G ist einfach, wenn G zyklisch < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Fr 05.06.2020 | | Autor: | NathanR |
Hallo Matheraum - Community!
Mich verwirrt der Beweis eines Satzes und hoffe, mich kann jemand aufklären.
Satz
Eine nicht - triviale abelsche Gruppe ist genau dann einfach, wenn sie zyklisch von Primzahlordnung ist.
Beweis
Ist $G$ zyklisch von Primzahlordnung, so hat $G$ aufgrund des Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm] $\{e \}$ [/mm] und $G$ und ist somit einfach.
Ist $G$ abelsch und ist die Ordnung [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $ keine Primzahl, so hat die Ordnung einen Primteiler $p$ mit $1 < p < [mm] \vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $.
Dann besitzt $G$ eine Untergruppe $N$ der Ordnung $p$ besitzt.
Da $G$ abelsch ist, ist $N$ ein Normalteiler, so dass $G$ nicht einfach ist.
Okay, die Rückrichtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] habe ich verstanden. Das ist der Absatz
"Ist $G$ zyklisch von Primzahlordnung, so hat $G$ aufgrund des Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm] $\{e \}$ [/mm] und $G$ und ist somit einfach."
Aber die Hinrichtung verstehe ich noch nicht.
Man muss zeigen: Ist eine nicht - triviale abelsche Gruppe $G$ zyklisch von Primzahlordnung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $G$ ist einfach
Da kann man zwei Fälle unterscheiden:
1. Fall: [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $ ist eine Primzahl.
Dann ist aber $G$ schon zyklisch.
2. Fall: [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $ ist keine Primzahl.
Dann führe ich bei [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert$ [/mm] eine Primfaktorzerlegung durch und habe offensichtlich dann eine Primzahl $p$ mit $1 < p < [mm] \vert [/mm] G [mm] \vert$, [/mm] die [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert$ [/mm] teilt.
Dann existiert eine Untergruppe $N$ mit [mm] $\vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] = p$. Da $G$ abelsch ist, ist $N$ ein nicht- trivialer Normalteiler von $G$ und $G$ ist nicht einfach.
Wo ist dann aber gezeigt, dass $G$ zyklisch ist ?
Ich komme irgendwie nicht mehr mit.
Würde mich über eine Hilfe freuen.
Schönen Tag euch noch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Fr 05.06.2020 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Matheraum - Community!
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> Mich verwirrt der Beweis eines Satzes und hoffe, mich kann
> jemand aufklären.
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> Satz
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> Eine nicht - triviale abelsche Gruppe ist genau dann
> einfach, wenn sie zyklisch von Primzahlordnung ist.
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> Beweis
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> Ist [mm]G[/mm] zyklisch von Primzahlordnung, so hat [mm]G[/mm] aufgrund des
> Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm]\{e \}[/mm]
> und [mm]G[/mm] und ist somit einfach.
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> Ist [mm]G[/mm] abelsch und ist die Ordnung [mm]\vert G \vert[/mm] keine
> Primzahl, so hat die Ordnung einen Primteiler [mm]p[/mm] mit [mm]1 < p < \vert G \vert [/mm].
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> Dann besitzt [mm]G[/mm] eine Untergruppe [mm]N[/mm] der Ordnung [mm]p[/mm] besitzt.
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> Da [mm]G[/mm] abelsch ist, ist [mm]N[/mm] ein Normalteiler, so dass [mm]G[/mm] nicht
> einfach ist.
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> Okay, die Rückrichtung [mm]\Leftarrow[/mm] habe ich verstanden. Das
> ist der Absatz
>
> "Ist [mm]G[/mm] zyklisch von Primzahlordnung, so hat [mm]G[/mm] aufgrund des
> Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm]\{e \}[/mm]
> und [mm]G[/mm] und ist somit einfach."
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> Aber die Hinrichtung verstehe ich noch nicht.
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> Man muss zeigen: Ist eine nicht - triviale abelsche Gruppe
> [mm]G[/mm] zyklisch von Primzahlordnung [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]G[/mm] ist einfach
Nein, das ist doch nicht die "Hinrichtung " !
Für die "Hinrichtung" ist zu zeigen:
Ist G abelsch und einfach, so ist |G| eine Primzahl. Genau das wurde oben gemacht:
Annahme : |G| ist keine Primzahl. Aus dieser Annahme wurde gefolgert, dass G nicht einfach ist, Widerspruch !
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> Da kann man zwei Fälle unterscheiden:
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> 1. Fall: [mm]\vert G \vert[/mm] ist eine Primzahl.
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> Dann ist aber [mm]G[/mm] schon zyklisch.
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> 2. Fall: [mm]\vert G \vert[/mm] ist keine Primzahl.
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> Dann führe ich bei [mm]\vert G \vert[/mm] eine Primfaktorzerlegung
> durch und habe offensichtlich dann eine Primzahl [mm]p[/mm] mit [mm]1 < p < \vert G \vert[/mm],
> die [mm]\vert G \vert[/mm] teilt.
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> Dann existiert eine Untergruppe [mm]N[/mm] mit [mm]\vert N \vert = p[/mm]. Da
> [mm]G[/mm] abelsch ist, ist [mm]N[/mm] ein nicht- trivialer Normalteiler von
> [mm]G[/mm] und [mm]G[/mm] ist nicht einfach.
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> Wo ist dann aber gezeigt, dass [mm]G[/mm] zyklisch ist ?
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> Ich komme irgendwie nicht mehr mit.
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> Würde mich über eine Hilfe freuen.
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> Schönen Tag euch noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Sa 06.06.2020 | | Autor: | NathanR |
Oh, da war ich gestern wohl einfach komplett unkonzentriert.
Jetzt ist mir alles glasklar.
Ich bedanke mich für die Hilfe und wünsche dir noch einen schönen Abend.
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