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| Aufgabe | | Bestimme die Galisgruppe von: f(x)= [mm] x^{5}-x^{4}-4x+4 [/mm] |
Mein Idee:
Es ist f(x)= [mm] x^{5}-x^{4}-4x+4 [/mm] = [mm] (x-1)(x^{2}-2)(x^{2}+2)
[/mm]
(x-1) Grad 1 also irreduzibel [mm] \IQ [/mm]
[mm] (x^{2}-2) [/mm] und [mm] (x^{2}+2) [/mm] haben keine rationallen Nullstellen, also sind auch diese irreduzibel über [mm] \IQ
[/mm]
Kann ich hier jetzt sagen, dass alle drei Faktoren irreduzibel sind und damit das Polynom separabel ist?? Wenn ja dann könnte ich doch sagen, als separables Polynom vom Grad 5 hat f genau 5 Nullstellen.
f hat höchstens drei reelle Nullstellen:
[mm] f´(x)=5x^{4}-4x^{3}-4
[/mm]
[mm] f´´(x)=20x^3-12x^2 [/mm] (hat nur eine Wendestelle)
[mm] f´´´(x)=60x^2-24x
[/mm]
Wegen [mm] f´´(x)=20x^3-12x^2 [/mm] hat f nur einen Wendepunkt und daher höchstens drei reelle Nullstellen.
f hat genau drei reelle Nullstellen:
Mit dem Zwichenwertsatz ergibt sich eine Nullstelle im Intervall (- [mm] \infty [/mm] , 0) in (0,1) und eine in (1, + [mm] \infty [/mm] )
Also hat f genau zwei konjugierte komplexe Nullstellen.
(Primzahl-Grad) : Galoisgruppe enthält einen Zyklus der länge 5, o.B.d.A. seien die Nullstellen so nummeriert, dass (12345) dieser Zyklus ist
Die komplexe Konjugation gehört zu der Galoisgruppe. Es gibt genau zwei nicht reelle NST, d.h. ein paar konjugiert komplexer NST, also wirkt die komplexe Konjugation als Vertauschung dieser beiden NST -> Das ist ein Zweierzyklus
In einem Beitrag hier im matheraum habe ich gelesen, dass ein 2erzyklus + 5er Zyklus => [mm] S_{5}
[/mm]
Also ist die Galois-Gruppe [mm] S_{5} [/mm]
Oder könnte ich stattdessen einfach schreiben, Die komplexe Konjugation ist für die drei reellen Nusslstellen die Identität, also enthält die Galoisgruppe Gal(f) [mm] \subseteq S_{5} [/mm] eine Transposition.
Aus dem Gradsatz und dem Satz von Cauchy folgt, dass Gal (f) eine Permutation der Ordnung 5 enthält. Somit ist die Galoisgruppe von f die volle symmetrische Gruppe [mm] S_{5} [/mm]
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
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Hallo,
> Bestimme die Galisgruppe von: f(x)= [mm]x^{5}-x^{4}-4x+4[/mm]
> Mein Idee:
>
> Es ist f(x)= [mm]x^{5}-x^{4}-4x+4[/mm] = [mm](x-1)(x^{2}-2)(x^{2}+2)[/mm]
>
> (x-1) Grad 1 also irreduzibel [mm]\IQ[/mm]
> [mm](x^{2}-2)[/mm] und [mm](x^{2}+2)[/mm] haben keine rationallen
> Nullstellen, also sind auch diese irreduzibel über [mm]\IQ[/mm]
>
> Kann ich hier jetzt sagen, dass alle drei Faktoren
> irreduzibel sind und damit das Polynom separabel ist?? Wenn
> ja dann könnte ich doch sagen, als separables Polynom vom
> Grad 5 hat f genau 5 Nullstellen.
Nein. [mm] $(x-1)^2\in \mathbb [/mm] Q[X]$ hat eine Nullstelle ist aber separabel.
Jedes Polynom über [mm] $\mathbb [/mm] Q[X]$ ist immer separabel.
(Ein Polynom ist sep. wenn jeder irred. faktor sep. ist)
> f hat höchstens drei reelle Nullstellen:
>
> [mm]f´(x)=5x^{4}-4x^{3}-4[/mm]
> [mm]f´´(x)=20x^3-12x^2[/mm] (hat nur eine Wendestelle)
> [mm]f´´´(x)=60x^2-24x[/mm]
>
> Wegen [mm]f´´(x)=20x^3-12x^2[/mm] hat f nur einen Wendepunkt und
> daher höchstens drei reelle Nullstellen.
>
> f hat genau drei reelle Nullstellen:
> Mit dem Zwichenwertsatz ergibt sich eine Nullstelle im
> Intervall (- [mm]\infty[/mm] , 0) in (0,1) und eine in (1, + [mm]\infty[/mm]
> )
In (0,1) ist gar keine NST, 1 ist eine NST.
> Also hat f genau zwei konjugierte komplexe Nullstellen.
Wieso machst du diesen ganzen Aufwand, wenn man die Nullstellen einfach hinschreiben kann?
> (Primzahl-Grad) : Galoisgruppe enthält einen Zyklus der
> länge 5, o.B.d.A. seien die Nullstellen so nummeriert,
> dass (12345) dieser Zyklus ist
Wie kommst du zu dieser (falschen) Aussage?
> Die komplexe Konjugation gehört zu der Galoisgruppe. Es
> gibt genau zwei nicht reelle NST, d.h. ein paar konjugiert
> komplexer NST, also wirkt die komplexe Konjugation als
> Vertauschung dieser beiden NST -> Das ist ein Zweierzyklus
> In einem Beitrag hier im matheraum habe ich gelesen, dass
> ein 2erzyklus + 5er Zyklus => [mm]S_{5}[/mm]
> Also ist die Galois-Gruppe [mm]S_{5}[/mm]
>
> Oder könnte ich stattdessen einfach schreiben, Die
> komplexe Konjugation ist für die drei reellen Nusslstellen
> die Identität, also enthält die Galoisgruppe Gal(f)
> [mm]\subseteq S_{5}[/mm] eine Transposition.
> Aus dem Gradsatz und dem Satz von Cauchy folgt, dass Gal
> (f) eine Permutation der Ordnung 5 enthält. Somit ist die
> Galoisgruppe von f die volle symmetrische Gruppe [mm]S_{5}[/mm]
Die Satz den du hier vermutlich anwenden willst gilt nur für irreduzible Polynome.
Die Galoisgruppe hat hier ganze 4 Elemente nicht 120.
Einen 5-Zyklus kann es hier schon deshalb nicht geben weil [mm] $\sigma [/mm] (1)=1 [mm] \forall \sigma \in Gal(f/\mathbb [/mm] Q)$ nach Def. gilt und 1 hier eine NST ist.
Wäre [mm] $S_5$ [/mm] wirklich die Galoisgruppe so könnte man die NST nicht durch Wurzeln ausdrücken, was aber der Fall ist.
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
Edit: Ergänzungen
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