GW bestimmen mit l'Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{tanhx-sinhx}{x-sinhx} [/mm] |
Hallo Leute,
insg. 5 Stunden hab ich bereits mit diesem Beispiel verbracht. Und ich komm nicht auf den richtigen Grenzwert. Dieser soll 3 sein, da beim Einsetzen von 0,1 irgendwas um 2,99 bekomm. Hab die Funktion auch mit einem Grapher zeichnen lassen, die Funktionslinie geht auch durch y=3.
Folgende Rechenschritte hab ich u.a. schon durchgeführt:
Versuch 1): 1. Ableitung
[mm] \bruch{\bruch{1}{cosh^{2}x}-coshx}{1-coshx}
[/mm]
Wenn ich nun weiter ableite, dann komm ich irgendwie in eine Schleife, irgendwo ist dann 0, sei es im Zähler oder im Nenner.
Versuch 2): Umformung, aber noch keine Ableitung
[mm] \bruch{sinhx*(1-coshx)}{coshx(x-1)} [/mm] = [mm] tanhx*\bruch{1-coshx}{x-1}
[/mm]
Irgendwie erscheint mir diese Umformung zu kompliziert.
Ich hab noch viele andere Varianten versucht, zB beim Ableiten von tanhx
1) 1 - [mm] tanh^{2}x
[/mm]
2) [mm] \bruch{1}{cosh^{2}x} [/mm] ........ etc.
Ich weiß wirklich nicht weiter. Ich hab auch keine Ahnung, wie ich solche Beispiele angehen soll. Gibt's da irgend eine Rechenform, mit der man alles übersichtlicher machen kann?
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, Brauni
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{tanhx-sinhx}{x-sinhx}[/mm]
> Hallo
> Leute,
> insg. 5 Stunden hab ich bereits mit diesem Beispiel
> verbracht. Und ich komm nicht auf den richtigen Grenzwert.
> Dieser soll 3 sein, da beim Einsetzen von 0,1 irgendwas um
> 2,99 bekomm. Hab die Funktion auch mit einem Grapher
> zeichnen lassen, die Funktionslinie geht auch durch y=3.
>
> Folgende Rechenschritte hab ich u.a. schon durchgeführt:
> Versuch 1): 1. Ableitung
> [mm]\bruch{\bruch{1}{cosh^{2}x}-coshx}{1-coshx}[/mm]
> Wenn ich nun weiter ableite, dann komm ich irgendwie in
> eine Schleife, irgendwo ist dann 0, sei es im Zähler oder
> im Nenner.
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> Versuch 2): Umformung, aber noch keine Ableitung
> [mm]\bruch{sinhx*(1-coshx)}{coshx(x-1)}[/mm] =
> [mm]tanhx*\bruch{1-coshx}{x-1}[/mm]
> Irgendwie erscheint mir diese Umformung zu kompliziert.
>
> Ich hab noch viele andere Varianten versucht, zB beim
> Ableiten von tanhx
> 1) 1 - [mm]tanh^{2}x[/mm]
> 2) [mm]\bruch{1}{cosh^{2}x}[/mm] ........ etc.
>
> Ich weiß wirklich nicht weiter. Ich hab auch keine Ahnung,
> wie ich solche Beispiele angehen soll. Gibt's da irgend
> eine Rechenform, mit der man alles übersichtlicher machen
> kann?
>
> Freue mich auf eine Antwort.
>
> Gruß, Brauni
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{\textsc{L'Hopital} ist hier definitiv nicht angebracht. Die Ableitung des Zählers lautet:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f'\left(x\right)=-\bruch{e^{-x}\left(e^{6x}+3x^{4x}-8e^{3x}+3e^{2x}+1\right)}{2\left(e^{2x}+1\right)^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Und die des Nenners:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily g'\left(x\right)=-\bruch{e^x}{2}-\bruch{e^{-x}}{2}+1$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Ist zu kompliziert, Stefan.}$
[/mm]
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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{tanhx-sinhx}{x-sinhx} [/mm] |
Aber wie kann man denn sonst den GW von dieser Rechnung bestimmen? Irgendwie muss das doch gehen. Soll ich das Ganze nochmals ableiten? Dann wird die Ableitung ziemlich lang, das scheint mir zu kompliziert.
Gruß, brauni
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> [mm]\rmfamily \text{\textsc{L'Hopital} ist hier definitiv nicht angebracht. Die Ableitung des Zählers lautet:}[/mm]
Das sind starke Worte...
>
> [mm]\rmfamily f'\left(x\right)=-\bruch{e^{-x}\left(e^{6x}+3x^{4x}-8e^{3x}+3e^{2x}+1\right)}{2\left(e^{2x}+1\right)^2}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily \text{Und die des Nenners:}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily g'\left(x\right)=-\bruch{e^x}{2}-\bruch{e^{-x}}{2}+1[/mm]
>
>
> [mm]\rmfamily \text{Ist zu kompliziert, Stefan.}[/mm]
Man kann sich die zu betrachtende Funktion so hinschreiben, daß man im Zähler und Nenner keine Brüche hat, und dann ist das Ableiten definitiv seeeehr einfach.
Gruß v. Angela
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> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{tanhx-sinhx}{x-sinhx}[/mm]
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> Ich weiß wirklich nicht weiter. Ich hab auch keine Ahnung,
> wie ich solche Beispiele angehen soll. Gibt's da irgend
> eine Rechenform, mit der man alles übersichtlicher machen
> kann?
Hallo,
ich glaube, daß der Hauptwitz ist, daß man sich nicht verrechnet...
Ich habe mir die Aufgabe als e-Funktionen aufgeschrieben, das ist beim Ableiten (jedenfalls für mich) weniger fehlerträchtig, und ich gestehe es errötend: auch das Einsetzen von x=0 gelingt mir so besser.
Ich mußte dann dreimal ableiten, bis ich das richtige Ergebnis hatte.
Ich würde das ungern alles hier aufschreiben, ich schreib' Dir zunächst nur auf, womit ich gestartet bin:
[mm] \bruch{tanhx-sinhx}{x-sinhx}=\bruch{\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}-\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})}{x-\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^x-e^{-x}-\bruch{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x})}{x(e^x+e^{-x})-\bruch{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x})}
[/mm]
Und nun fleißig ableiten...
Gruß v. Angela
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