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| Aufgabe | | Bezeichne L den Zerfällngskörper des Polynoms [mm] f(X)=(X-2)^{2}(X-3)^{2}\in\mathbb{Q}[X]. [/mm] Man bestimme die Galoisgruppe [mm] Gal(L/\mathbb{Q}), [/mm] ihre Untergruppen und die zugehörigen Fixkörper in L. |
Hallo,
so ganz sehe ich noch nicht wie man das macht. Ich habe zunächst den Zerfällungskörper bestimmt. Der ist sicherlich [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}). [/mm] Dann weiß ich, dass gilt [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}), [/mm] also [mm] \sqrt{2}+\sqrt{3} [/mm] ist primitives Element. Das Minimalpolynom über [mm] \mathbb{Q} [/mm] hiervon ist [mm] X^{4}-10X^{2}+1. [/mm] Das ist separabel und hat die Nullstellen [mm] \pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}.
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt zur Galoisgruppe? Es ist ja [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q} [/mm] eine Körpererweiterung vom Grad 4, also muss es 4 Automorphismen in der Galoisgruppe geben. Aber wie sehen die aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 30.06.2010 | | Autor: | statler |
> Bezeichne L den Zerfällngskörper des Polynoms
> [mm]f(X)=(X-2)^{2}(X-3)^{2}\in\mathbb{Q}[X].[/mm] Man bestimme die
> Galoisgruppe [mm]Gal(L/\mathbb{Q}),[/mm] ihre Untergruppen und die
> zugehörigen Fixkörper in L.
Hi,
wenn du wirklich dieses Polynom meinst, dann ist da nix mehr zu zerfällen!
Ansonsten ...
> so ganz sehe ich noch nicht wie man das macht. Ich habe
> zunächst den Zerfällungskörper bestimmt. Der ist
> sicherlich [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}).[/mm] Dann weiß ich,
> dass gilt
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}),[/mm]
> also [mm]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/mm] ist primitives Element. Das
> Minimalpolynom über [mm]\mathbb{Q}[/mm] hiervon ist
> [mm]X^{4}-10X^{2}+1.[/mm] Das ist separabel und hat die Nullstellen
> [mm]\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}.[/mm]
>
> Aber wie komme ich jetzt zur Galoisgruppe? Es ist ja
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}[/mm] eine
> Körpererweiterung vom Grad 4, also muss es 4
> Automorphismen in der Galoisgruppe geben. Aber wie sehen
> die aus?
... könntest du dir mal überlegen, wie das Bild von [mm] \sqrt{2} [/mm] unter einem solchen Automorphismus aussehen muß. Vielleicht kommt dir dann schon ein Verdacht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> > Bezeichne L den Zerfällngskörper des Polynoms
> > [mm]f(X)=(X-2)^{2}(X-3)^{2}\in\mathbb{Q}[X].[/mm] Man bestimme die
> > Galoisgruppe [mm]Gal(L/\mathbb{Q}),[/mm] ihre Untergruppen und die
> > zugehörigen Fixkörper in L.
>
> Hi,
> wenn du wirklich dieses Polynom meinst, dann ist da nix
> mehr zu zerfällen!
> Ansonsten ...
Ja richtig. Gemeint war natürlich [mm] f=(X^{2}-2)(X^{2}-3), [/mm] was dann auch zu meinen Zerfällungskörper passen sollte.
> ... könntest du dir mal überlegen, wie das Bild von
> [mm]\sqrt{2}[/mm] unter einem solchen Automorphismus aussehen muß.
> Vielleicht kommt dir dann schon ein Verdacht.
>
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Brauche ich die Spielerei mit dem primitiven Element also garnicht?
Ich kann doch [mm] \sqrt{2} [/mm] doch nur auf sich selbst abbilden oder auf [mm] \sqrt{3}. [/mm] Bzw. doch auch noch auf die negativen davon oder? Dann hätte ich ja 4 Automorphismen.
Aber ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich es immer noch nicht so ganz verstehe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mi 30.06.2010 | | Autor: | statler |
> Ich kann doch [mm]\sqrt{2}[/mm] doch nur auf sich selbst abbilden
> oder auf [mm]\sqrt{3}.[/mm]
Nee! Wenn [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle von f(X) ist, was muß dann das Bild jedenfalls sein?
Gruß
Dieter
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> > Ich kann doch [mm]\sqrt{2}[/mm] doch nur auf sich selbst abbilden
> > oder auf [mm]\sqrt{3}.[/mm]
>
> Nee! Wenn [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von f(X) ist, was muß
> dann das Bild jedenfalls sein?
>
> Gruß
> Dieter
>
Das sind doch in diesem Fall [mm] \mathbb{Q}-Automorphismen, [/mm] also muss ich doch Nullstellen von f auf Nullstellen von f abbilden. Und das bringt mich genau wieder zu meinem vorangegangenen Post???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 30.06.2010 | | Autor: | statler |
> Das sind doch in diesem Fall [mm]\mathbb{Q}-Automorphismen,[/mm]
> also muss ich doch Nullstellen von f auf Nullstellen von f
> abbilden.
Ebend!
> Und das bringt mich genau wieder zu meinem
> vorangegangenen Post???
Wieso? Erklär mir doch mal, wie du [mm] \sqrt{2} [/mm] auf [mm] \sqrt{3} [/mm] abbilden willst. Was ist denn das MP von [mm] $\sqrt{2}$? [/mm] Irgendwie scheinst du mir von der Rolle ...
Gruß
Dieter
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> > Das sind doch in diesem Fall [mm]\mathbb{Q}-Automorphismen,[/mm]
> > also muss ich doch Nullstellen von f auf Nullstellen von f
> > abbilden.
>
> Ebend!
>
> > Und das bringt mich genau wieder zu meinem
> > vorangegangenen Post???
>
> Wieso? Erklär mir doch mal, wie du [mm]\sqrt{2}[/mm] auf [mm]\sqrt{3}[/mm]
> abbilden willst. Was ist denn das MP von [mm]\sqrt{2}[/mm]?
> Irgendwie scheinst du mir von der Rolle ...
>
> Gruß
> Dieter
>
Ja das macht die Hitze.
Naja ok, eigtl. ist dann die Formulierung Nullstellen von f auf Nullstellen von f abzubilden auch nicht ganz korrekt.
Dann müssen wir also Nstl. vom Minimalpolynom von [mm] \sqrt{2} [/mm] auf Nullstellen dieses Polynoms abbilden, womit ich zu dem Ergebnis komme, dass [mm] \sqrt{2} [/mm] nur auf [mm] \sqrt{2} [/mm] oder auf [mm] -\sqrt{2} [/mm] abgebildet werden kann, entsprechendes mit [mm] \sqrt{3}, [/mm] womit ich 4 verschiedene Auto's bekäme. Dann müsste ich mich nur noch an die Untergruppen und Fixkörper machen...
Ist meine Antwort nun etwas näher an der Realität als vorhin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 30.06.2010 | | Autor: | statler |
> > > Das sind doch in diesem Fall [mm]\mathbb{Q}-Automorphismen,[/mm]
> > > also muss ich doch Nullstellen von f auf Nullstellen von f
> > > abbilden.
> >
> > Ebend!
> >
> > > Und das bringt mich genau wieder zu meinem
> > > vorangegangenen Post???
> >
> > Wieso? Erklär mir doch mal, wie du [mm]\sqrt{2}[/mm] auf [mm]\sqrt{3}[/mm]
> > abbilden willst. Was ist denn das MP von [mm]\sqrt{2}[/mm]?
> > Irgendwie scheinst du mir von der Rolle ...
> >
> > Gruß
> > Dieter
> >
> Ja das macht die Hitze.
>
> Naja ok, eigtl. ist dann die Formulierung Nullstellen von f
> auf Nullstellen von f abzubilden auch nicht ganz korrekt.
> Dann müssen wir also Nstl. vom Minimalpolynom von
> [mm]\sqrt{2}[/mm] auf Nullstellen dieses Polynoms abbilden, womit
> ich zu dem Ergebnis komme, dass [mm]\sqrt{2}[/mm] nur auf [mm]\sqrt{2}[/mm]
> oder auf [mm]-\sqrt{2}[/mm] abgebildet werden kann, entsprechendes
> mit [mm]\sqrt{3},[/mm] womit ich 4 verschiedene Auto's bekäme. Dann
> müsste ich mich nur noch an die Untergruppen und
> Fixkörper machen...
>
> Ist meine Antwort nun etwas näher an der Realität als
> vorhin?
Das sieht gut aus. Weißt du übrigens, wie viele (abstrakte) Gruppen der Ordnung 4 es gibt? Welche ist es und warum? Du müßtest für meinen Geschmack jetzt noch deine ganzen Überlegungen logisch kohärent zusammenstellen und mit deinem Vorwissen aus der Vorlesung verknüpfen. Das wär's dann.
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Mi 30.06.2010 | | Autor: | juerfgen |
> > > > Das sind doch in diesem Fall [mm]\mathbb{Q}-Automorphismen,[/mm]
> > > > also muss ich doch Nullstellen von f auf Nullstellen von f
> > > > abbilden.
> > >
> > > Ebend!
> > >
> > > > Und das bringt mich genau wieder zu meinem
> > > > vorangegangenen Post???
> > >
> > > Wieso? Erklär mir doch mal, wie du [mm]\sqrt{2}[/mm] auf [mm]\sqrt{3}[/mm]
> > > abbilden willst. Was ist denn das MP von [mm]\sqrt{2}[/mm]?
> > > Irgendwie scheinst du mir von der Rolle ...
> > >
> > > Gruß
> > > Dieter
> > >
> > Ja das macht die Hitze.
> >
> > Naja ok, eigtl. ist dann die Formulierung Nullstellen von f
> > auf Nullstellen von f abzubilden auch nicht ganz korrekt.
> > Dann müssen wir also Nstl. vom Minimalpolynom von
> > [mm]\sqrt{2}[/mm] auf Nullstellen dieses Polynoms abbilden, womit
> > ich zu dem Ergebnis komme, dass [mm]\sqrt{2}[/mm] nur auf [mm]\sqrt{2}[/mm]
> > oder auf [mm]-\sqrt{2}[/mm] abgebildet werden kann, entsprechendes
> > mit [mm]\sqrt{3},[/mm] womit ich 4 verschiedene Auto's bekäme. Dann
> > müsste ich mich nur noch an die Untergruppen und
> > Fixkörper machen...
> >
> > Ist meine Antwort nun etwas näher an der Realität als
> > vorhin?
>
> Das sieht gut aus. Weißt du übrigens, wie viele
> (abstrakte) Gruppen der Ordnung 4 es gibt? Welche ist es
> und warum? Du müßtest für meinen Geschmack jetzt noch
> deine ganzen Überlegungen logisch kohärent
> zusammenstellen und mit deinem Vorwissen aus der Vorlesung
> verknüpfen. Das wär's dann.
>
> Ciao
> Dieter
Hallo
ich bin hier etwas neu hoffe mit den quotatione zurechtzukommen
Q([mm]\sqrt{2}[/mm])
und
Q([mm]\sqrt{3}[/mm]) sind KE des Körpers Q.
Q([mm]\sqrt{2},\sqrt{3}[/mm]) die Vereinigung beider.
du findest einen automorphismus , ist das klar was das heisst , der
a ) [mm]\sqrt{3}[/mm] auf -[mm]\sqrt{3}[/mm]
und einen 2ten der
b) [mm]\sqrt{2}[/mm] auf -[mm]\sqrt{2}[/mm]
abbildet.
und
c) einen der beides gleichzeig tut. Der Fixkörper von a ist b der von b ist a und der von c ist Q.
was uns sagt dass diese 3 Abbildunge+die Identitaet die Galoisgruppe bilden. Wie heisst die? warum kannes keine lineare abbildung von a nach b geben?
Thx
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