber du weißt aus der Vorl., daß in jeder Umgebung einer
> > rationalen Zahl irrationale Zahlen liegen und umgekehrt.
>
> Oh je, ob ich auf sowas morgen komme? Mir fallen solche
> Sätze leider immer zu spät ein. Aber auch für das
> Vorgehen sollte es hoffentlich ein paar Teilpunkte geben,
> oder?
Natürlich! Gerade in einer Klausur ist ja wegen des Schtresses nicht alles perfekt. Ein Hyper-Pedant müßte ja die Bemerkung 'ich wähle ein x [mm] \in \IQ' [/mm] dadurch ergänzen, daß er hinzufügt 'das geht, weil [mm] \IQ \not= \emptyset [/mm] ist'.
> > > > > 2.) Stetigkeit an [mm]x_0.[/mm]
> > > > > Ich gehe genauso vor wie beim Grenzwert,
> prüfe
> > aber
> > > > noch,
> > > > > ob [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n)[/mm] =
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(b_n)[/mm] =
> > > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm] Ist das gegeben, ist f
> > > > > an [mm]x_0[/mm] stetig.
> > >
> > > Wenn die Stelle unstetig ist, kann ich das doch aber so
> > > zeigen, oder? Natürlich nur, wenn
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) \not=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_0).[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aber wie zeige ich, dass f an einer Stelle stetig ist? Ich
> > > habe diese Aufgabe gefunden:
> > >
> > > f bildet alle x [mm]\in\IQ[/mm] auf 2-x ab, alle x [mm]\not\in\IQ[/mm] auf x
> > > ab. Es soll bewiesen werden, dass f an -1 stetig und an 1
> > > unstetig ist.
> >
> > Eher umgekehrt ...
> >
> > > Meine Versuche:
> > > [mm]x_0=-1:[/mm]
> > >
> > > Sei [mm]a_n[/mm] eine Folge, mit [mm]a_n \in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> > > Außerdem gelte: [mm]a_n \to[/mm] -1.
> > > Dann folgt:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(2-a_n)=2+1=3=f(-1).[/mm]
> > >
> > > Sei [mm]b_n[/mm] eine Folge mit [mm]a_n \not\in \IQ \forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm]
> > > Außerdem gelte: [mm]b_n \to[/mm] -1.
> > > Dann folgt:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n)=-1 \not=f(-1).[/mm]
>
> >
> > >
> > > Tja, ich hätte daraus jetzt gefolgert, dass f an -1 nicht
> > > stetig ist. Wo liegt denn mein Fehler?
> >
> > S. o. Aber der Ansatz ist richtig: Unstetigkeit zeigst du
> > mit einem konkreten Gegenbeispiel.
>
> Dann war die Aufgabe einfach nur falsch aufgeschrieben? Und
> ich habe schon so an mir gezweifelt ;)
Man muß auch etwas Vertrauen zu seinen eigenen Gedankengängen haben.
> > > Vielleicht können wir auch Differenzierbarkeit noch einmal
> > > an dem Beispiel von oben anwenden.
> > >
> > > Also wieder: f bildet x [mm]\in\IQ[/mm] auf 2-x ab, x [mm]\not\in\IQ[/mm] auf
> > > x. Beweise oder widerlege: f ist differenzierbar an -1.
> > >
> > > Meine Lösung:
> > > Sei x [mm]\in \IQ.[/mm] Dann gilt:
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{2-x-3}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{-(x+1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm]
> > > -1=-1.
> > >
> > > Sei x [mm]\not\in\IQ.[/mm] Dann gilt:
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{f(x)-f(-1)}{x+1}=\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x+1}{x+1}=[/mm]
> > > 1.
> > >
> > > Da [mm]-1\not=1[/mm] ist f an [mm]x_0=-1[/mm] nicht differenzierbar.
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Dieses Gerechne kannst du dir an dieser Stelle sparen, weil
> > Differenzierbarkeit Stetigkeit zur Folge hat. Die Funktion
> > ist aber an dieser Stelle unstetig.
>
> Stimmt. Ich bin ja wegen der Formulierung oben ("Beweisen
> Sie, dass f an -1 stetig ist") davon ausgegangen, dass ich
> es so zeigen muss. Wäre es ansonsten aber formal richtig?
Ja.
> > Hast du ein Bild der Funktion vor Augen, könntest du sie
> > zeichnen? Das Problem hatten wir schon mal.
>
> Ja, und anscheinend kommt das auch gerne in den Klausuren
> dran. Ich würde wohl beide Graphen wie von [mm]\IR \to \IR[/mm]
> zeichnen und dann beschreiben, dass dort eigentlich noch
> Lücken sein müssen. Oder gibt es eine bessere
> Vorgehensweise?
Begleitender Text ist immer gut und wird sehr sehr gerne genommen. Mathematikunterricht ist immer auch Spracherziehung. (Zitat aus den Hamburger Rahmenrichtlinien)
Soweit erstmal
Dieter
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Vielen Dank! Jetzt fühle ich mich schon etwas sicherer für morgen.
> Begleitender Text ist immer gut und wird sehr sehr gerne
> genommen. Mathematikunterricht ist immer auch
> Spracherziehung. (Zitat aus den Hamburger
> Rahmenrichtlinien)
Als angehende Mathe- und Deutschlehrerin passt das ja sowieso perfekt ;)
Liebe Grüße!
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Di 22.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ergänzend zum vorigen post: etwas "für alle Folgen [mm] x_n [/mm] gegen a zu beweisen ist meist unmöglich. Stetigkeitsbeweise sind deshalb meist einfacher mit dem [mm] \epsilon-\delta [/mm] beweis. will man dagegen unstetigkeit zzeigen reicht eine einzige Folge die nicht das gewünschte tut.
Gruss leduart
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