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| Aufgabe | Sei [mm] L=\IQ(\wurzel[4]{2},i) [/mm] eine Körpererweiterung von [mm] \IQ. [/mm] Zeigen Sie:
a) L ist Zerfällungskörper des Polynoms [mm] x^4-2\in\IQ[x]
[/mm]
b) Bestimmen Sie den Grad von L über [mm] \IQ, [/mm] sowie alle [mm] \IQ-Automorphismen [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung und muss dafür die Galoistheorie besser verstehen.
zu a) um zu zeigen, dass L der (bzw. ein) Zerfällungskörper von f ist, müssen wir zeigen, dass f über L in Linearfaktoren zerfällt und da gilt:
[mm] f(x)=x^4-2=(x-\wurzel[4]{2})(x+\wurzel[4]{2})(x-i\wurzel[4]{2})(x+i\wurzel[4]{2})
[/mm]
und alle [mm] \alpha_1,...,\alpha_4 [/mm] offensichtlich in L liegen, ist der Beweis hierfür doch schon erbracht.
zu b) Der Grad der Körpererweiterung ist 8, welches aus dem Gradsatz (bzw. Turmlemma) folgt
Jetzt weiß man doch aus der Galoistheorie, dass es sich bei der Körpererweiterung um eine Galoiserweiterung handelt, da sie normal und separabel ist, weswegen gilt:
[mm] |Gal(L/\IQ)|=[L:\IQ]=8
[/mm]
daraus folgt, dass wir dann insgesamt 8 Automorphismen von L haben müssen. Wie man sie allerdings berechnet, ist mir noch unklar ... Wir sind dabei folgendermaßen vorgegangen:
Sei [mm] \sigma\in\mathBB{Aut}_\IQ(L) [/mm] mit [mm] \sigma(i)=i [/mm] und [mm] \sigma(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}
[/mm]
Sei [mm] \tau\in\mathBB{Aut}_\IQ(L) [/mm] mit [mm] \tau(i)=-i [/mm] und [mm] \tau(\wurzel[4]{2})=\wurzel[4]{2}, [/mm] dann gilt:
[mm] \mathBB{Aut}_\IQ(L)=\{Id, \sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\sigma\tau,\sigma^2\tau,\sigma^3\tau\} [/mm] mit [mm] \tau\sigma=\sigma^3\tau
[/mm]
Meine Frage hierzu ist, wie man auf diese zwei erzeugenden Elemente [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] kommt? Und was genau ist jetzt zum Beispiel [mm] \sigma\tau? [/mm] Ist das [mm] \sigma\tau(i)=-i [/mm] und [mm] \sigma\tau(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}?
[/mm]
Nach meiner Kenntnis permutieren die Automorphismen doch nur die Nullstellen, oder?
Beste Grüße und vielen Dank im Voraus,
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Do 11.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]L=\IQ(\wurzel[4]{2},i)[/mm] eine Körpererweiterung von [mm]\IQ.[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> a) L ist Zerfällungskörper des Polynoms [mm]x^4-2\in\IQ[x][/mm]
>
> b) Bestimmen Sie den Grad von L über [mm]\IQ,[/mm] sowie alle
> [mm]\IQ-Automorphismen[/mm]
> Hallo alle zusammen,
>
> ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung und muss
> dafür die Galoistheorie besser verstehen.
>
> zu a) um zu zeigen, dass L der (bzw. ein)
> Zerfällungskörper von f ist, müssen wir zeigen, dass f
> über L in Linearfaktoren zerfällt und da gilt:
>
> [mm]f(x)=x^4-2=(x-\wurzel[4]{2})(x+\wurzel[4]{2})(x-i\wurzel[4]{2})(x+i\wurzel[4]{2})[/mm]
>
> und alle [mm]\alpha_1,...,\alpha_4[/mm] offensichtlich in L liegen,
> ist der Beweis hierfür doch schon erbracht.
>
> zu b) Der Grad der Körpererweiterung ist 8, welches aus
> dem Gradsatz (bzw. Turmlemma) folgt
>
> Jetzt weiß man doch aus der Galoistheorie, dass es sich
> bei der Körpererweiterung um eine Galoiserweiterung
> handelt, da sie normal und separabel ist, weswegen gilt:
>
> [mm]|Gal(L/\IQ)|=[L:\IQ]=8[/mm]
>
> daraus folgt, dass wir dann insgesamt 8 Automorphismen von
> L haben müssen. Wie man sie allerdings berechnet, ist mir
> noch unklar ... Wir sind dabei folgendermaßen
> vorgegangen:
>
> Sei [mm]\sigma\in\mathBB{Aut}_\IQ(L)[/mm] mit [mm]\sigma(i)=i[/mm] und
> [mm]\sigma(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}[/mm]
> Sei [mm]\tau\in\mathBB{Aut}_\IQ(L)[/mm] mit [mm]\tau(i)=-i[/mm] und
> [mm]\tau(\wurzel[4]{2})=\wurzel[4]{2},[/mm] dann gilt:
>
> [mm]\mathBB{Aut}_\IQ(L)=\{Id, \sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\sigma\tau,\sigma^2\tau,\sigma^3\tau\}[/mm]
> mit [mm]\tau\sigma=\sigma^3\tau[/mm]
>
> Meine Frage hierzu ist, wie man auf diese zwei erzeugenden
> Elemente [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] kommt? Und was genau ist jetzt zum
> Beispiel [mm]\sigma\tau?[/mm] Ist das [mm]\sigma\tau(i)=-i[/mm] und
> [mm]\sigma\tau(\wurzel[4]{2})=i\wurzel[4]{2}?[/mm]
>
> Nach meiner Kenntnis permutieren die Automorphismen doch
> nur die Nullstellen, oder?
Die Automorphismen bewegen noch mehr als nur die Nullstellen, aber ihre Wirkung auf diese ist oft besonders durchsichtig. Es genuegt sich die Wirkung der Automorphismen auf einem Erzeugendensystem klarzumachen; daher genuegt es die Bilder von $i$ und [mm] $\wurzel[4]{2}$ [/mm] anzugeben. Die Moeglichkeiten dafuer sind eingeschraenkt, da die Bilder z.B. gleiche Minimalpolynome haben muessen.
Da Du schon die Ordnung der Gruppe kennst, genuegt es zu ueberpruefen, ob [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] eine Gruppe der Ordnung $8$ erzeugen, denn dann erzeugen sie die gesamte Galoisgruppe. Die Bilder von [mm] $\sigma\tau$ [/mm] hast Du richtig ermittelt.
>
> Beste Grüße und vielen Dank im Voraus,
> Alex
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