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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:34 Sa 05.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Sei $L [mm] \subseteq \IC$ [/mm] der Zerfällungskörper des Polynoms [mm] $f(X):=X^7+1-i$ [/mm] über [mm] $\IQ(i)$. [/mm] Sei $ [mm] \zeta_n=exp(\bruch{2\pi i}{n}$. [/mm] Zu zeigen:
a) [mm] $\IQ(\zeta_7,i)=\IQ(\zeta_{28})$ [/mm] und [mm] $[\IQ(\zeta_7,i):\IQ(i)]=6$.
[/mm]
b) [mm] $[L:\IQ(i)]=42$
[/mm]
c) $L$ ist abgeschlossen unter der komplexen Konjugation.
d) L ist Galoiserweiterung von [mm] \IQ. [/mm] |
Hallo,
Aufgabe a konnte ich lösen.
Bei Aufgabe b habe ich folgendermaßen argumentiert:
Ich habe gezeigt, dass f irreduzibel über [mm] $\IQ(i)$ [/mm] ist.
Ist [mm] \eta [/mm] eine Nullstelle von f, so besitzt f die weiteren Nullstellen [mm] $\eta\zeta_7^1,...\eta\zeta_7^6$. [/mm] Deshalb ist [mm] $L=\IQ(\eta,\zeta_7,i)$.
[/mm]
Nun hab ich über den Körperturm argumentiert:
[mm] $\IQ(i) \begin{cases} \subset_7 \IQ(\eta,i) \subset_m \\ \subset_6\IQ(\zeta_7,i) \subset_n \end{cases} \IQ(\eta,\zeta_7,i)$
[/mm]
Das sagt mir aber nur, dass [mm] $42|[L:\IQ(i)]$.
[/mm]
Wie kann ich die Gegenrichtung zeigen?
Zu Aufgabe c folgende Frage: Gilt diese Aussage für jeden Zwischenkörper $K$ von [mm] $\IQ\subset\IC$? [/mm] Ich denke nämlich, dass [mm] $\overline{\alpha}=\bruch {\alpha}{||\alpha||},||\alpha||\in\IQ$, [/mm] und damit liegt mit [mm] \alpha [/mm] auch [mm] \overline{\alpha} [/mm] in $K$.
Bei Aufgabe komm ich irgendwie gar nicht so recht weiter:
Ich weiß zwar, dass sie Teilerweiterungen galoisch sind, aber das hilft mir nicht so recht weiter.
Dann hab ich versucht über das Polynom [mm] $g(X):=(X^7+1-i)(X^7+1+i)=X^{14}+2X^7+2 \in\IQ[X]$ [/mm] zu argumentieren, dass vielleicht $L$ Zerfällungskörper dieses Polynoms ist. Doch wie könnte ich zeigen, dass die Nullstellen von [mm] $X^7+1+i$ [/mm] auch in $L$ liegen?
LG, Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Sa 05.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Sei [mm]L \subseteq \IC[/mm] der Zerfällungskörper des Polynoms
> [mm]f(X):=X^7+1-i[/mm] über [mm]\IQ(i)[/mm]. Sei [mm]\zeta_n=exp(\bruch{2\pi i}{n}[/mm].
> Zu zeigen:
> a) [mm]\IQ(\zeta_7,i)=\IQ(\zeta_{28})[/mm] und
> [mm][\IQ(\zeta_7,i):\IQ(i)]=6[/mm].
> b) [mm][L:\IQ(i)]=42[/mm]
> c) [mm]L[/mm] ist abgeschlossen unter der komplexen Konjugation.
> d) L ist Galoiserweiterung von [mm]\IQ.[/mm]
> Hallo,
> Aufgabe a konnte ich lösen.
> Bei Aufgabe b habe ich folgendermaßen argumentiert:
> Ich habe gezeigt, dass f irreduzibel über [mm]\IQ(i)[/mm] ist.
> Ist [mm]\eta[/mm] eine Nullstelle von f, so besitzt f die weiteren
> Nullstellen [mm]\eta\zeta_7^1,...\eta\zeta_7^6[/mm]. Deshalb ist
> [mm]L=\IQ(\eta,\zeta_7,i)[/mm].
> Nun hab ich über den Körperturm argumentiert:
> [mm]\IQ(i) \begin{cases} \subset_7 \IQ(\eta,i) \subset_m \\ \subset_6\IQ(\zeta_7,i) \subset_n \end{cases} \IQ(\eta,\zeta_7,i)[/mm]
>
> Das sagt mir aber nur, dass [mm]42|[L:\IQ(i)][/mm].
> Wie kann ich die Gegenrichtung zeigen?
Wegen dem Gradsatz gilt $6 [mm] \mid [/mm] m$ und $7 [mm] \mid [/mm] n$, und insbesondere $42 [mm] \mid [/mm] [L : [mm] \IQ(i)]$ [/mm] (das hattest du ja schon). Nun ist jedoch [mm] $\eta$ [/mm] eine Nullstelle von $f$, womit $[L : [mm] \IQ(i, \zeta_7)] [/mm] = [mm] [\IQ(i, \zeta_7)(\eta) [/mm] : [mm] \IQ(i, \zeta_7)] \le [/mm] 7$ ist, also $n [mm] \le [/mm] 7$ ist. Damit muss $n = 7$ sein und somit $[L : [mm] \IQ(i)] [/mm] = 42$.
> Zu Aufgabe c folgende Frage: Gilt diese Aussage für jeden
> Zwischenkörper [mm]K[/mm] von [mm]\IQ\subset\IC[/mm]?
Nein, fuer $K = [mm] \IQ(\zeta_3 \sqrt[3]{2})$ [/mm] geht das nicht: Es ist $K [mm] \cong \IQ(\sqrt[3]{2}) \cong \IQ[x]/\langle x^3 [/mm] - 2 [mm] \rangle$, [/mm] und diese Koerpererweiterung hat keine Automorphismen. Wenn also $K$ durch die komplexe Konjugation auf sich selber geworfen wird, so waere die Konjugation eingeschraenkt auf $K$ ein Automorphismus von $K$, und somit die Identitaet. Die komplexe Konjugation bildet jedoch [mm] $\zeta_3 \sqrt[3]{2}$ [/mm] nicht auf sich selber ab...
> Ich denke nämlich,
> dass [mm]\overline{\alpha}=\bruch {\alpha}{||\alpha||},||\alpha||\in\IQ[/mm],
> und damit liegt mit [mm]\alpha[/mm] auch [mm]\overline{\alpha}[/mm] in [mm]K[/mm].
[mm] $||\alpha||$ [/mm] liegt normalerweise nicht in [mm] $\IQ$: [/mm] sei etwa [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt{2}$...
[/mm]
> Bei Aufgabe komm ich irgendwie gar nicht so recht weiter:
> Ich weiß zwar, dass sie Teilerweiterungen galoisch sind,
> aber das hilft mir nicht so recht weiter.
Genau, Galoisch zu sein ist nicht transitiv...
> Dann hab ich versucht über das Polynom
> [mm]g(X):=(X^7+1-i)(X^7+1+i)=X^{14}+2X^7+2 \in\IQ[X][/mm] zu
> argumentieren, dass vielleicht [mm]L[/mm] Zerfällungskörper dieses
> Polynoms ist. Doch wie könnte ich zeigen, dass die
> Nullstellen von [mm]X^7+1+i[/mm] auch in [mm]L[/mm] liegen?
Nach Teil c) ist die komplexe Konjugation (eingeschraenkt auf $L$) ein [mm] $\IQ$-Automorphismus [/mm] von $L$, ich bezeichne sie mal mit [mm] $\sigma [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$. Nun ist [mm] $\sigma(x^7 [/mm] + 1 - i) = [mm] x^7 [/mm] + 1 + i$. Damit bildet [mm] $\sigma$ [/mm] die Nullstellen von [mm] $x^7 [/mm] + 1 - i$ aus $L$ (das sind ja alle) auf die von [mm] $x^7 [/mm] + 1 + i$ ab: Also liegen die Nullstellen von [mm] $x^7 [/mm] + 1 + i$ in $L$!
Es kann jetzt noch passieren, dass der ZK von $g$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] kleiner ist als $L$. Deswegen solltest du sicherheitshalber noch dafuer sorgen, dass $i$ und [mm] $\zeta_7$ [/mm] (oder aequivalent nach Teilaufgabe a: [mm] $\zeta_{28}$) [/mm] ebenfalls im ZK enthalten sind. Nimm z.B. das Polynom $(x^14 + 2 [mm] x^7 [/mm] + 2) [mm] (x^{28} [/mm] - 1)$; dessen Zerfaellungskoerper enthaelt [mm] $\zeta_{28}$ [/mm] und [mm] $\eta$, [/mm] und somit auch $L$. Und gleichzeitig zerfaellt es ueber $L = [mm] \IQ(\zeta_{28}, \eta)$...
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 So 06.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Felix,
vielen lieben Dank für die vielen Tipps!
Hab jetzt bloß noch eine Frage: Wie kann ich hier die Abgeschlossenheit unter der komplexen Konjugation zeigen?
War das Polynom aus $\IQ(X)$, hab ich dazu verwendet, dass, wenn \alpha Nullstelle von $f$ ist, folgt
$0=\overline{f(\alpha)}=f(\overline\alpha)}$. Diees Argument zieht ja hier nicht, da
$ \overline{f(\alpha)}:=\overline{\alpha^7+1-i }=\overline\alpha^7+1+i\not= f(\overline{\alpha})$.
Lg,
Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 06.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Hab jetzt bloß noch eine Frage: Wie kann ich hier die
> Abgeschlossenheit unter der komplexen Konjugation zeigen?
Es ist $L = [mm] \IQ(i, \zeta_7, \eta)$. [/mm] Du musst zeigen, dass $i$, [mm] $\zeta_7$ [/mm] und [mm] $\eta$ [/mm] durch die komplexe Konjugation wieder auf Elemente von $L$ abgebildet werden. Bei $i$ ist das einfach. Bei [mm] $\zeta_7$ [/mm] ist es auch nicht schwer. Und mit den beiden kann man [mm] $\eta$ [/mm] auch hinbekommen.
> War das Polynom aus [mm]\IQ(X)[/mm], hab ich dazu verwendet, dass,
> wenn [mm]\alpha[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] ist, folgt
> [mm]0=\overline{f(\alpha)}=f(\overline\alpha)}[/mm]. Diees Argument
> zieht ja hier nicht, da
> [mm]\overline{f(\alpha)}:=\overline{\alpha^7+1-i }=\overline\alpha^7+1+i\not= f(\overline{\alpha})[/mm].
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mo 07.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
stimmt folgende Überlegung:
[mm] \eta [/mm] geht auf [mm] \eta^6. [/mm]
Da $1-i$ ein Vektor der Länge [mm] \wurzel{2} [/mm] ist, der mit der x-Achse einen Winkel von [mm] $-45°=-\pi/4$ [/mm] einschließt, ist [mm] \eta [/mm] ein Vektor der Länge [mm] $\wurzel[14]{2}$, [/mm] der mit der x-Achse einen Winkel von [mm] $-45/7°=-\pi/28$ [/mm] einschließt.
[mm] \overline{\eta} [/mm] ist deshalb ein Vektor derselben Länge, der mit der x-Achse einen Winkel von [mm] $+45/7°=+\pi/28$ [/mm] einschließt. Diesen Vektor erhalte ich, wenn ich [mm] \eta [/mm] um [mm] $+90/7°=+\2pi/28$ [/mm] gegen den Uhrzeigersinn drehe, also mit [mm] \zeta_{28} [/mm] multipliziere. Also [mm] \overline{\eta}=\eta*\zeta_{28}.
[/mm]
Simmt's??
Lg, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mo 07.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> stimmt folgende Überlegung:
> [mm]\eta[/mm] geht auf [mm]\eta^6.[/mm]
Nein. Die Nullstellen von $f$ haben alle Betrag [mm] $|\eta|$, [/mm] und [mm] $|\eta| \neq [/mm] 1$. Somit hat [mm] $\eta^6$ [/mm] den falschen Betrag um eine Nullstelle sein zu koennen...
Uebrigens: Bei $n$-ten Einheitswurzeln [mm] $\zeta$ [/mm] (und $i$ ist ja auch eine) gilt [mm] $\overline{\zeta} [/mm] = [mm] \zeta^{-1}$, [/mm] womit [mm] $\overline{\zeta} \in \Q(\zeta)$ [/mm] ist.
> Da [mm]1-i[/mm] ein Vektor der Länge [mm]\wurzel{2}[/mm] ist, der mit der
> x-Achse einen Winkel von [mm]-45°=-\pi/4[/mm] einschließt, ist [mm]\eta[/mm]
> ein Vektor der Länge [mm]\wurzel[14]{2}[/mm], der mit der x-Achse
> einen Winkel von [mm]-45/7°=-\pi/28[/mm] einschließt.
Genau.
> [mm]\overline{\eta}[/mm] ist deshalb ein Vektor derselben Länge, der
> mit der x-Achse einen Winkel von [mm]+45/7°=+\pi/28[/mm]
> einschließt. Diesen Vektor erhalte ich, wenn ich [mm]\eta[/mm] um
> [mm]+90/7°=+\2pi/28[/mm] gegen den Uhrzeigersinn drehe, also mit
> [mm]\zeta_{28}[/mm] multipliziere. Also
> [mm]\overline{\eta}=\eta*\zeta_{28}.[/mm]
<edit>Natuerlich hatte ich mich verrechnet :) Also hier die korrigierte Version:</edit>
Ja, das stimmt. Hier das algebraische `Nachrechnen':
Also [mm] $\overline{\eta}$ [/mm] muss ja eine Nullstelle von [mm] $X^7 [/mm] + (1+i)$ sein. Und es ist [mm] $(\eta \zeta_{28})^7 [/mm] + (1+i) = [mm] \eta^7 \zeta_{28}^7 [/mm] + 1+i = (-(1-i)) [mm] \zeta_4 [/mm] + 1+i = -(1-i)i + 1+i = -(i+1) + 1+i = 0$. (Da [mm] $\eta^7 [/mm] + (1-i) = 0$ ist und [mm] $\zeta_{28}^7 [/mm] = [mm] \zeta_4 [/mm] = i$ ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Mo 07.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Vielen Dank für Deine Hilfe, Felix!! jetzt ist mir die Aufgabe klar... 
In der Zeile
[mm]\eta[/mm] geht auf [mm]\eta^6.[/mm]
hatte ich mich vertippt , ich hab [mm] \zeta_7 [/mm] gemeint...
LG, Verena
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