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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Erweiterung K/k Galois ist. Bestimmen Sie Gal(K/k)
und stellen Sie die Galois-Korrespondenz für diese Erweiterung auf. Welche Zwischenkörper
L sind Galoiserweiterungen von k?
a) [mm]K/k = \IQ(\sqrt{-7},\sqrt{6})/\IQ[/mm]
b) Für [mm]k=\IF_2[/mm] und K der Zerfällungsköroer von [mm]X^4+X+1[/mm] (nicht verwendet werden darf "Klassifikation aller endlichen Körper")
c) Für K der Zerfällungskörper von [mm]X^3-3X+21[/mm]. |
zur a)
Ich brauche ja irgendwie das gesamte Minimalpolynom, um die Nullstellen zu bestimmen, von denen ich die Automorphismen ablesen kann.
Doch welches irreduzible Polynom hat die beiden Nullstellen [mm]\sqrt{-7},\sqrt{6}[/mm]. Eine andere Idee wäre das auf eine einfache Körpererweiterung zurück zuführen, kann ich [mm]\IQ(\sqrt{-7}+\sqrt{6})/\IQ[/mm] betrachten?
zur b) Kann ich mit dem Kroneckerverfahren die Nullstellen berechnen. Oder gibt es einen eleganteren Weg?
zur c) kann ich zeigen, dass es irreduzibel ist und keine Nullstellen hat. Nach Zwischenwertsatz muss es es aber welche zwischen den Extremas geben. Was passiert jetzt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Sa 15.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
zur b kann ich auch eine weitere Frage stellen:
Sei [mm]k=\IF_2[/mm] und K der Zerfällungskörper von [mm]f=X^4+X+1[/mm] (ist irreduzibel). Sei [mm]t\in K[/mm] eine Nullstelle, dann sind [mm]b_n=t^{2^n}[/mm] n=1,2,3 weitere Nullstellen. Nach Umformungen erhälz man ja folgende Nullstellen:
[mm]\{t,t^2,t^4,t^8\}=\{t,t^2,t+1,t^2+2t+1\}[/mm] Damit wäre der Zerfällungskörper ja [mm]\IF_2(t)[/mm] mit grad 4.
Jetzt müsste es ja 4 Automorphismen geben:
[mm]\sigma_1(t)=t,\sigma_2(t)=t^2,\sigma_3(t)=t^4=t+1,\sigma_4(t)=t^8=t^2+2t+1[/mm]
Also ist die Galoisgruppe isomorph zu [mm]\IZ_4[/mm]. (Ist sie das? oder ist sie doch Isomorph zu kleinschen Vierergruppe?) Ich bin der Meinung, dass sie kommutativ sein sollte => also doch zu [mm]\IZ_4[/mm]
Ich habe ja [mm](\sigma_2 \circ \sigma_2)(t)=\sigma_3(t)[/mm] und [mm](\sigma_1 \circ \sigma_2)(t)=(\sigma_2 \circ \sigma_1)(t)[/mm]
Da [mm]\IZ_4[/mm] zyklisch ist, so ist sie abelsch und es muss Untergruppen U mit [mm]|U|\in\{4,2,1\}[/mm] geben.
{0},{0,2},{0,1,2,3}
{0} <-> [mm]\IF_2(t)[/mm]
{0,1,2,3} <-> [mm]\IF_2[/mm]
{0,2} <-> ???
Das wäre jetzt die Frage, welchen Zwischenkörper H es noch gibt mit [mm]\IF_2\leq H \leq \IF_2(t)[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:46 So 16.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zur b kann ich auch eine weitere Frage stellen:
>
> Sei [mm]k=\IF_2[/mm] und K der Zerfällungskörper von [mm]f=X^4+X+1[/mm]
> (ist irreduzibel). Sei [mm]t\in K[/mm] eine Nullstelle, dann sind
> [mm]b_n=t^{2^n}[/mm] n=1,2,3 weitere Nullstellen. Nach Umformungen
> erhälz man ja folgende Nullstellen:
> [mm]\{t,t^2,t^4,t^8\}=\{t,t^2,t+1,t^2+2t+1\}[/mm] Damit wäre der
> Zerfällungskörper ja [mm]\IF_2(t)[/mm] mit grad 4.
> Jetzt müsste es ja 4 Automorphismen geben:
>
> [mm]\sigma_1(t)=t,\sigma_2(t)=t^2,\sigma_3(t)=t^4=t+1,\sigma_4(t)=t^8=t^2+2t+1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist die Galoisgruppe isomorph zu [mm]\IZ_4[/mm]. (Ist sie das?
> oder ist sie doch Isomorph zu kleinschen Vierergruppe?) Ich
> bin der Meinung, dass sie kommutativ sein sollte => also
> doch zu [mm]\IZ_4[/mm]
Naja, die kleinsche Vierergruppe ist auch kommutativ.
Allerdings kannst du leicht nachpruefen, dass [mm] $\sigma_1$ [/mm] die Ordnung 4 hat; damit ist [mm] $\langle \sigma_1 \rangle$ [/mm] eine zyklische Gruppe der Ordnung 4, und da die Galoisgruppe selber ebenfalls 4 Elemente hat, ist die Galoisgruppe also bereits durch [mm] $\langle \sigma_1 \rangle$ [/mm] gegeben.
> Da [mm]\IZ_4[/mm] zyklisch ist, so ist sie abelsch und es muss
> Untergruppen U mit [mm]|U|\in\{4,2,1\}[/mm] geben.
> {0},{0,2},{0,1,2,3}
>
> {0} <-> [mm]\IF_2(t)[/mm]
> {0,1,2,3} <-> [mm]\IF_2[/mm]
> {0,2} <-> ???
>
> Das wäre jetzt die Frage, welchen Zwischenkörper H es
> noch gibt mit [mm]\IF_2\leq H \leq \IF_2(t)[/mm]
Na, [mm] $\IF_4$ [/mm] 
Du kannst natuerlich jetzt schauen, wann ein explizites Element $a + b t + c [mm] t^2 [/mm] + d [mm] t^3$ [/mm] von [mm] $\sigma_2 [/mm] = [mm] \sigma_1^2$ [/mm] festhalten wird. Alle diese Elemente bilden den [mm] $\IF_4$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 So 16.01.2011 | | Autor: | Harty |
Nur eine kleine Korrektur: Müsste nicht [mm] $t^8=t^2+1 [/mm] $ sein? Das hilft zwar jetzt nicht viel weiter bei deiner Frage, aber immerhin etwas^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 So 16.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> Nur eine kleine Korrektur: Müsste nicht [mm]t^8=t^2+1[/mm] sein?
> Das hilft zwar jetzt nicht viel weiter bei deiner Frage,
> aber immerhin etwas^^
Da $2 = 0$ in [mm] $\IF_2$ [/mm] ist, ist $2 t = 0$ und somit [mm] $t^8 [/mm] = [mm] t^2 [/mm] + 2 t + 1 = [mm] t^2 [/mm] + 1$. Ihr habt also beide recht :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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