Galois-Erweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Sa 10.07.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl. Wir betrachten den Körper
[mm] K=\IQ(e^{2i\pi/{n}}). [/mm] Sei [mm] \alpha\in\IC [/mm] mit [mm] \alpha^{n}\in{K}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung [mm] K\subset{K(\alpha)} [/mm] galois ist
und dass Galois-Gruppe [mm] Gal(K(\alpha)/K) [/mm] zyklisch ist. |
Hallo, liebes Forum!!
Wir machen gerade die Galois-Theorie durch, eigentlich dachte ich,
dass ich das Thema verstanden habe, aber die Aufgabe kann ich
alleine nicht lösen:
es ist klar, dass [mm] \IQ\subset{K}=\IQ(e^{2i\pi/{n}}) [/mm] eine Galois-Erweiterung
ist, da [mm] \IQ\subset\IQ(e^{2i\pi/{n}}) [/mm] ein Zerfällungskörper von dem
separablen Minimalpolynom [mm] f=X^n-1 [/mm] zu [mm] \zeta{=e^{2i\pi/n}}.
[/mm]
Jetzt wird zu dem Körper [mm] \IQ\subset\IQ(\zeta) [/mm] noch [mm] \alpha [/mm] adjungiert,
ich bekomme dann [mm] \IQ\subset\IQ(\zeta)\subset\IQ(\zeta,\alpha). [/mm]
Wie seiht dann das Minimalpolynom zu dieser Körpererweiterung aus?
Wird es mir bei der Lösund der Aufgabe helfen?
Ich freue mich sehr über eure Hilfe!!
Vielen Dank im Voraus!!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 10.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]n\ge[/mm] 1 eine natürliche Zahl. Wir betrachten den
> Körper
> [mm]K=\IQ(e^{2i\pi/{n}}).[/mm] Sei [mm]\alpha\in\IC[/mm] mit
> [mm]\alpha^{n}\in{K}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung
> [mm]K\subset{K(\alpha)}[/mm] galois ist
> und dass Galois-Gruppe [mm]Gal(K(\alpha)/K)[/mm] abelsch ist.
>
> Wir machen gerade die Galois-Theorie durch, eigentlich
> dachte ich,
> dass ich das Thema verstanden habe, aber die Aufgabe kann
> ich
> alleine nicht lösen:
> es ist klar, dass [mm]\IQ\subset{K}=\IQ(e^{2i\pi/{n}})[/mm] eine
> Galois-Erweiterung
> ist, da [mm]\IQ\subset\IQ(e^{2i\pi/{n}})[/mm] ein
> Zerfällungskörper von dem
> separablen Minimalpolynom [mm]f=X^n-1[/mm] zu [mm]\zeta{=e^{2i\pi/n}}.[/mm]
Das ganze ist ein Zerfaellungskoerper des Polynoms, aber [mm] $X^n [/mm] - 1$ ist nicht das Minimalpolynom. Z.B. kannst du genauso gut den Zerfaellungskoerper von [mm] $X^{n-1} [/mm] + [mm] X^{n-2} [/mm] + [mm] X^{n-3} [/mm] + ... + X + 1$ nehmen (da fehlt die Nullstelle $x = 1$). Oder ein noch kleineres Polynom. (Das kleinste Polynom hat Grad [mm] $\varphi(n)$, [/mm] mit der Eulerschen [mm] $\varphi$-Funktion.)
[/mm]
> Jetzt wird zu dem Körper [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)[/mm] noch [mm]\alpha[/mm]
> adjungiert,
> ich bekomme dann
> [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)\subset\IQ(\zeta,\alpha).[/mm]
> Wie seiht dann das Minimalpolynom zu dieser
> Körpererweiterung aus?
Also [mm] $\IQ(\zeta, \alpha)$ [/mm] ist ZK von [mm] $X^n [/mm] - [mm] \alpha^n$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\zeta)$.
[/mm]
Du kannst zwei Faelle unterscheiden:
* [mm] $\alpha [/mm] = 0$. In dem Fall ist [mm] $\IQ(\zeta, \alpha) [/mm] = [mm] \IQ(\zeta)$ [/mm] und du kannst das [mm] $\alpha$ [/mm] ignorieren, und [mm] $\IQ(\zeta, \alpha)$ [/mm] ist der ZK von [mm] $X^n [/mm] - 1$ ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
* [mm] $\alpha \neq [/mm] 0$. In diesem Fall ist [mm] $\IQ(\zeta, \alpha)$ [/mm] der ZK von [mm] $X^n [/mm] - [mm] \alpha^n$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] (beweisen!).
Ich hoffe das hilft dir weiter...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 So 11.07.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Felix!!
Vielen-vielen Dank für deine Antwort!!!
> > Galois-Erweiterung
> > ist, da [mm]\IQ\subset\IQ(e^{2i\pi/{n}})[/mm] ein
> > Zerfällungskörper von dem
> > separablen Minimalpolynom [mm]f=X^n-1[/mm] zu [mm]\zeta{=e^{2i\pi/n}}.[/mm]
>
> Das ganze ist ein Zerfaellungskoerper des Polynoms, aber
> [mm]X^n - 1[/mm] ist nicht das Minimalpolynom. Z.B. kannst du
> genauso gut den Zerfaellungskoerper von [mm]X^{n-1} + X^{n-2} + X^{n-3} + ... + X + 1[/mm]
> nehmen (da fehlt die Nullstelle [mm]x = 1[/mm]). Oder ein noch
> kleineres Polynom. (Das kleinste Polynom hat Grad
> [mm]\varphi(n)[/mm], mit der Eulerschen [mm]\varphi[/mm]-Funktion.)
Ach stimmt, f ist ja gar nicht irreduzibel!!
> > Jetzt wird zu dem Körper [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)[/mm] noch [mm]\alpha[/mm]
> > adjungiert,
> > ich bekomme dann
> > [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)\subset\IQ(\zeta,\alpha).[/mm]
> > Wie seiht dann das Minimalpolynom zu dieser
> > Körpererweiterung aus?
>
> Also [mm]\IQ(\zeta, \alpha)[/mm] ist ZK von [mm]X^n - \alpha^n[/mm] ueber
> [mm]\IQ(\zeta)[/mm].
>
> Du kannst zwei Faelle unterscheiden:
>
> * [mm]\alpha = 0[/mm]. In dem Fall ist [mm]\IQ(\zeta, \alpha) = \IQ(\zeta)[/mm]
> und du kannst das [mm]\alpha[/mm] ignorieren, und [mm]\IQ(\zeta, \alpha)[/mm]
> ist der ZK von [mm]X^n - 1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm].
>
> * [mm]\alpha \neq 0[/mm]. In diesem Fall ist [mm]\IQ(\zeta, \alpha)[/mm] der
> ZK von [mm]X^n - \alpha^n[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] (beweisen!)
Sei also [mm] g=X^n-\alpha^n, \alpha [/mm] ist eine seiner Nullstellen,
denn [mm] g(\alpha)=\alpha^n-\alpha^n=0. [/mm] Dann wende ich Polynomdibision
an, und es ergibt sich, dass ich das Polynom so aufschreiben kann:
[mm] X^n-\alpha^n=(X-\alpha)(X^{n-1}+\alpha{X^{n-2}}+\alpha^2X^{n-3}+...+\alpha^{n-2}X+\alpha^{n-1}). [/mm]
Die Nulstellen des Polynoms [mm] X^{n-1}+\alpha{X^{n-2}}+\alpha^2X^{n-3}+...+\alpha^{n-2}X+\alpha^{n-1} [/mm] sollten in [mm] \IQ(\zeta,\alpha) [/mm] liegen.
Ich habe das an einem Beispiel geprüft: sei n=3, dann
[mm] X^2+\alpha{X}+\alpha^2=0
[/mm]
[mm] D=\alpha^2-4\alpha^2=-3\alpha^2=i^23\alpha^2
[/mm]
[mm] X=\bruch{-\alpha\pm\alpha{i}\sqrt{3}}{2}, [/mm] d.h [mm] X_1=\zeta\alpha [/mm] und [mm] X_2=\zeta^2\alpha. [/mm] Von diesem Beispiel augehend muss gelten,
dass [mm] \IQ(\zeta,\alpha) [/mm] Zerfällungskörper von g ist, wobei g noch separabel ist.
Somit sollte [mm] \IQ\subset\IQ(\zeta)\subset\IQ(\zeta,\alpha) [/mm] galois sein.
Aber bei solchen Beweisen, reicht ein Beispiel nicht! Ich muss das allgemein beweisen...
Aber ich komme irgendwie nicht drauf. Könntest du noch ein bisschen auf die Sprünge helfen?
Besten Dank
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:28 Mo 12.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Galois-Erweiterung
> > > ist, da [mm]\IQ\subset\IQ(e^{2i\pi/{n}})[/mm] ein
> > > Zerfällungskörper von dem
> > > separablen Minimalpolynom [mm]f=X^n-1[/mm] zu [mm]\zeta{=e^{2i\pi/n}}.[/mm]
> >
> > Das ganze ist ein Zerfaellungskoerper des Polynoms, aber
> > [mm]X^n - 1[/mm] ist nicht das Minimalpolynom. Z.B. kannst du
> > genauso gut den Zerfaellungskoerper von [mm]X^{n-1} + X^{n-2} + X^{n-3} + ... + X + 1[/mm]
> > nehmen (da fehlt die Nullstelle [mm]x = 1[/mm]). Oder ein noch
> > kleineres Polynom. (Das kleinste Polynom hat Grad
> > [mm]\varphi(n)[/mm], mit der Eulerschen [mm]\varphi[/mm]-Funktion.)
> Ach stimmt, f ist ja gar nicht irreduzibel!!
> > > Jetzt wird zu dem Körper [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)[/mm] noch
> [mm]\alpha[/mm]
> > > adjungiert,
> > > ich bekomme dann
> > > [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)\subset\IQ(\zeta,\alpha).[/mm]
> > > Wie seiht dann das Minimalpolynom zu dieser
> > > Körpererweiterung aus?
> >
> > Also [mm]\IQ(\zeta, \alpha)[/mm] ist ZK von [mm]X^n - \alpha^n[/mm] ueber
> > [mm]\IQ(\zeta)[/mm].
> >
> > Du kannst zwei Faelle unterscheiden:
> >
> > * [mm]\alpha = 0[/mm]. In dem Fall ist [mm]\IQ(\zeta, \alpha) = \IQ(\zeta)[/mm]
> > und du kannst das [mm]\alpha[/mm] ignorieren, und [mm]\IQ(\zeta, \alpha)[/mm]
> > ist der ZK von [mm]X^n - 1[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm].
> >
> > * [mm]\alpha \neq 0[/mm]. In diesem Fall ist [mm]\IQ(\zeta, \alpha)[/mm] der
> > ZK von [mm]X^n - \alpha^n[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] (beweisen!)
> Sei also [mm]g=X^n-\alpha^n, \alpha[/mm] ist eine seiner
> Nullstellen,
> denn [mm]g(\alpha)=\alpha^n-\alpha^n=0.[/mm]
Genau. Die anderen Nullstellen kannst du ebenso hinschreiben.
> Dann wende ich
> Polynomdibision
> an, und es ergibt sich, dass ich das Polynom so
> aufschreiben kann:
>
> [mm]X^n-\alpha^n=(X-\alpha)(X^{n-1}+\alpha{X^{n-2}}+\alpha^2X^{n-3}+...+\alpha^{n-2}X+\alpha^{n-1}).[/mm]
Du machst es viel zu kompliziert.
> Die Nulstellen des Polynoms
> [mm]X^{n-1}+\alpha{X^{n-2}}+\alpha^2X^{n-3}+...+\alpha^{n-2}X+\alpha^{n-1}[/mm]
> sollten in [mm]\IQ(\zeta,\alpha)[/mm] liegen.
> Ich habe das an einem Beispiel geprüft: sei n=3, dann
> [mm]X^2+\alpha{X}+\alpha^2=0[/mm]
> [mm]D=\alpha^2-4\alpha^2=-3\alpha^2=i^23\alpha^2[/mm]
> [mm]X=\bruch{-\alpha\pm\alpha{i}\sqrt{3}}{2},[/mm] d.h
> [mm]X_1=\zeta\alpha[/mm] und [mm]X_2=\zeta^2\alpha.[/mm]
Ja. Faellt dir was auf?
Rate mal, wie es fuer allgemeines $n$ aussieht.
> Von diesem Beispiel
> augehend muss gelten,
> dass [mm]\IQ(\zeta,\alpha)[/mm] Zerfällungskörper von g ist,
> wobei g noch separabel ist.
Ja. Du kannst auch sehr einfach nachpruefen, dass [mm] $X^n [/mm] - [mm] \alpha^n$ [/mm] separabel ist, indem du es ableitest.
> Somit sollte [mm]\IQ\subset\IQ(\zeta)\subset\IQ(\zeta,\alpha)[/mm]
> galois sein.
Du hast dir hoechstens ueberlegt, dass [mm] $X^n [/mm] - [mm] \alpha^n$ [/mm] ueber diesem Koerper zerfaellt, aber nicht, dass dies der kleinste solche Koerper ist.
> Aber bei solchen Beweisen, reicht ein Beispiel nicht! Ich
> muss das allgemein beweisen...
Ja.
> Aber ich komme irgendwie nicht drauf. Könntest du noch ein
> bisschen auf die Sprünge helfen?
Na, wenn du zwei Loesungen [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] von [mm] $X^n [/mm] - [mm] \alpha^n [/mm] = 0$ hast, was gilt dann fuer $t := [mm] \frac{\alpha}{\beta}$?
[/mm]
LG Felix
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