GZF - Bevölkerungswachstum < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Erdbevölkerung betrug 1960 3.0 Milliarden, 2004 6.4 Milliarden.
a) Wie viel betrug die mittlere jährliche Zunahme (in Prozenten)? |
ich hab für [mm] a_{1} [/mm] = 3.0 und fuer [mm] a_{44} [/mm] = 6.4 bestimmt.
dann hab ich
[mm] a_{44} [/mm] = 3.0*q^43 und nach q aufgelöst
q= [mm] \wurzel[43]{\bruch{6.4}{3}} [/mm] = [mm] (\bruch{6.4}{3})^{1/43}=1.01778
[/mm]
bin mir sehr sicher das diese Rechnung stimmt.
Was ich aber nicht verstehe. Wieso ist 1.0178 = 1.7%
stehe ziemlich auf dem Schlauch hier..
Gruss AlfG
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Hallo,
eine Sache verstehe ich nicht: weshalb die 43. Wurzel? Entweder man nimmt die 44., dann geht die Rechnung von Stichtag zu Stichtag, oder die 45., dann geht sie von Anfang 1960 bis Ende 2004.
Ansonsten stimmt deine Vorgehensweise. Das Ergebnis ist noch ein Wachstumsfaktor der Form
q=1+p <=> p=q-1
Man muss also noch 1 subtrahieren, um den Prozentsatz zu bekommen und, so man möchte, natürlich noch mit 100% erweitern, um die Prozentdarstellung zu erhalten.
Gruß, Diophant
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Achsooo! Alles Klar danke!
es ist a^43 weil die allg. formel fuer eine GZF
[mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1} [/mm] ist.
gruss
AlfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Do 23.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
was ist eigentlich eine GFZ? Für mich ist das ein ganz normaler exponentieller Wachstumsprozess mit
[mm] f(t)=f(0)*q^t
[/mm]
Und du hast das auch so gerechnet: du hast den Anfangswert von 3 Mrd benutzt, also den Wert zum Zeitpunkt t=0. Von daher halte ich das insbesondere für falsch, was die 43. Wurzel angeht...
Gruß, Diophant
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was ist eigentlich eine GFZ?
Achtung Tippfehler.
Mit GZF meine ich eine Geometrische Zahlenfolge.
Man kann es auch als Funktion sehen mit einem Argument aus den Natürlichen Zahlen und q aus den reellen Zahlen. Da ich aber am Anfang meines Analysisbuches stehe, bin ich - im theoretischen Sinne - noch nicht soweit um es als Funktion zu sehen.
(Habe 2008 Abitur gemacht. Bereite mich gerade für die Universität vor,
da meine Mathefähigkeiten inzwischen etwas eingerostet sind, bringe ich sie nun auf Vordermann.)
Ich habe 3 Mia. als "Anfangspunkt" gewählt.
Also [mm] a_{1} [/mm] = 3.0
Im Jahre 2004 sind es, gemäss Aufabenstellung, 6.4 Mia. Sind 44 Jahre.
Also [mm] a_{44} [/mm] = 6.4
Die allg. Formel für eine Geometrische Zahlenfolge ist. [mm] a_{n}= a_{1}*q^{n-1}
[/mm]
Also ist [mm] a_{44}= a_{1}*q^{44-1}
[/mm]
Einsetzen 6.4 = [mm] 3*q^{43}
[/mm]
Umformen
[mm] \bruch{6.4}{3} [/mm] = [mm] q^{43}
[/mm]
da mein TR ungenau wird und ich exakt rechnen wollte zog ich die 43zigste Wurzel aus q, dann wird
q= $ [mm] \wurzel[43]{\bruch{6.4}{3}} [/mm] $ = $ [mm] (\bruch{6.4}{3})^{\bruch{1}{43}}=1.01778 [/mm] $
Weil ja allgemein [mm] \wurzel[q]{x^p} [/mm] äquivalent zu [mm] x^{\bruch{p}{q}} [/mm] ist.
Rechne es durch. Es kommt q=1.01778 raus, was 1.7% ist.
Grüsse
AlfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Do 23.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
nochals (in deinem Interesse): es ist definitiv falsch, was du da rechnest. Es bleibt dir überlassen, ob du es richtig machen möchtest oder nicht. Falls ja, dann rechne mit der 44. Wurzel. 
Gruß, Diophant
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hmm, du hast wohl recht. Mit der 44 Wurzel kommt 1.01737 raus. Was wohl (wenn auch nur minim :) ) "richtiger" ist.
Ich dachte eben, dass ich ja im Prinzip mit 44 rechne, die Formel daraus aber eine 43 (weil n-1) macht.
In diesem Falle hätte ich aber überlegen müssen, dass wenn ich das Jahr 1960 als [mm] a_{1}=3.0 [/mm] bestimme (Was ja eigentlich Jahr 0 ist) plus die 44 Jahre nicht [mm] a_{44} [/mm] sondern einfache Summe 1+44 also 45 ist. dh. [mm] a_{44} [/mm] ist das 43zigste Jahr. und [mm] a_{45} [/mm] ist das 44zigste Jahr.
also mit n=45 ist es dann eingesetzt in meine obige Kalkulation 45-1=44.
Omg ich schmeiss mich weg. Hier war also der Wurm drin.
Richtig so? :)
Gruss
AlfG
ps.: Sorry für meine Sturheit. :)
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Hallo AlfredGaebeli,
> hmm, du hast wohl recht. Mit der 44 Wurzel kommt 1.01737
> raus. Was wohl (wenn auch nur minim :) ) "richtiger" ist.
> Ich dachte eben, dass ich ja im Prinzip mit 44 rechne, die
> Formel daraus aber eine 43 (weil n-1) macht.
>
> In diesem Falle hätte ich aber überlegen müssen, dass
> wenn ich das Jahr 1960 als [mm]a_{1}=3.0[/mm] bestimme (Was ja
> eigentlich Jahr 0 ist) plus die 44 Jahre nicht [mm]a_{44}[/mm]
> sondern einfache Summe 1+44 also 45 ist. dh. [mm]a_{44}[/mm] ist das
> 43zigste Jahr. und [mm]a_{45}[/mm] ist das 44zigste Jahr.
> also mit n=45 ist es dann eingesetzt in meine obige
> Kalkulation 45-1=44.
>
> Omg ich schmeiss mich weg. Hier war also der Wurm drin.
> Richtig so? :)
>
Ja.
> Gruss
> AlfG
>
> ps.: Sorry für meine Sturheit. :)
>
Gruss
MathePower
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Vielen Dank!
Herzlich
AlfG
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