Galoiserweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei [mm] \zeta [/mm] = [mm] exp(\bruch{2\pi*i}{9}). [/mm] Geben Sie die Automorphismengruppe von
E = [mm] \IQ(\zeta)
[/mm]
an und bestimmen Sie alle Untergruppen von Aut(E).
Benutzen Sie, dass E eine Galoiserweiterung von [mm] \IQ [/mm] ist, um alle Unterkörper K von E zu bestimmen.
Geben Sie für alle Unterkörper K [mm] \subset [/mm] E den Grad [mm] [K:\IQ] [/mm] an. |
Hallo 
bearbeite grad diese Aufgabe und stecke an manchen Punkten ein wenig fest...
Also ich habe bisher folgendes:
[mm] \zeta [/mm] ist die 9-te Einheitswurzel, das Minimalpolynom von [mm] \mu_{\zeta}(x) [/mm] lautet: [mm] \mu_{\zeta}(x)=x^{6}+x^{3}+1 [/mm] (9. Kreisteilungspolynom)
Nullstellen sind die primitiven neunten Einheitswurzeln, also: [mm] NS=\{\zeta,\zeta^{2},\zeta^{4},\zeta^{5},\zeta^{7},\zeta^{8}\}.
[/mm]
[mm] Aut(E)=\{id,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}\}, [/mm] mit
[mm] \varphi_{1}(\zeta)=\zeta^{2}
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\zeta)=\zeta^{4}
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\zeta)=\zeta^{5}
[/mm]
[mm] \varphi_{4}(\zeta)=\zeta^{7}
[/mm]
[mm] \varphi_{5}(\zeta)=\zeta^{8}
[/mm]
Aut(E) ist zyklisch erzeugt, [mm] Aut(E)=<\varphi_{1}> [/mm] und folglich abelsch.
Aut(E) [mm] \cong \IZ_{6}
[/mm]
Untergruppen habe ich bisher gefunden:
[mm] U_{1}=\{id, \varphi_{5}\} \cong \IZ_{2}
[/mm]
[mm] U_{2}=\{id, \varphi_{2}, \varphi_{4}\} \cong \IZ_{3}
[/mm]
Gibt es denn noch weitere?
Nun komme ich bei den Fixkörpern nicht so recht weiter...
[mm] Fix(E,U_{1})=... [/mm] Weiss jetzt nicht so recht, welche Elemente ausser [mm] \IQ [/mm] hier festgelassen werden........
LG,
DrRiese
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Fr 18.04.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Sei [mm]\zeta[/mm] = [mm]exp(\bruch{2\pi*i}{9}).[/mm] Geben Sie die
> Automorphismengruppe von
>
> E = [mm]\IQ(\zeta)[/mm]
>
> an und bestimmen Sie alle Untergruppen von Aut(E).
> Benutzen Sie, dass E eine Galoiserweiterung von [mm]\IQ[/mm] ist, um
> alle Unterkörper K von E zu bestimmen.
> Geben Sie für alle Unterkörper K [mm]\subset[/mm] E den Grad
> [mm][K:\IQ][/mm] an.
>
> Hallo
>
> bearbeite grad diese Aufgabe und stecke an manchen Punkten
> ein wenig fest...
>
> Also ich habe bisher folgendes:
>
> [mm]\zeta[/mm] ist die 9-te Einheitswurzel, das Minimalpolynom von
> [mm]\mu_{\zeta}(x)[/mm] lautet: [mm]\mu_{\zeta}(x)=x^{6}+x^{3}+1[/mm] (9.
> Kreisteilungspolynom)
> Nullstellen sind die primitiven neunten Einheitswurzeln,
> also:
> [mm]NS=\{\zeta,\zeta^{2},\zeta^{4},\zeta^{5},\zeta^{7},\zeta^{8}\}.[/mm]
>
> [mm]Aut(E)=\{id,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5}\},[/mm]
> mit
>
> [mm]\varphi_{1}(\zeta)=\zeta^{2}[/mm]
> [mm]\varphi_{2}(\zeta)=\zeta^{4}[/mm]
> [mm]\varphi_{3}(\zeta)=\zeta^{5}[/mm]
> [mm]\varphi_{4}(\zeta)=\zeta^{7}[/mm]
> [mm]\varphi_{5}(\zeta)=\zeta^{8}[/mm]
>
> Aut(E) ist zyklisch erzeugt, [mm]Aut(E)=<\varphi_{1}>[/mm] und
> folglich abelsch.
> Aut(E) [mm]\cong \IZ_{6}[/mm]
>
> Untergruppen habe ich bisher gefunden:
>
> [mm]U_{1}=\{id, \varphi_{5}\} \cong \IZ_{2}[/mm]
> [mm]U_{2}=\{id, \varphi_{2}, \varphi_{4}\} \cong \IZ_{3}[/mm]
>
> Gibt es denn noch weitere?
Nein. Das weiß man auch sofort nachdem man sich an die Strukturtheorie für zyklische Gruppen erinnert.
>
> Nun komme ich bei den Fixkörpern nicht so recht weiter...
> [mm]Fix(E,U_{1})=...[/mm] Weiss jetzt nicht so recht, welche
> Elemente ausser [mm]\IQ[/mm] hier festgelassen werden........
>
Du sollst den Hauptsatz der Galoistheorie benutzen.
Viele Grüße,
Berieux
> LG,
> DrRiese
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:12 Fr 18.04.2014 | | Autor: | DrRiese |
Hm,
Wäre vllt die richtige Antwort [mm] Fix(E;U_{2})=\IQ(\zeta^{3})? [/mm] Da gilt [mm] \varphi_{2}(\zeta^{3})=(\zeta^{3})^{4}=\zeta^{3}, \varphi_{4}(\zeta^{3})=(\zeta^{3})^{7}=\zeta^{3}, [/mm] sowie [mm] \varphi_{2,4}(a)=a,\forall [/mm] a [mm] \in \IQ.
[/mm]
Und bei [mm] U_{3}=\{id\} [/mm] folgt: [mm] Fix(E;U_{3})=\IQ(\zeta)
[/mm]
Nur bei [mm] Fix(E;U_{1}) [/mm] komme ich grad so gar nicht weiter...
LG,
DrRiese
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 20.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Mo 21.04.2014 | | Autor: | DrRiese |
()
|
|
|
|
