Galoiserweiterung vom Grad 3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 03.05.2011 | | Autor: | teledem |
| Aufgabe | Lässt sich der Realteil der siebten Einheitswurzel bestimmen?
Wenn ja wie? |
hallo
lest meinen post komplett wenn ihr die motivation wissen wollt.sonst geht bis zum ende und folgt dem link.
kennt jemand eine galoiserweiterung von den rationalen zahlen vom grad 3 ?
ich habe mich ein wenig mit zyklotomischen körpern beschäftigt und mir dabei überlegt,wie man eine solche erweiterung konstruieren kann.
klar ist,dass alle unterkörper eines zyklotomischen körpers,weil die korrospondierenden untergruppen der galoisgruppe normalteiler sind,ebenfalls alle galois sind.nehmen wir den siebten zyklotomischen körper.
er hat grad 6 und enthält einen unterkörper von grad 3.
die entsprechende gruppe hat ordnung 2 und wird von einem element erzeugt,das die dritte potenz des erzeugers die ganzen galoisgruppe ist.
dieser erzeuger schickt die siebte einheitswurzel auf ihre dritte potenz,weil 3 eine primitivwurzel modulo 7 ist.
rechnet man alles durch,sieht man das,das nicht triviale element der untergruppe jede potenz von der siebten einheitswurzel auf ihr konjugiertes schickt.
das heisst die realteile bleiben fix unter der betrachteten untergruppe.
man muss also nur die realteile der siebten einheitswurzelpotenzen zu den rationalen zahlen adjungieren und erhält dann den gesuchten körper
nun kommt das problem:
werfen wir einen blick auf seite 46 dieser diplomarbeit
http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/distler/Diplom.pdf
dort ist die siebte einheitswurzel explizit angegeben.
doch wie kann man aus diesem radikalausdruck den realteil bestimmen?
genau genommen müsste man ja die realteile der potenzen der siebteneinheitswurzel kennen und dann davon noch ein erzeugenes (also primitives) element finden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 08.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Lässt sich der Realteil der siebten Einheitswurzel
> bestimmen?
> Wenn ja wie?
> hallo
>
> lest meinen post komplett wenn ihr die motivation wissen
> wollt.sonst geht bis zum ende und folgt dem link.
>
> kennt jemand eine galoiserweiterung von den rationalen
> zahlen vom grad 3 ?
Ja: der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^3-x^2-2 [/mm] x+1 [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hat Grad 3, die Galoisgruppe ist somit isomorph zu [mm] $\IZ/3\IZ$. [/mm] (Das Polynom hab ich uebrigens ![[]](/images/popup.gif) hierher.)
(So ein Polynom darf keine echt komplexe Nullstelle haben, ansonsten ist die Ordnung der Galoisgruppe immer durch 2 teilbar, da die komplexe Konjugation dann einen Automorphismus der Ordnung 2 in der Galoisgruppe ergibt.)
> ich habe mich ein wenig mit zyklotomischen körpern
> beschäftigt und mir dabei überlegt,wie man eine solche
> erweiterung konstruieren kann.
Die zyklotomischen Koerper sind galoissch der Ordnung [mm] $\varphi(n)$, [/mm] mit der Eulerschen [mm] $\varphi$-Funktion. [/mm] Diese nimmt ausser den Wert 1 keine anderen ungeraden Werte an. Du musst also wenn schon eine passende Untergruppe nehmen und davon den Fixkoerper (was du ja auch vorhast).
> klar ist,dass alle unterkörper eines zyklotomischen
> körpers,weil die korrospondierenden untergruppen der
> galoisgruppe normalteiler sind,ebenfalls alle galois
> sind.nehmen wir den siebten zyklotomischen körper.
> er hat grad 6 und enthält einen unterkörper von grad 3.
Und da zyklotomische Koerper abelsch sind, ist jede Untergruppe der Galoisgruppe normal, der Fixkoerper ist also immer eine Galoiserweiterung von [mm] $\IQ$.
[/mm]
> die entsprechende gruppe hat ordnung 2 und wird von einem
> element erzeugt,das die dritte potenz des erzeugers die
> ganzen galoisgruppe ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dieser erzeuger schickt die siebte einheitswurzel auf ihre
> dritte potenz,weil 3 eine primitivwurzel modulo 7 ist.
> rechnet man alles durch,sieht man das,das nicht triviale
> element der untergruppe jede potenz von der siebten
> einheitswurzel auf ihr konjugiertes schickt.
Das ist (wie zu erwarten war) der durch die komplexe Konjugation induzierte Automorphismus, der [mm] $\IQ(\zeta_7) \cap \IR$ [/mm] als Fixkoerper hat.
> das heisst die realteile bleiben fix unter der
> betrachteten untergruppe.
> man muss also nur die realteile der siebten
> einheitswurzelpotenzen zu den rationalen zahlen adjungieren
> und erhält dann den gesuchten körper
> nun kommt das problem:
>
> werfen wir einen blick auf seite 46 dieser diplomarbeit
>
> http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/distler/Diplom.pdf
>
> dort ist die siebte einheitswurzel explizit angegeben.
> doch wie kann man aus diesem radikalausdruck den realteil
> bestimmen?
Das haengt ganz davon ab, was du unter "bestimmen" verstehst. In welcher Form willst du ihn haben? Willst du einfach das Minimalpolynom haben? (Das ist das was du normalerweise brauchst.) Willst du eine Approximation des Realteils haben? Oder willst du einen "exakten" Ausdruck haben?
> genau genommen müsste man ja die realteile der potenzen
> der siebteneinheitswurzel kennen
Die werden von der Eulerformel geliefert: [mm] $\Re \zeta_7^n [/mm] = [mm] \cos \frac{2 \pi n}{7}$.
[/mm]
Laut Wolfram Alpha hat [mm] $\Re \zeta_7^1$ [/mm] das Minimalpolynom [mm] $x^3 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2} [/mm] x - [mm] \frac{1}{8}$.
[/mm]
> und dann davon noch ein
> erzeugenes (also primitives) element finden.
[mm] $\Re \zeta_7$ [/mm] ist ein solches. Alternativ kannst du auch [mm] $\zeta_7 [/mm] + [mm] \overline{\zeta_7} [/mm] = 2 [mm] \Re \zeta_7$ [/mm] nehmen, das ist naemlich ganz ueber [mm] $\IZ$ [/mm] und hat das Minimalpolynom [mm] $x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] - 2 x - 1$.
Du kannst aber auch jedes andere Element aus [mm] $(\IQ(\zeta_7) \cap \IR) \setminus \IQ$ [/mm] nehmen, da die Erweiterung [mm] $(\IQ(\zeta_7) \cap \IR) [/mm] / [mm] \IQ$ [/mm] Primzahlgrad hat.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:34 Do 01.09.2011 | | Autor: | teledem |
*hust* so bachelorarbeit abgeschlossen.wenden wir uns wieder dem problem zu.
wahrscheinlich hast du ein programm wie pari oä. benutzt um diese minimalpolynome auszurechnen.
aber wäre es ohne computer gegangen?
im falle 17 zb. ist es recht leicht.da geht über die gausperioden und sucht identitäten wo produkt ganz über der vorherigen körpererweiterung ist.
ich habe mich heute den ganzen tag daran versucht es geometrisch,also am dreieck herzuleiten aber dies scheint mir kaum möglich zu sein,weil man ja nur eine seitenlänge,nämlich 1,sowie einen winkel und den cosinus implizit kennt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 03.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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